4.- MEDIDAS Al finalizar el sexto curso de Educación Primaria, los estudiantes deben dominar las relaciones entre las unidades de medida del sistema métrico decimal, usando múltiplos y submúltiplos sencillos, transformar medidas de longitud, peso, capacidad, superficie y volumen teniendo en cuenta las equivalencias, resolver problemas sobre unidades monetarias, de tiempo y densidad; comprender el concepto de área de una superficie y volumen de un sólido; usar fórmulas sencillas para obtener áreas y volúmenes de figuras geométricas en casos sencillos. Sistema métrico decimal. Medidas de longitud Medidas de peso Medidas de capacidad Medidas de superficie Longitud de la circunferencia y áreas de figuras circulares Áreas de polígonos Medidas de volumen Sistema métrico decimal. Medidas de longitud Unidad Unidad Deca 10 Hecto100 Múltiplos Kilo 1000 principal Miria 10000 deci 0,1 Divisorescenti 0,01 mili 0,001 decámetro 10metros hectómetro 100metros Múltiplos kilómetro 1000metros de longitud: metro miriámetro 10000metros decímetro 0,1metros Divisorescentímetro 0,01metros milímetro 0,001metros 1.- Cuántos kilómetros medirá una circunferencia que dé la vuelta a la Tierra pasando por los polos?.- Qué quieren decir las palabras: Miria, centi, deca, hecto, kilo, mili?. 3.- Si un cuadrante del meridiano terrestre mide 10000000 de metros, cuántos kilómetros medirá el perímetro de la Tierra? Y cuántos centímetros? -1-
4.- Efectúa los siguientes cálculos: a) Mide con un metro, a pasos y a pies, la longitud y anchura de varias habitaciones. b) Haz una estimación de los litros de agua que tiene un recipiente. Comprueba tu cálculo. c) Estima el peso de varios objetos y comprueba tu cálculo con una balanza. 5.- Cuántos Dm hay en un Mm? Cuántas veces mayor que un dm es el Dm? Por qué? 6.- Cuántos cm le faltan a 3 dm para tener un metro? 7.- Qué vale más: 600 Dm o 6 Km? 8.- Cuántos cm hay en 85 mm? Y metros? 9.- La cañería de agua de un edificio mide 1 hectómetro, 4 decámetros, 7 metros y 5 centímetros. Si cada metro vale 16,75 euros, cuánto vale toda entera? 10.- Un comerciante ha comprado 4 piezas de tela que cada una mide 7 decámetros, 5 metros y 5 decímetros. Si pagó el metro a 1,75 euros, cuál es el importe de la compra? 11.- Para ir al trabajo un obrero anda 3 kilómetros, 7 decámetros y 8 metros, pero para volver toma un atajo y sólo recorre kilómetros, 5 hectómetros y 6 metros. Si va y viene dos veces al día, cuántos metros recorre? 1.- De un tendido eléctrico que ha de tener 8 miriámetros, 4 kilómetros, 6 hectómetros y 4 decámetros de largo se han colocado 16 kilómetros, 3 hectómetros y 5 decámetros. Cuántos metros faltan por colocar? 13.- Una carretera de 75 kilómetros, 8 hectómetros, 4 decámetros y 6 metros de larga tiene a ambos lados árboles separados entre sí por 8,5 metros. Cuántos árboles hay en la citada carretera? 14.- Reduce a litros: 6 kilolitros, 4 decalitros, 7 decilitros y 4 centilitros. 15.- Reduce a metros cuadrados: 4 hectómetros cuadrados, 60 decámetros cuadrados, 35 metros cuadrados y 7 centímetros cuadrados. 16.- Reduce a metros cúbicos: 3 kilómetros cúbicos, 60 decámetros cúbicos, 35 metros cúbicos y 40 decímetros cúbicos. 17.- Reduce a metros: 8 miriámetros, 4 kilómetros, 6 decámetros y 38 centímetros. 18.- Reduce a gramos: 36 kilogramos, 8 hectogramos, 3 decigramos y 75 miligramos. --
