4. GAMAS DE AFINACIÓN Gama o escala es el conjunto de sonidos que corresponden a un sistema musical. 4.1. Gama de Ling-Lun Ling-Lun fue el primero en establecer una escala utilizando la relación 2 a 1 para la octava y 3 a 2 para la quinta. Con estos elementos, y partiendo del sonido fa# (diapasón chino) dio forma a la escala de su nombre, escala que más tarde tomará el nombre de pentatónica. Desde fa#, y por superposición de quintas, obtenemos los 5 siguientes sonidos: 3/2 9/4 27/8 81/16 Llevando éstos al ámbito de una sola octava quedará: 9/8 81/64 3/2 27/16 2 (Sol# = : 2; etc ) Que partiendo del sonido do se escribirá como: 1 9/8 81/64 3/2 27/16 2 20
4.2. Gama de Terpandro Terpandro (primera mitad del siglo VII a.c.), filósofo griego y verdadero fundador de la música griega, añadió a la gama de Ling-Lun dos nuevas quintas ascendentes, formando la escala: 1 9/8 81/64 729/512 3/2 27/16 243/128 2 (Si = Mi x ; Fa# = (Si x : 2 ) Esta escala no fue muy bien aceptada debido al intervalo que formaba el cuarto sonido respecto de la fundamental. 4.3. Gama de Pitágoras Pitágoras (ca.580 a.c.- ca.495 a.c.) resolvió el problema del intervalo de cuarta aumentada añadiendo, en lugar de una última quinta ascendente, una quinta descendente desde la fundamental: 2/3 (Fa = 1 :, es decir, bajar una quinta desde Do (1) ) 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2 (Fa = x 2 ) 21
Posteriormente, los seguidores de Pitágoras expandieron la escala aumentado más quintas por encima y por debajo, obteniéndose las notas con sostenidos y bemoles: Nota Operación Fracción En la octava Sol : 3/2 64/729 1024/729 Re : 3/2 32/243 256/243 La : 3/2 16/81 128/81 Mi : 3/2 8/27 32/27 Si : 3/2 4/9 16/9 Fa : 3/2 2/3 4/3 Do 1 1 Sol x 3/2 3/2 3/2 Re x 3/2 9/4 9/8 La x 3/2 27/8 27/16 Mi x 3/2 81/16 81/64 Si x 3/2 243/32 243/128 Fa# x 3/2 729/64 729/512 Do# x 3/2 2187/128 2187/2048 Sol# x 3/2 6561/256 6561/4096 Re# x 3/2 19683/512 19683/16384 La# x 3/2 59049/1024 59049/32768 Recordemos que estamos trabajando con relaciones de frecuencia respecto de un sonido base, en este caso en Do central. Para medir la dimensión de un intervalo cualquiera, habrá que dividir la relación de frecuencia del sonido más agudo entre la del sonido más grave, obteniendo la relación de frecuencia entre ambos. Como se observa, se obtienen dos relaciones de frecuencia distintas para los sonidos enarmónicos de nuestro sistema temperado (por ejemplo, Do# y Re, llevados ambos a la misma octava). Esto nos hace plantearnos que el intervalo Do-Re y el intervalo Do-Do# serán de diferente dimensión. Un semitono diatónico es aquel que aparece entre notas de distinto nombre. Fa Mi = : = = 1,053497942386831 Equivalente para los demás 22
Un semitono cromático es aquel que aparece entre una nota y esta misma alterada. Es mayor que el supuesto intervalo diatónico enarmónico. Se puede obtener también quitando a un tono pitagórico un semitono diatónico pitagórico. Do# Do = 1 = = 1,06787109375 En el sistema de afinación pitagórico el círculo de quintas no se cierra porque doce quintas superpuestas no equivalen a siete octavas. Dicho de otro modo: el encadenamiento sucesivo de factores iguales a 3:2 (la quinta) nunca produce un valor que se pueda reducir a la relación 2:1 (la octava). La coma pitagórica es el intervalo musical que resulta de la diferencia entre doce quintas perfectas y siete octavas: Coma pitagórica = 12 quintas 7 octavas = : 2 7 = = = 1,0136432647705 La coma pitagórica se puede obtener también con la diferencia entre el semitono cromático y el semitono diatónico: 23
