UNIDAD DIDÁCTICA VI: Geometría 3D (III) 1 ÍNDICE Página: 2 SUPERFICIES PRISMÁTICAS.. 2 2.1 PRISMAS 2 3 SUPERFICIES PIRAMIDALES.. 3 3.1 PIRÁMIDES 4 4 SECCIONES PLANAS. 5 5 DESARROLLOS Y TRANSFORMADAS... 6 6 SOLUCIÓN A EJERCICIOS DE LAS UNIDADES ANTERIORES 8 7 PROPUESTA DE EJERCICIOS Y LECTURAS... 11 1 Francisco Irles Mas.
2 SUPERFICIES PRISMÁTICAS. Se definen como superficies prismáticas aquellas que están formadas exclusivamente por caras planas delimitadas por aristas paralelas entre sí todas ellas. Son por tanto superficies infinitas en una dirección, la de las aristas, y en sus dos sentidos. En sistema diédrico se representan mediante las proyecciones de sus aristas vistas y ocultas por sí misma. Las posiciones relativas respecto al diedro son las mismas que las de una recta (frontal, horizontal, genérica...), si bien también se puede hablar de superficies proyectantes verticales u horizontales, así como de sus trazas sobre los PPV y PPH, que serán formas poligonales. Figura 1: Superficie prismática. 2.1 PRISMAS. Son poliedros irregulares formados por el volumen que encierra una superficie prismática y dos planos secantes a ella, de forma que sobre esos planos se definen dos caras (bases del prisma) que limitan longitudinalmente la superficie prismática cerrando el volumen del prisma. Las aristas de las bases se denominan aristas básicas, siendo las demás laterales. Figura 2: Prisma. Se pueden clasificar los prismas en rectos u oblicuos, según el ángulo que formen las aristas laterales (de la superficie prismática) con los planos de las bases (si es 90º son rectos). Figura UNIVERSIDAD 3: Prisma regular, MIGUEL truncado HERNÁNDEZ y oblicuo. 2 Francisco Irles Mas.
Llamamos prisma regular a aquel que tiene por base un polígono regular y todas sus caras laterales iguales, por lo que han de ser rectos respecto los dos planos secantes de las bases. Llamamos prisma truncado a aquel cuyas bases están en dos planos no paralelos. Figura 4: Prisma truncado de punta con base sobre plano frontal, prisma regular apoyado en plano horizontal y con una cara frontal, prisma horizontal oblicuo al PPV, prisma en posición genérica. Las proyecciones diédricas se obtienen de forma similar a los poliedros, existiendo de igual forma posiciones particulares y genéricas resolviéndose los problemas que se plantean por medio de desabatimientos que permiten situar caras o aristas, perpendicularidades y paralelismos. 3 SUPERFICIES PIRAMIDALES. Están formadas por caras planas delimitadas por rectas convergentes todas ellas sobre un único punto, su vértice. Son también infinitas en los dos sentidos y simétricas respecto del vértice. En sistema diédrico se representan mediante las proyecciones del vértice y de sus aristas vistas y ocultas por sí misma. También se pueden obtener las trazas de esta superficie sobre los planos de proyección. Figura 5: Superficie piramidal. 3 Francisco Irles Mas.
3.1 PIRÁMIDES. Son poliedros formados por el volumen que encierra una superficie piramidal entre su vértice y un plano secante a todas sus aristas. Sobre este plano define la base de la pirámide, formada por las aristas básicas y sus vértices. El vértice de la superficie piramidal pasa ahora a llamarse vértice principal y las caras definidas sobre la superficie piramidal caras laterales, así como las aristas laterales. Figura 6: Pirámide. Figura 7: Pirámides oblicua, regular y regular truncada. Las pirámides regulares tienen por base un polígono regular y son rectas, es decir, el vértice principal esta sobre la perpendicular al plano de la base por el centro del polígono que constituye la base. En este caso todas las caras laterales son iguales y son triángulos isósceles. Son oblicuas cuando los ángulos de las caras con la base son distintos entre sí. Hablamos de regular truncada cuando todos los ángulos entre caras laterales contiguas son iguales y la base forma distintos ángulos con ellas. La formas oblicuas y truncadas en general se confunden salvo en el caso de regular truncada. Las proyecciones diédricas se obtienen de forma similar a los poliedros o prismas, mediante desabatimientos y perpendicularidades, tomando un menor protagonismo el paralelismo, que sólo se da en algunos casos entre aristas básicas. 4 Francisco Irles Mas.
Figura 8: Pirámides: Regular truncada, regular, oblicua, irregular oblicua y/o truncada, regular en posición genérica. 4 SECCIONES PLANAS. Como ya se definió con los poliedros, la sección plana de un sólido es la intersección que sobre él produce un plano. Cuando el sólido es poliédrico de caras planas siempre obtenemos un polígono regular o irregular. Por tanto se va abordar la resolución de la sección plana mediante un único método válido para todas las formas poliédricas abordadas hasta ahora: poliedros, prismas y pirámides. El caso más simple se produce cuando el plano de corte se sitúa proyectante respecto de uno de los planos de proyección diédrica. Puesto que en la proyección donde todo el plano se ve como un filo, la sección contenida en él también, bastará con pasar los puntos de esa proyección a la otra y unirlos convenientemente contorneando el sólido, sin abandonar su superficie, discriminando partes vistas y ocultas. Cuando el plano de corte es genérico lo más conveniente es realizar un cambio de plano. No obstante, esta vía queda excluída en el programa del DOGV, por lo que pasamos a ver otra algo más tediosa pero conceptualmente más simple y sistemática. Los puntos de la poligonal intersección son la intersección de algunas aristas del poliedro con el plano de corte, por lo que podremos obtenerlos mediante intersecciones de las rectas que contienen a los segmentos arista con el plano de corte, auxiliándonos de un plano que pase por cada arista, por comodidad, proyectante. Figura 9: Sección plana con plano proyectante vertical. 5 Francisco Irles Mas.