Medidas de peso Unidad de decagramo 10gramos hectogramo 100gramos Múltiplos kilogramo 1000gramos peso:gramo miriagramo 10000gramos decigramo 0,1gramos Divisorescentigramo 0,01gramos miligramo 0,001gramos Quintal métrico = 100 kilogramos Tonelada métrica = 1000 kilogramos 1.- Cuánto pesa el agua que cabe en un centímetro cúbico?.- En 7 kg, cuántos Dg hay? Cuántos Hg faltan a 60 Dg para valer un Kg? 3.- Cuántos Hg tiene una tonelada? Cuántos Mg hay en 4 Qm? 4.- Un anillo pesa 4 gramos y 7 cg. Cuántos dg le faltan para los 5 gramos?. 5.- En un almacén de harinas hay 0 toneladas métricas, 6 miriagramos y 4 kilogramos de harina. Se han vendido 8 quintales métricos, 3 miriagramos y 7 kilogramos. Cuántos kilogramos de harina quedan? Cuánto valen los kilogramos vendidos a razón de 3,08 euros el kilogramo? 6.- Un labrador ha sacado de una huerta 30 quintales métricos, 4 miriagramos y 9 kilogramos de patatas, y de otra 1 tonelada métrica, 3 quintales métricos y 5 miriagramos. De ellas quiere vender el número de kilogramos suficiente a razón de 1,75 euros el kilogramo para comprar un traje por 05 euros. Cuántos kilogramos sacó? Cuántos tuvo que vender? 7.- Hay que cargar 4 toneladas métricas, 6 quintales métricos y 8 miriagramos de remolacha en 6 camiones. Si dos de ellos sólo pueden cargar 3000 kilogramos cada uno, qué carga habrá que poner en los demás?. 8.- Una sortija de oro pesa gramos, 5 decigramos y 4 miligramos, y una medalla, 0,5 gramos, 3 centigramos y 8 miligramos. Vendiendo ambas cosas a razón de 16 euros el gramo, cuánto valen? -3-
Medidas de capacidad decalitro 10litros hectolitro 100litros Múltiplos kilolitro1000litros Unidad de capacidad: litro mirialitro10000litros decilitro 0,1litros Divisorescentilitro 0,01litros mililitro 0,001litros VOLUMEN CAPACIDAD PESO 1 m 3 0,1 m 3 1 dm 3 1 cm 3 1 Kl 1 Hl 1 litro 1 ml 1 t 1 Q 1 kg 1 g 1.- Cuántos litros hay en 895 decilitros? Cuántos decalitros faltan a 6 Hl para ser un Kl?.- Cuántos Dl hay en 5 Hl? Cuántos ceros tienes que añadir al 7 para reducir 7 kl a litros? 3.- De un depósito que tenía 4 hectolitros y 6 decalitros de aceite se han vendido 8 decalitros y 5 litros. Cuántos litros de aceite quedan en el depósito? Cuánto vale el aceite vendido a razón de 1,80 euros el litro? 4.- Un camión transporta 40 depósitos de aceite, cada uno de 6 decalitros y 5 litros. Cuál es el valor de la carga a,05 euros el litro? 5.- Se quieren poner 0 kilolitros, 6 hectolitros, 4 decalitros y 5 litros de aceite en latas de 4,5 litros cada una. Cuántas harán falta? Cuántos euros valdrá el aceite a 8,60 euros el litro? 6.- Un cántaro de agua pesa vacío 3 kilogramos, 5 hectogramos y 8 gramos. Lleno pesa 5 kilogramos, 6 hectogramos y 5 decagramos. Cuál es, en litros, la capacidad de dicho cántaro? 7.- Efectúa las siguientes conversiones de unidades: a) Reduce a kilogramos: 74386 gramos. b) Reduce a metros cuadrados: 47,30965 hectómetros cuadrados. c) Reduce a kilolitros: 710,43 litros. d) Reduce a kilómetros: 39680 decámetros. e) Reduce a metros cúbicos: 390 kilómetros cúbicos. -4-
Medidas de superficie decametro 100metros hectometro 10000metros Múltiplos kilometro 1000000metros Unidad de superficie: metrocuadrado miriametro 100000000metros decimetro 0,01metros Divisores centimetro 0,0001metros milimetro 0,000001metros Área = decámetro cuadrado Hectárea = hectómetro cuadrado Centiárea = metro cuadrado 1.- Cuántos metros cuadrados son 3 Hm? Cuántos metros cuadrados son 4798 decímetros cuadrados?.- En 3 kilómetros cuadrados, cuántos milímetros cuadrados hay? 3.- Por qué número hay que dividir para reducir centímetros cuadrados a decámetros cuadrados? A cuántos decámetros cuadrados equivalen 745 hectáreas? 4.- Cuántos metros cuadrados tiene un área (unidad de medida agraria)? 5.- Para embaldosar un patio se han empleado 4680 baldosas de 4 decímetros cuadrados, 80 centímetros cuadrados de superficie. Cuántos metros cuadrados tiene el citado patio? 6.- He comprado 8 trozos de tela de 6 metros cuadrados, 40 decímetros cuadrados y 600 milímetros cuadrados cada uno, a razón de 7 euros el metro cuadrado. Cuánto costó la compra? 7.