Indice Cinemática de la Partícula Introducción Un fenómeno que siempre está presente y que observamos a nuestro alrededor es el movimiento. La cinemática es la parte de la Física que describe los posibles movimientos sin preocuparse de las causas que lo producen. No es lícito hablar de movimiento sin establecer previamente ''respecto de que'' se le refiere. Debido a esto, es necesario elegir un sistema de referencia respecto del cual se describe el movimiento. El sistema de referencia puede ser fijo o móvil. Conceptos Básicos En esta unidad, se estudiará el movimiento de una partícula, la cual sólo se traslada, para ello daremos algunos conceptos. Partícula Es un cuerpo uniforme, que en la realidad no existe y que corresponde a la idealización matemática de un objeto cuyas dimensiones y orientación en el espacio son despreciables para la descripción particular del movimiento. Sistema de referencia Es un cuerpo respecto del cual se describe el movimiento de otro u otros cuerpos. Al cuerpo rígido suponemos unida una terna de ejes fundamentales (por ejemplo un sistema de ejes cartesianos). y Posición Punto del espacio referido a un sistema de referencia. Vector posición Vector que une el origen O del sistema de referencia con el punto P del espacio en el cual está la partícula. Para el sistema ortogonal cartesiano x, y, z el vector posición se identifica por el trío ordenado (x,y,z) Y Movimiento Es un concepto relativo pues depende del sistema de referencia. Se puede definir como el cambio de posición de la partícula en el tiempo, respecto de un punto o sistema de referencia considerado fijo. Trayectoria Es la curva descrita por la partícula durante su movimiento. 1
Distancia recorrida Es la longitud del recorrido seguido por la partícula. Desplazamiento Es la diferencia entre dos vectores posición de la partícula. El desplazamiento entre los puntos 1 y 2 es y es independiente del origen O y de la trayectoria sólo depende del punto de partida y de llegada. Rapidez media Es el cuociente entre la distancia recorrida AB y el tiempo t empleado en recorrerla. Rapidez Instantánea 2
Es el límite de la rapidez media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. Velocidad Media Es el cuociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo empleado en desplazarse. Velocidad Instantánea Es el límite de la velocidad media cuando el intervalo t tiende a cero Aceleración Media Es el cuociente entre la diferencia de la velocidad instantánea y el intervalo de tiempo en que se produce dicha variación. Aceleración Instantánea Es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. 3
Aceleración Normal y Tangencial La velocidad y la aceleración pueden expresarse en otro sistema de coordenadas ortogonal, en el que el origen del sistema coincide con la partícula siendo los vectores bases at y an con at tangente a la trayectoria y en el sentido del movimiento y an normal a at dirigido hacia el centro de la curvatura. at :es un vector tangente a la curva y corresponde al cambio de la rapidez en el tiempo. an : es un vector normal a la curva y corresponde al cambio de dirección del vector velocidad. Movimiento rectilíneo uniforme Hemos expresado la posición x de un objeto como una función del tiempo t indicando la función matemática que relacionaba a x y a t. Luego se obtuvo su velocidad calculando la derivada de x con respecto a t. Finalmente, se calculó la aceleración a de un objeto derivando la velocidad con respecto al tiempo t. Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél en el cual la velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero (la derivada de una constante es cero). 4
La función desplazamiento es la integral de la función velocidad que en este caso es constante v ( t ) = C, por tanto el desplazamiento será x ( t ) = xo + v. t, donde x0 será la posición inicial del móvil. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Si un objeto se mueve con aceleración constante en una sola dimensión Existe alguna forma de ir de a a v y luego a x? Sí, por un proceso llamado integración. Dada la aceleración podemos obtener la función velocidad integrando la aceleración y dada la velocidad podemos obtener la función desplazamiento integrando la velocidad. La función velocidad es la integral de la aceleración a ( t ) = C, por tanto la velocidad será v ( t ) = v0 + a. t. La función desplazamiento es la integral de la velocidad, por tanto: sta es la expresión general de la posición de un objeto en el caso del movimiento en una dimensión con aceleración constante, donde x0 es la posición inicial del objeto. Caída Libre 5
Si permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modo que la resistencia del aire no afecte su movimiento, encontraremos un hecho notable: todos los cuerpos independientemente de su tamaño, forma o composición, caen con la misma aceleración en la misma región vecina a la superficie de la Tierra. Esta aceleración, denotada por el símbolo g, se llama aceleración en caída libre Si bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos con movimiento hacia arriba experimentan la misma aceleración en magnitud y dirección. El valor exacto de la aceleración en caída libre varía con la latitud y con la altitud. Hay tambien variaciones significativas causadas por diferencias en la densidad local de la corteza terrestre, pero este no es el caso que vamos a estudiar en esta sección. Las ecuaciones vistas en la sección anterior para un movimiento rectilíneo con aceleración constante pueden ser aplicadas a la caída libre, con las siguientes variaciones: Establecemos la dirección de la caída libre como el eje Y y tomamos como positiva la dirección hacia arriba.+ Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado a la aceleración por g, puesto que nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración es negativa. En la gráfica anterior podemos observar la dirección de los vectores aceleración y velocidad, de un objeto que ha sido lanzado hacia arriba con una velocidad inicial; en el primer instante (bola a la izquierda) notamos que el vector velocidad apunta hacia arriba, en el sentido positivo del eje Y, mientras el vector aceleración ( g ) tiene una dirección hacia abajo, en el sentido negativo del eje Y. En el segundo instante cuando el objeto cae (bola a la derecha) la dirección de la velocidad es hacia abajo en el mismo sentido del desplazamiento y el vector aceleración ( g ) mantiene su misma dirección, en el sentido negativo del eje Y. Con estas variaciones las ecuaciones resultan ser: a ( t ) = g v ( t ) = v0 g Movimiento Parabólico Llamamos movimiento parabólico a la trayectoria de un objeto que describe un vuelo en el aire después de haber sido lanzado desde un punto cualquiera en el espacio. Si el objeto tiene una densidad de masa suficientemente grande, los experimentos muestran que, a menudo, podemos despreciar la resistencia del aire 6
y suponer que la aceleración del objeto es debida sólo a la gravedad. Como de costumbre, vamos a definir el eje x como horizontal y el +y en la dirección vertical hacia arriba. En este caso la aceleración es a = g. j, entonces: Supongamos que un proyectil se lanza de forma que su velocidad inicial v0 forme un ángulo q con el eje de las x, como se muestra en la figura: Descomponiendo la velocidad inicial, obtenemos las componentes iniciales de la velocidad: Para deducir las ecuaciones del movimiento parabólico, debemos partir del hecho de que el proyectil experimenta un movimiento rectilíneo uniforme a lo largo del eje x, y uniformemente acelerado a lo largo del eje y. De esta forma tenemos que: Si derivamos estas ecuaciones obtenemos la aceleración y si integramos obtenemos el desplazamiento: eliminamos el tiempo de las ecuaciones del desplazamiento x e y, obtenemos la ecuación de la trayectoria : y = ax2 +bx +c Movimiento circular uniforme Examinaremos ahora el caso especial en que una partícula se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular. Como veremos, tanto la velocidad como la aceleración son de magnitud constante, pero ambas 7
cambian de dirección continuamente. Esta situación es la que se define como movimiento circular uniforme. Para el movimiento en círculo, la coordenada radial es fija ( r ) y el movimiento queda descrito por una sola variable, el ángulo, que puede ser dependiente del tiempo (t). Supongamos que durante un intervalo de tiempo dt, el cambio de ángulo es d. La longitud de arco recorrida durante ese intervalo está dada por ds = r d. Al dividir entre el intervalo de tiempo dt, obtenemos una ecuación para la rapidez del movimiento: de donde d/dt es la rapidez de cambio del ángulo y se define como la velocidad angular, se denota por y sus dimensiones se expresan en radianes por segundo (rad/s) en el SI. En terminos de w, tenemos que: v = r w Una cantidad importante que caracteriza el movimiento circular uniforme es el período y se define como el tiempo en que tarda el cuerpo en dar una revolución completa, como la distancia recorrida en una revolución es 2r, el período T es: 2 r = v T La frecuencia es el número de revoluciones que efectúa la partícula por unidad de tiempo, por lo general es 1 segundo. La unidad en el SI es el hertz (Hz), que se define como un ciclo por segundo. La frecuencia es el inverso del período, esto es: Aceleración centrípeta Aunque la rapidez es constante en el caso del movimiento circular uniforme, la dirección de la velocidad cambia, por lo tanto, la aceleración no es cero 8
Sea P1 la posición de la partícula en el tiempo t1 y P2 su posición en el tiempo t2. La velocidad en P1 es V1, un vector tangente a la curva en P1. La velocidad en P2 es V2, un vector tangente a la curva en P2. Los vectores V1 y V2 tienen la misma magnitud V, ya que la velocidad es constante, pero sus direcciones diferentes. La longitud de la trayectoria descrita durante t es la longitud del arco del punto P1 a P2, que es igual a r. ( donde q esta medida en radianes ), la velocidad es la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo, de esta forma: r. = V. t Podemos ahora trazar los vectores V1 y V2 de tal forma que se originen en un punto en común: Esta figura nos permite ver claramente el cambio en la velocidad al moverse la partícula desde P1 hasta P2. Este cambio es: V1 V2 = V Ya que la dirección de la aceleración promedio es la misma que la de V, la dirección de a está siempre dirigida hacia el centro del círculo o del arco circular en el que se mueve la partícula. Para un movimiento circular uniforme, la aceleración centrípeta es: Movimiento circular uniformemente acelerado Cuando el movimiento es uniformemente acelerado, existe una aceleración angular, y se define como la razón instantánea de cambio de la velocidad angular: 9
Las unidades de la aceleración angular son radianes por segundo al cuadrado. Si la aceleración angular es constante, entonces la velocidad angular cambia linelmente con el tiempo; es decir, = + a t donde w0 es la velocidad angular en t = 0. Entonces, el ángulo está expresado por (t) = 0 + t + ½ a t ² zo zx zz (x,y,z) 10