4.4. Gama natural, o de los Físicos, o de Aristógenes, o de Zarlino, o de los Armónicos Dado que las proporciones en las relaciones de frecuencia de algunos grados de la escala pitagórica resultaban excesivamente complejas, los físicos las redujeron a otras más sencillas, basándose en la serie de armónicos. Así pues, podría sustituirse la relación 81/64 correspondiente al Mi de Pitágoras por la de 5/4 que se deduce de la serie de armónicos. A partir de este nuevo Mi se obtienen los sonidos La y Si, bajando y subiendo respectivamente una quinta (pitagórica, 3/2). Por tanto quedará: 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2 (Si = Mi x ; La = Mi : x 2 ) Al grupo Fa-Do-Sol-Re se le denominó grupo tonal, y al La-Mi-Si grupo modal. Se designó la denominación de tonos grandes a los pertenecientes a un mismo grupo, y tonos pequeños a los de grupos distintos. Los tonos grandes son: Fa Do Sol Re La Mi Si Los tonos pequeños son: Fa Do Sol Re La Mi Si Dimensión= Dimensión= 24
Los intervalos de quinta dentro de cada grupo son quintas naturales (3/2) La quinta que se genera entre sonidos de diferentes grupos se llama quinta sintónica, y equivale a: La Re = = = 1,481 La diferencia entre una quinta natural y una quinta sintónica se llama coma sintónica. Coma sintónica = = = 1,0125 Cuando desarrollamos la escala buscando cromatismos ocurre que: El semitono cromático se calcula restando al intervalo de tercera mayor el de tercera menor. Se dan dos semitonos diatónicos, el grande (restando al tono grande el semitono cromático) y el pequeño (restando al tono pequeño el semitono cromático). La diferencia entre ambos es también la coma sintónica. Actualmente los instrumentistas de entonación libre tienden a adoptar los sonidos de la escala natural o de Aristógenes cuando ejecutan notas cuya función es armónica, mientras que si las notas desempeñan una función melódica se eligen los sonidos de Pitágoras. Ejercicio: Calcular la dimensión del semitono cromático y de los dos diatónicos. Deducir la coma sintónica desde los semitonos diatónicos. 25
4.5. El Temperamento Desigual o Escala del Tono Medio El temperamento desigual fue empíricamente aplicado al comenzar el siglo XVI por el teórico musical y organista Francisco Salinas (1513-1590), y siguió siendo empleado hasta mediados del siglo XIX. El fundamento de esta escala está basado en tomar una sucesión de cuatro quintas reducidas por igual, de manera que la última quinta sea igual a la tercera mayor de la escala natural o de Aristógenes, o lo que es lo mismo, al sonido generado en la serie de armónicos. 5: Por tanto el valor de la quinta reducida o templada será igual a la raíz cuarta de 4 quintas = 5 Quinta 4 = 5 Quinta = 5 Dado que la quinta tiene 7 semitonos, se hace una división de ésta en 7 partes iguales, para conseguir propiedades enarmónicas borrando la aparición de semitonos cromáticos y diatónicos: 7 Semitonos = Quinta Semitono 7 = 5 Semitono = 5 5 El tono es igual a dos semitonos: Tono = 5 = 5 26
La gran ventaja del temperamento desigual estriba en la posibilidad de establecer igualdad de afinación en sonidos enarmónicos, y por lo tanto las facilidades de modulación que ello permite. Sin embargo, al igual que en la escala pitagórica, la posible enarmonía que se obtendría al igualar doce quintas con siete octavas no es tal: 12 Quintas = 5 12 = 5 3 = 125 7 Octavas = 2 7 =128 Por tanto una quinta tendrá que ser mayor que las demás (quinta del lobo) para conseguir la enarmonía. Este hecho demuestra que el sistema es defectuoso, y no válido para tocar en diferentes tonalidades. 