- Un señor que poseía una huerta de 3 hectáreas y 16 áreas, vendió 15 decámetros cuadrados a razón de 1,70 euros el metro cuadrado. Cuántos metros cuadrados le quedaron? Cuánto valió lo vendido? 8.- Sabiendo que las tierras ocupan 15000000 kilómetros cuadrados aproximadamente y que los mares ocupan tres veces más, cuál es la extensión de la parte líquida? Cuál es la superficie de la Tierra expresada en hectómetros cuadrados? 9.- Suma 4 kilogramos, 6 decagramos y 8 centigramos con 9 kilogramos, 3 hectogramos, 8 decagramos y 6 gramos. 10.- Resta 30 hectómetros cuadrados y 65 metros cuadrados de 4 kilómetros cuadrados, 63 decámetros cuadrados y 50 metros cuadrados. 11.- Suma 3 kilómetros, 4 decámetros y 8 metros con 48 hectómetros, 7 decámetros y 40 centímetros. 1.- Resta 9 kilolitros, 6 hectolitros, 3 decalitros y 5 litros de 30 kilolitros, 6 decalitros y 8 litros. -5-
Longitud de la circunferencia y áreas de figuras circulares Cómo podemos medir la longitud de una circunferencia? Mide las circunferencias que puedas hallar en los siguientes objetos y completa la tabla siguiente: CD botella plato rueda aro d L L / d A la vista de la tabla, sabrías decir cuál es la longitud aproximada de una circunferencia de 10 cm de diámetro sin medirla? Y de otra de 3 cm de radio? Tienes una fórmula para calcular la longitud de cualquier circunferencia? Observa que para cualquier circunferencia, el cociente L / d se mantiene constante y es un poquito más de 3. Este número se llama número y tiene infinitas cifras decimales que no forman periodo: = 3'14159653589... En la práctica se toman aproximaciones de este número. Por ejemplo, = 3 14, = 3 14, = 3 1416. La longitud de la circunferencia es: L = d O bien, teniendo en cuenta que el diámetro es el doble del radio: L = r Material: círculos dibujados sobre papel milimetrado. Calcula la superficie aproximada de los siguientes círculos. -6-
Completa usando tus datos la siguiente tabla: RADIO (r) SUPERFICIE ESTIMADA (S) S / r Qué fórmula utilizarías para hallas la superficie de cualquier círculo conociendo su radio? En la tabla anterior has observado que el cociente S / r se mantiene constante y es un poquito mayor que 3, es decir, se trata del número. Por lo tanto, la superficie del círculo es: S = r En efecto, si dividimos el círculo en un número cada vez mayor de sectores iguales como se indica en las siguientes figuras, el círculo es equivalente (tiene la misma superficie) que un paralelogramo de base r y altura r. Usando la fórmula que da el área de un paralelogramo obtenemos S = r r = r -7-
1.- Dibuja en el patio del colegio una circunferencia grande. Traza su radio y mídelo. Halla después la longitud de la circunferencia y el área del círculo comprendido..- Dibuja en tu cuaderno una circunferencia. Traza su radio y mídelo. Halla después en milímetros la longitud de la circunferencia y el área del círculo comprendido. 3.- El radio de la rueda de un carro mide 0,65 metros. Cuántas vueltas dará para recorrer 4 kilómetros, 6 hectómetros y 8 decámetros? 4.- Una rueda ha dado 3470 vueltas para recorrer 3680 metros. Cuánto mide su radio? 5.- Una circunferencia está inscrita en un cuadrado de 8 metros de lado. Cuál será la longitud de dicha circunferencia? 6.- Un estanque circular mide 64 metros de perímetro. Cuál es su superficie? 7.- Calcula en milímetros cuadrados el área de una moneda de 10 céntimos. 8.- Sobre una plaza de toros de 16 metros de radio se quieren echar 5 kilogramos de arena por metro cuadrado. Cuántas toneladas métricas serán necesarias? Cuántas carretillas de 48 kilogramos cada una habrá que echar? 9.