Cifras significativas. Definición. Las cifras significativas de un número son aquellas que tienen un significado real y, por tanto, aportan alguna información. Toda medición experimental es inexacta y se debe expresar con sus cifras significativas. Veamos un ejemplo sencillo: supongamos que medimos la longitud de una mesa con una regla graduada en milímetros. El resultado se puede expresar, por ejemplo como: Longitud (L) = 85,2 cm No es esta la única manera de expresar el resultado, pues también puede ser: L = 0,852 m L = 8,52 dm L = 852 mm etc Se exprese como se exprese el resultado tiene tres cifras significativas, que son los dígitos considerados como ciertos en la medida. Cumplen con la definición pues tienen un significado real y aportan información. Así, un resultado como L = 0,8520 m no tiene sentido ya que el instrumento que hemos utilizado para medir no es capaz de resolver las diezmilésimas de metro. Por tanto, y siguiendo con el ejemplo, el número que expresa la cantidad en la medida tiene tres cifras significativas. Asumiendo que cualquier problema de física o química de un libro de texto nos muestra las cantidades con sus cifras significativas, debemos saber expresar el resultado de las operaciones que hagamos con dichos números con sus cifras significativas correspondientes.
Reglas para establecer las cifras significativas de un número dado. Regla 1. En números que no contienen ceros, todos los dígitos son significativos. 3,14159 seis cifras significativas 3, 1 4 1 5 9 5.694 cuatro cifras significativas 5. 6 9 4 Regla 2. Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos. 2,054 cuatro cifras significativas 2, 0 5 4 506 tres cifras significativas 5 0 6 Regla 3. Los ceros a la izquierda del primer dígito que no es cero sirven solamente para fijar la posición del punto decimal y no son significativos. 0,054 dos cifras significativas 0, 0 5 4 0,0002604 cuatro cifras significativas 0, 0 0 0 2 6 0 4 Regla 4. En un número con dígitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos. 0,0540 tres cifras significativas 0, 0 5 4 0 30,00 cuatro cifras significativas 3 0, 0 0
Regla 5. Si un número no tiene punto decimal y termina con uno o más ceros, dichos ceros pueden ser o no significativos. Para poder especificar el número de cifras significativas, se requiere información adicional. Para evitar confusiones es conveniente expresar el número en notación científica, no obstante, también se suele indicar que dichos ceros son significativos escribiendo el punto decimal solamente. Si el signo decimal no se escribiera, dichos ceros no son significativos. 1200 dos cifras significativas 1 2 0 0 1200, cuatro cifras significativas 12 0 0, Redondeo de números La aplicación práctica de las reglas anteriores ha requerido del redondeo de números para ofrecer el resultado con el número de cifras significativas estipulado. Es decir, en el proceso de redondeo se eliminan los dígitos no significativos de un número, pero siguiendo unas reglas que se deben aplicar al primero de los dígitos que se desea eliminar. Si el primer dígito que se va a eliminar es inferior a 5, dicho dígito y los que le siguen se eliminan y el número que queda se deja como está. Por ejemplo, los siguientes números se han redondeado a 4 cifras significativas: 1,4142136 1,4142136 1,414 2,4494897... 2,4494897... 2,449 Si el primer dígito que se va a eliminar es superior a 5, o si es 5 seguido de dígitos diferentes de cero, dicho dígito y todos los que le siguen se eliminan y se aumenta en una unidad el número que quede. Por ejemplo, los siguientes números se han redondeado a cuatro cifras significativas: Π = 3,1415927 3,1415927 3,142 2,6457513... 2,6457513... 2,646
Notación científica En ocasiones hemos de utilizar números muy grandes, como la distancia en kilómetros de Saturno al Sol. O números muy pequeños, como el diámetro en cm. de un virus. El manejo de este tipo de números se simplifica utilizando potencias de 10, o notación científica. En esta notación, el número se escribe como el producto de un número mayor o igual que 1 y menor estrictamente que 10, y una potencia de 10. 100=10²=1 10². 72900=7,29 10000=7,29 10⁴. 0,0000000065=65/10000000000=65 10 ¹⁰=6,5 10 ⁹. El exponente entero al que está elevado la potencia de 10 recibe el nombre de orden de magnitud. Cuando los números son mayores que 1 el orden de magnitud es positivo. Por ejemplo, la distancia de Saturno al Sol, que es de 1433000000 km., se escribe en notación científica de la forma 1,433 10⁹ km. y el orden de magnitud de este número es 9. Cuando los números son menores que 1 el orden de magnitud es negativo. Por ejemplo, el diámetro un virión del virus de la inmunodeficiencia humana (VIH), causante del síndrome de inmunodeficiencia adquirida (SIDA), mide aproximadamente 0,0000000009 m., que en notación científica se escribe 9 10 ¹⁰ m., y el orden de magnitud es, en este caso, igual a 10. Utilizando las propiedades de las potencias podemos multiplicar y dividir fácilmente con números dados en notación científica. Veamos un par de ejemplos.
