Laboratorio 4. Piezoelectricidad. Objetivo Analizar el comportamiento de un material piezoeléctrico ometido a un campo eléctrico de frecuencia variable. Etudiar el modelo eléctrico equivalente, determinado a partir de la frecuencia de reonancia erie y paralelo, y del factor de mérito del piezoeléctrico. El efecto piezoeléctrico Un material tiene caracterítica piezoeléctrica cuando al er ometido a compreione o deformacione mecánica (ademá de variar u dimenione fíica de acuerdo con la leye de la elaticidad), produce una polarización eléctrica, dada por la relación P = d σ. () P e el vector de polarización eléctrica, σ e el tenor de tenione (de egundo rango, o ea una matriz de 3x3), y d el tenor piezoeléctrico (de tercer rango). La componente σ jk del tenor de tenione indica la componente j de la tenión del cuerpo a travé de un área unitaria perpendicular al eje k. Aí, al ecribir () en forma má explícita P = d σ () i ijk jk j, k queda claro que d e un tenor propio del material, que determina cuál e la polarización inducida en cada dirección por la tenione mecánica aplicada al mimo. De la mima forma, un material piezoeléctrico e deformará mecánicamente al aplicárele un campo eléctrico E, egún la iguiente regla: ε ij = dijkek ; (3) k e puede ver que e el mimo tenor d el que determina cuál erá la componente i de la deformación a travé de un área perpendicular al eje j ( ε ij ), producida por un campo eléctrico E. Entonce un material piezoeléctrico, i e ometido por ejemplo- a vibracione acútica, generará entre u cara un campo eléctrico de la mima frecuencia que la
vibración (aí funcionan lo micrófono piezoeléctrico, y a la invera lo parlante de agudo o tweeter). La repueta en frecuencia de eto materiale no e plana, e decir, hay cierta frecuencia para la cuale la tranferencia de energía eléctricamecánica e máxima, y otra para la cuale éta e mínima. En ete entido, el piezoeléctrico e comporta de manera análoga a un circuito eléctrico LC ometido a una excitación de corriente alterna (figura ). L C ~ Figura : Circuito LC erie, conectado a una fuente de corriente alterna La analogía e clara i e recuerda que la ecuación de movimiento de un cuerpo vibrando debido a la acción de una fuerza externa dependiente del tiempo e d x dx m + b + kx = F( t) (4) dt dt donde m e la maa del cuerpo, b el coeficiende de amortiguamiento (pérdida mecánica interna, en ete cao, y k e la contante elática del cuerpo. Eta ecuación e formalmente igual a la ecuación correpondiente a un circuito LC erie, dada por: d L i dt dt C dt d i di + + =. (5) La diferencia etá dada por lo que e denomina el factor de mérito o de calidad del reonador, Q. En dicho circuito, ete factor e define como L Q = ω (6) donde ω e la frecuencia de reonancia. Ete factor de mérito e un parámetro general de lo circuito reonante, y e puede definir en forma má general como Q ω = (7) ω ω + donde ω + y ω - on la frecuencia para la cuale la potencia tranferida del generador al crital (análogamente, de a en el circuito de la figura ) cae a la mitad de la L4-Piezoelectricidad
potencia máxima que e tranfiere en reonancia. En conecuencia, el ancho de la reonancia e inveramente proporcional a Q o dicho de otro modo, un valor grande de Q ignifica que la reonancia e muy etrecha y la etabilidad del reonador e grande (ν etá muy bien definida). E por eto que a Q e lo denomina factor de calidad del ocilador. El factor de calidad de un ocilador critalino e mucho má grande que el del circuito eléctrico. E por eto que cuando e requiere un reonador etable y precio e recurre a ete tipo de elemento, por obre lo ociladore eléctrico. La impedancia del circuito eléctrico equivalente de la figura, Z=+j X, e Z = + j ωl (8) ωc Si y on la tenione de entrada y alida, e calcula a partir de la corriente que circula por el circuito, I: ( j t ) = exp ω y la tranferencia del circuito LC reulta ( ) = I Z = exp jωt + Z (9) T = = + + ωl ωc ( ) (0) La potencia tranferida, en cambio, e calcula P tran ( + ) = ( I ) = () ( + ) + ωl ωc donde lo corchete indican un valor medio obre un período. La potencia máxima tranferida correponde a la frecuencia de reonancia, ω = LC.Para definir el factor Q en término de lo elemento del circuito, a partir de () e encuentran la frecuencia ω + y ω -, para la cuale la potencia tranferida cae a la mitad. Aí, Q reulta ω L Q = + () El efecto de lo terminale El circuito eléctrico equivalente a tener en cuenta e un poco má complicado que el de la figura, ya que lo do electrodo que etán obre el piezoeléctrico funcionan L4-Piezoelectricidad 3