- Calcula el área de un segmento circular de 148 o sabiendo que corresponde a un círculo de 3 metros de radio, que la longitud de la cuerda es de 5,6 metros y que la altura del triángulo es de 1, metros. El área de un segmento circular se halla restando del área del sector correspondiente, el área del triángulo formado por la cuerda y los radios. El área del sector circular se obtiene dividiendo el área del círculo correspondiente entre 360 (para hallar el área correspondiente a un grado), y multiplicando después por el número de grados del sector. 10.- Calcula el área de un sector cuyo arco equivale a /3 de la semicircunferencia y cuyo radio mide 4 metros. 11.- Dos círculos concéntricos miden 8 y 5 metros de diámetro. Cuál será el área de la corona circular comprendida entre ellos? -8-
El área de una corona circular se obtiene restando el área del círculo mayor menos el área del círculo menor correspondiente. 1.- La rueda delantera de una bicicleta mide 76 centímetros de diámetro y la trasera 75 centímetros. Cuántas vueltas más dará una que otra en un recorrido de 0 kilómetros? 13.- Un coche ha recorrido 56 kilómetros en una hora. Si sus ruedas delanteras tienen un radio de 0,38 metros, cuántas vueltas ha dado por minuto? 14.- Halla el área de un sector de 86 o que pertenece a un círculo de 7 metros de radio. 15.- Un círculo tiene 3 metros cuadrados de superficie. Cuánto medirá su radio? 16.- Un segmento de 96 o pertenece a un círculo de,3 metros de radio. Su cuerda mide 4 metros y la altura del triángulo correspondiente mide 1,6 metros. Cuál es su área? 17.- El radio mayor de una corona circular mide 8 metros y el menor 6,5 metros. Cuál será el área de dicha corona? Áreas de polígonos TRIANGULO b a A CUADRADO A l l l RECTÁNGULO A b a TRAPECIO b B A a HEXÁGONO REGULAR P a A= POLÍGONO REGULAR P a A= -9-
1.- Dibuja un cuadrado de 4 mm de lado y halla su superficie en mm y en cm..- Un huerto de forma cuadrada tiene 8 metros de lado. Si cada 4 metros cuadrados queremos plantar un árbol, cuántos podremos plantar? 3.- Un prado de forma cuadrada tiene 6400 metros cuadrados de superficie y está rodeado por tres hilos de alambre espinoso. Si cada metro de hilo vale a 0,85 euros, cuántos euros vale el alambre? 4.- De un solar de forma triangular que medía 16 metros de base y 19 metros de altura, se han vendido los /3 a 7,50 euros el metro. Cuánto ha valido el trozo vendido? 5.- La superficie de una finca triangular es de 40 áreas. Si la base mide 80 metros, cuánto medirá su altura? 6.- Una habitación de forma rectangular mide 8 metros de larga, 5 de ancha y 3 de altura. Si queremos empapelar sus paredes laterales y el techo, cuántos metros cuadrados de papel necesitaremos? De qué precio ha de ser el metro cuadrado de papel si dispongo de 800 euros y quiero que me sobren 150 euros? 7.- Una dehesa de forma rectangular tiene una superficie de 460 hectáreas. Si uno de los lados mide 1600 metros, cuánto medirá el otro? 8.- Un huerto con forma de trapecio rectángulo mide 60 y 80 metros en sus bases. Si el lado perpendicular a ellas mide 4 metros, cuál será su área? Y si se vendiera la esquina triangular de él a 8,75 euros el metro cuadrado, cuántos euros supondría la venta? 9.- Un solar con forma de trapecio mide 50 metros cuadrados. Si la distancia entre las bases es de 10 metros, cuánto mide cada base, sabiendo que una mide 10 metros más que la otra? 10.- Un triángulo mide 40 metros cuadrados de área y su altura mide 34 metros. Cuál será su base? 11.- Un cuadrado tiene una superficie de 680 metros cuadrados. Cuál será la longitud de cada uno de sus lados? 1.- Una finca de forma rectangular mide 1800 metros cuadrados de superficie y uno de sus lados mide 48 metros. Cuánto medirá el otro lado? 13.- El área de un trapecio es de 60 metros cuadrados y sus bases miden 18 y 15 metros. Cuánto medirá la altura? 14.- Dibuja en el patio del colegio un triángulo grande. Traza su altura. Toma las medidas necesarias y halla su área en metros cuadrados. 15.- Dibuja un trapecio en tu cuaderno. Toma las medidas oportunas en milímetros y halla su área en mm. Reduce después los mm a cm. -10-