Figura 10: Se da la base de una pirámide sobre el plano vertical ABCDE y su vértice principal V, determina la sección plana que produce el plano α que se da. En la figura se ha mostrado la resolución en proyecciones diédricas, mediante planos proyectantes que pasan por las aristas, así como sus abatimientos para obtener las VM necesarias para construir el desarrollo con transformada que se muestra en las figuras 11 y 12. 5 DESARROLLOS Y TRANSFORMADAS Permitiéndonos un lenguaje poco técnico podemos decir que el desarrollo de un poliedro es el recortable de su superficie. Es decir la extensión de todas sus caras en VM concatenadas entre sí por una de sus aristas sobre un plano. Para obtener la VM de cada arista o cara utilizaremos 6 Francisco Irles Mas.
abatimientos de los planos que las contienen, bien los de las propias caras o bien auxiliares que pasen por las aristas. Cuando las caras son triangulares (tetraedros, octaedros, icosaedros, caras laterales de pirámides, etc) bastará con saber las VM de sus aristas para conocidos los tres lados reproducir los triángulos en VM para formar el desarrollo. Sin embargo si las caras son polígonos de más lados es conveniente abatir la cara entera para tener su geometría en VM, trasladarla y girarla para adaptarla al desarrollo. A poco que trabajemos este tema nos damos cuenta la ingente laboriosidad de obtener la intersección línea a línea y sus respectivos abatimientos, por lo que es conveniente tener claros algunos conceptos: identificar caras y aristas que ya se ven en VM en alguna de las proyecciones, cuando el plano secante interseca caras que son paralelas las rectas intersección también lo han de ser, si hay caras que son polígonos regulares bastará con conocer su lado en VM, si una cara tiene en su contorno un punto de intersección siempre a de tener otro punto sobre otro lado o pasar por la propia arista, etc. Figura 11: Desarrollo lateral con transformada correspondiente a la figura 10. Llamamos transformada de una sección a la huella que deja sobre la superficie desarrollada la intersección del plano de corte sobre las caras del poliedro. Se Figura 12: Desarrollo total con transformada correspondiente a la figura 10 7 Francisco Irles Mas.
obtiene uniendo en el desarrollo de forma correcta los puntos de intersección de las diferentes aristas con el plano de corte, para lo que debemos situar dichos puntos en la VM de cada arista abatiendo con ella su punto de intersección. En ocasiones podemos diferenciar distintos tipos de desarrollos, laterales, o totales, pudiéndose dar mixtos. Hay poliedros irregulares que debido a su concavidad requieren de desarrollos parciales inconexos, pues no se pueden extender todas sus caras sobre un único plano. 6 SOLUCIÓN A EJERCICIOS DE LAS UNIDADES ANTERIORES. 1/ Situar los puntos dados por coordenadas: A(-40,13,20); B(-30,19,12); C(- 20,0,18); D(0,-15,-18); E(-10,-15,-14); F(10,15,-15); G(20,-10,5); H(30,-17,17); J(50,0,0); K(40,12,-22); M(60,-18,0). 2/ Obtén las rectas que pasan por: r por A(0,-7,14) y B(17,8,7); t A(0,22,8) y B(13,4,-4); w A(0,10,15) y B(0,15, 10). 3/ Determina las trazas del plano β formado por la recta r (0,0,0); (28,33,13); y el punto A (28,18,8) ayudándote de la recta frontal s de β que 8 Francisco Irles Mas.
pasa por A y sabiendo que las rectas r y s con del plano y se cortan en un punto. 4/ Dibuja una recta que corta a LT en (10,0,0), sus proyecciones r1 y r2 son coincidentes formando 75º con LT y quedan ocultas en toda su longitud por el diedro de referencia. Determina las trazas de un plano α sabiendo que la recta r es una recta de máxima pendiente del plano α. 5/ Obtén la intersección de los planos α y β, definidos por los puntos: α (30,0,0); (45,15,0); (45,0,15) y β (0,15,0); (15,0,0); (30,0,15). 6/ Obtén la intersección del plano α y la recta r definida por los puntos A(30,10,30) y B(60,-13,5). El plano α pasa por (8,0,0); (50,0,31) y (50,28,0). 9 Francisco Irles Mas.
7/ Dada la recta r definida por (20,11,8) y (40,19,23), trazar el plano α de modo que sea perpendicular a la recta r y pase por el punto A(60,-30,15). 10 Francisco Irles Mas.
7 PROPUESTA DE EJERCICIOS Y LECTURAS. 1/ Dibuja un prisma hexagonal regular apoyado por su base en el plano PPH. Su lado mide 30 mm., su altura 70 mm., tiene dos aristas básicas frontales, siendo el alejamiento de la más próxima a LT 10 mm. Obtén la sección plana que produce un plano que pase por el punto medio de esa arista más próxima a LT, por el vértice de la izquierda de la otra arista básica frontal y por el punto medio de la arista lateral de más a la derecha. Obtén el desarrollo lateral del prisma y transformada sobre una cartulina y construye el recortable del tronco inferior del prisma. 2/ Dibuja un hexaedro de forma que una de sus secciones planas hexágono regular quede frontal en VM. Obtén el desarrollo total del trozo de cubo que queda entre el plano secante y el PPV. Las lecturas de esta unidad se realizarán sobre cualquier libro que aborde en sistema diédrico los prismas y pirámides (p.e. Geometría Descriptiva de Izquierdo Asensi. Ed.: Dossat.) 11 Francisco Irles Mas.