como una capacidad adicional, en paralelo con el ocilador critalino. E por eto que en el circuito eléctrico equivalente hay que incluir ete efecto, como una capacidad C en paralelo con el piezoeléctrico (figura 3): PZT L C C Figura 3: Circuito equivalente del piezoeléctrico con lo electrodo de contacto La impedancia Z del circuito equivalente de la figura 3 e calcula fácilmente: hay que umar la impedancia en paralelo de la rama uperior (Z ) e inferior (Z ): Z = + j ωl ; ωc. (8) Z = j ; ω C Y la invera de eta impedancia Z e (Z - e la admitancia Y) ωl Y = + j ωc C ω. (9) Z + ωl + ωl ωc ωc Se puede calcular el módulo cuadrado de la impedancia, que da la iguiente expreión: + ωl ωc Z = ; (0) ω C + ωc ωl ωc L4-Piezoelectricidad 4
la reonancia del circuito de la figura 3, en principio e pueden obtener de(0), pero lo mínimo de Z no on fácile de obtener. Sin embargo, i e deprecia, uponiendo que la reitencia equivalente e chica comparada con la parte reactiva (X), la expreión tiene un cero en ω = () LC (propiamente dicho, ω e un valor aproximado a la reonancia erie del circuito, donde la impedancia e puramente reitiva y la tranferencia e máxima), y tiene un polo o diverge para ω = + L C C () p con lo que ω p e la aproximación de la antirreonancia, o reonancia paralelo del circuito. En ete cao, la impedancia e máxima y la tranferencia tiene un mínimo. El valor de e puede etimar midiendo / y bucando cuál e el valor de la reitencia correpondiente a ee cociente para un circuito puramente reitivo. Midiendo el ancho Q de la reonancia erie e puede calcular L, la inductancia del modelo equivalente [uando la expreión ()], y finalmente con lo valore de ω y ω p medido e pueden determinar lo valore de C y C. Sin embargo, no hay que olvidar que la expreione () y () on ólo aproximacione, por lo que una vez calculado lo valore de, L, C y C a partir de la medicione habrá que verificar i la aproximación <<X e conitente. El experimento En eta práctica e etudiarán la caracterítica de un crital de cuarzo como reonador piezoeléctrico, iguiendo la analogía con circuito eléctrico. Sobre el crital e aplica una eñal eléctrica armónica, que genera ocilacione mecánica. Eta ocilacione, a u vez, generan una eñal eléctrica que e regitra en otra región del crital. Concretamente, el objeto de etudio e un monocrital de cuarzo cortado a +5º de uno de lo eje critalino, en forma de prima de bae cuadrada de 4mm de lado y 50mm de longitud. Do de u cara laterale etán metalizada y poeen do alambre oldado. Sobre uno de ello e aplica la eñal de entrada ( ) y obre el otro e regitra la eñal tranmitida ( ), como e muetra en la figura. L4-Piezoelectricidad 5
~ PZT generador de funcione Figura : circuito utilizado en eta práctica. PZT:piezoeléctrico La tenione y e pueden medir imultáneamente con un ocilocopio. De eta forma e pueden medir amplitude y fae relativa. En el mimo dipoitivo obre el cual etá montado el piezoeléctrico hay una erie de reitencia variable que permiten, una vez ubicada la reonancia en erie, etimar igualando la tranferencia del circuito con la de eta reitencia variable. E válida la aproximación de <<X? Cuánto vale el módulo de la impedancia Z [eq (0)] para ω=ω? Utilizando lo valore calculado de, L, C y C etime el error que comete en ea aproximación. Podría contruir un circuito eléctrico LC cuya tranferencia ea comparable a la del piezoeléctrico? Una forma alternativa de etimar e excitar al itema con una onda cuadrada, de baja frecuencia, y obervar la amortiguación del tranitorio. Cómo debería er éta i e upone que e chica? Pruebe! Bibliografía.P. Feynman, The Feynman Lecture on Phyic, ol. II (Addion-Weley Iberoamericana, 987). E. odriguez Trelle. Tema de Electricidad y Magnetimo. (EUDEBA) L4-Piezoelectricidad 6