Es habitual, cuando se suman o restan números escritos en notación científica, escribirlos en el mayor de lo órdenes de magnitud que aparezca en dicha suma o en dicha resta. Si los órdenes de magnitud son muy diferentes, uno de los números números será mucho mayor que el otro y frecuentemente pueden despreciarse en las operaciones de suma o resta. Un error muy común, sobre todo por el uso de las calculadoras, es arrastrar en el cálculo muchos más dígitos de los que en realidad se conocen. Una regla general válida cuando se manejan diferentes números en una operación de multiplicación o división es que el número de cifras significativas del resultado no debe ser mayor que el menor número de cifras significactivas de cualesquiera de los números. Página 39. Actividadades 2,3 Página 45. Actividades 30, 31, 32, 33, 34, 35
Error absoluto y relativo Los números reales reflejan con absoluta precisión los resultados teóricos. Así por ejemplo, la longitud de una circunferencia de radio 5 3 es, exactamente, 2 Π 5 3, número real del cual no se puede dudar. Al ser un número irracional su expresión decimal consta de infinitas cifras decimales que no forman período: 4,683209821 Pero en las ciencias aplicadas o, simplemente, en la vida cotidiana, estos números se expresan en forma decimal y con una cantidad reducida de cifras. Así, el número anterior se quedaría en 4,7, 4,68, 4,683..., según la precisión requerida. En este proceso estamos tomando una expresión decimal aproximada (valor aproximado) del número real exacto (valor real). Se dice que de un número real tomamos una aproximación de orden n cuando se trata de un número racional con n cifras decimales. Así, las tres aproximaciones anteriores de 2Π 5 3 son de orden 1 (hasta las décimas), de orden 2 (hasta las centésimas) y de orden 3 (hasta las milésimas). En todo proceso de aproximación de un valor real Vr, por un valor aproximado Va, se comete un error. Hay dos tipos de errores, el error absoluto Ea y el error relativo Er.
Cuando aproximamos un número real, el valor real del mismo en la mayoría de las ocasiones no se conoce. En estos casos no podemos calcular exactamente el error. Así pues, para que la cantidad aproximada que utilizamos sea fiable, es imprescindible que el error esté controlado. Las cotas de los errores absoluto y relativo, que llamaremos k y k respectivamente, indican en cuánto nos podemos equivocar como máximo al utilizar una aproximación. Ea<k; Er<k El error absoluto suele ser menor que 5 unidades del lugar siguiente al de la última cifras significativa utilizada. El error relativo es tanto menor cuanto más cifras significativas se utilicen. En el ejemplo anterior ( 2 Π 5 3 =4,683209821 4,7, 4,68, 4,683), las cotas del error absolutos serán, respectivamente, 0,05, 0,005 y 0,0005.
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