16.- Traza un hexágono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio mida 3 cm. Traza la apotema del hexágono, mídela en mm y halla la superficie en mm. 17.- A qué es igual el doble de la superficie de un polígono regular, dividido por el perímetro? 18.- Un octógono regular tiene 3 metros de lado y 4,5 metros de apotema. Cuál es su área? 19.- Se quiere embaldosar un patio hexagonal con baldosas cuadradas de 0,5 metros de lado. Si cada lado del patio mide 4,30 metros y la apotema 3,75 metros, cuántas baldosas se necesitarán? 0.- Un hexágono tiene 60 metros cuadrados de área y 5 metros de apotema. Cuál es la longitud de cada lado? 1.- Un pentágono tiene 10 metros cuadrados de área y cada uno de sus lados mide 8 metros. Cuánto medirá su apotema?.- Toma en milímetros las medidas correspondientes y halla el área del siguiente polígono y de la figura irregular: 3.- Dibuja la siguiente cenefa: 4.- Dibuja en tu cuaderno un octógono regular. Traza su apotema. Toma en centímetros las medidas oportunas y halla su área en cm. Medidas de volumen Unidad de 3 3 Múltiplos Hm 1000000000m 3 3 dm 0,001m volumen: metrocúbico 3 3 Divisores cm 0,000001m 3 3 mm 0,000000001m 1.- Cuántos metros cúbicos hay en 4895 decímetros cúbicos? Cuántos decímetros cúbicos sobran?.- Un depósito tiene 5 metros cúbicos y 45 decímetros cúbicos de agua. Cuántos centímetros cúbicos de agua tiene? Cuántos centímetros cúbicos le faltan para tener 6 metros cúbicos? -11-
3.- Cuántos metros cúbicos son 48000 centímetros cúbicos? Cuántos decímetros cúbicos le faltan para metros cúbicos? 4.- Un depósito de aceite tiene 40 metros cúbicos y 600 decímetros cúbicos. Se han echado en él 15 kilolitros, 6 hectolitros y 4 decalitros. Cuántos decímetros cúbicos quedan aún por llenar? 5.- La décima parte de la capacidad de un embalse es de 4186400 metros cúbicos. Cuántos decámetros cúbicos de agua tiene dicho embalse? 6.- En una fábrica de aceite hay 74 depósitos, cada uno con 1 metro cúbico y 300 decímetros cúbicos. Cuántos litros de aceite habrá que echar en ellos para llenarlos? 7.- Multiplica 4 hectolitros, 6 decalitros y 9 litros por 7,45. 8.- Divide 3 kilómetros cúbicos, 475 decámetros cúbicos y 8 metros cúbicos en 5 partes iguales. 9.- Multiplica 7 kilogramos, 6 hectogramos y 9 decigramos por 6,5. 10.- Divide 18 miriámetros, kilómetros y 40 metros entre 5. 11.- Una máquina hecha completamente de acero desplaza un volumen de 475 decímetros cúbicos. Sabiendo que la densidad del acero es 7,818, cuál es el peso de dicha máquina? 1.- Un bidón de alcohol pesa vacío 7,5 kilogramos, y lleno, 43,6 kilogramos. Sabiendo que la densidad del alcohol es de 0,793, cuántos decímetros cúbicos de cabida tiene el bidón? 13.- Una barra de plata de 8 decímetros cúbicos pesa 83,76 kilogramos. Cuál es la densidad de la plata? 14.- Sabiendo que la densidad del hielo es 0,93, qué volumen tendrá un bloque del mismo que pesa 30 quintales métricos y 5 kilogramos? 15.- Sabiendo que el decímetro cúbico de aire pesa 0,00199 kilogramos, cuánto pesará el aire de un salón que tiene un volumen de 1460 metros cúbicos? 16.- Una sortija de oro pesa 15,4064 gramos y tiene un volumen de 0,8 centímetros cúbicos. Cuál es la densidad del oro? 17.- Un tronco de árbol pesa 645 kilogramos. Sabiendo que su densidad es de 0,950, cuál es el volumen en decímetros cúbicos? 18.- Una persona pesa fuera del agua 67,5 kilogramos, y dentro de ella 14,5 kilogramos. Cuál es su volumen en decímetros cúbicos? -1-