4.6. El Temperamento Igual El sistema del Temperamento Igual, practicado ya empíricamente por vihuelistas españoles, fue sistematizado en 1482 por Bartolomé Ramos de Pareja (1440-1491). Este sistema tardó mucho tiempo en imponerse debido a la dificultad de establecerlo. Quien lo consagró fue J.S.Bach (1685-1750) en su obra El Clave Bien Temperado (1722), compuesto en todas las tonalidades mayores y menores. Su fundamento se basa en conseguir la quinta templada dividiendo la sucesión de 7 octavas en 12 partes iguales. De este modo se obtiene para la quinta templada el valor de: 7 Octavas = 12 Quintas 2 7 = Quinta 12 Quinta = 2 = 1,498307 27
Si ahora dividimos el intervalo de quinta en 7 partes, obtendremos los semitonos: Semitono = 2 = 2= 1,059463094359 Que coinciden con los semitonos que se obtendrían dividiendo la octava en 12 partes iguales: Octava = 12 semitonos 2 = semitono 12 semitono= 2 = 1,059463094359 El tono será la suma de dos semitonos: Tono = 2 = 2 La ventaja más importante del temperamento igual es la de poder sustituir cualquier sonido por su enarmónico y tener absoluta libertad de modulación. Los inconvenientes estriban en que ninguno de los intervalos, salvo la octava, están perfectamente afinados (según la serie de armónicos). Las terceras y sextas mayores son demasiado grandes y la quinta demasiado pequeña. Las segundas y séptimas son también inexactas, aunque en menor grado. El acorde perfecto mayor compuesto por una tercera demasiado grande y una quinta pequeña pierde gran parte de su belleza. En resumen, con este sistema conseguimos que todas las tonalidades estén afinadas, o desafinadas, por igual. 28
4.7. ESCALAS MICROTONALES Las escuelas microtonalistas utilizan escalas formadas por intervalos menores que el semitono, pudiendo considerarse al músico checoslovaco Alois Haba (1893-1973) pionero en el uso en sus composiciones de tercios, cuartos y sextos de tono. En la escala en tercios de tono la unidad de medida, el tercio de tono, estará contenido 18 veces en el intervalo de octava. Su valor es: Tercio de tono = 2 = 1,03925 En la escala en cuartos de tono la unidad de medida, el cuarto de tono, estará contenido 24 veces en el intervalo de octava. Su valor es: Cuarto de tono = 2 = 1,0293 En la escala en sextos de tono la unidad de medida, el sexto de tono, estará contenido 36 veces en el intervalo de octava. Su valor es: Sexto de tono = 2 = 1,01944 29
4.8. MEDICIÓN DE INTERVALOS SEGÚN OTROS SISTEMAS Para evitar los engorros que supone el operar con intervalos pensando en las relaciones o proporciones entre los sonidos que los definen, se han ideado sistemas en búsqueda de operaciones directas. El sistema de Herschel (1738-1822) está basado en la división de la octava en 1000 partes iguales, llamadas milioctavas, cuyo valor es: Milioctava = 2 = 1,0006934 Como el semitono es una doceava parte de la octava, tendremos que: Semitono =! "#$%&%' = 83,33 milioctavas En este punto ya no trabajamos con relaciones de proporción, sino con distancias. Ahora el tono serán 2 semitonos (83,33 x 2 = 166,66 milioctavas), la tercera menor 3 semitonos (83,33 x 3 = 249,99 milioctavas) y así sucesivamente. El sistema de Ellis divide la octava en 1200 cents. Siguiendo la lógica anterior: Cent = 2 = 1,0005778 Semitono = #()$' = 100 cents Tono = 200 cents; El sistema de Yasser divide la octava en 600 centitonos: Centitono = 2 = 1,0011559 Semitono = #()$ $")"' = 50 centitonos Tono = 100 centitonos; El sistema se Savart divide la octava en 300 Savarts: Savart = 2 = 1,002305238 Semitono = '%&%*$ = 25 savart Tono = 50 savart; 30