Valores singulares Curso 2017-18 1 Producto escalar y ortogonalidad < x, y >= n y i x i = y T x si F = R, n y i x i = y x Si x C n x x = n x i 2 = x 2 2. si F = C Si x, y C n x y = y x, pero si x, y R n entonces x T y = y T x. x, y ortogonales: x y y x = 0. Si S F n su (subespacio) ortogonal: S = {y F n x y = 0, x S}. S ortogonal x, y S, x y = 0. S ortonormal S ortogonal y x S, x 2 = 1. Si S = {v 1,..., v t } ortogonal entonces linealmente independientes 2
Matrices unitarias y ortogonales (a) Una matriz U C n n es unitaria si sus columnas forman una base ortonormal de vectores de C n. (b) Una matriz P R n n es ortogonal si sus columnas forman una base ortonormal de vectores de R n. Para U C n n las siguientes condiciones son equivalentes: (i) U es unitaria. (ii) U es no singular y U = U 1. (iii) UU = I n. (iv) U es unitaria. (v) Las filas de U (mejor: las columnas de U ) forman un sistema ortonormal de vectores de C n. (vi) Para todo x C n se tiene x 2 = Ux 2 3 Normas unitariamente invariantes Una norma en C m n se dice que es unitariamente invariante si A C m n y para todo par de matrices unitarias U C m m y V C n n se cumple que UAV = A. Las normas 2 y F definidas en C n n son unitariamente invariantes. 4
Descomposición en valores singulares Sea m, n enteros positivos y A C m n. Una descomposición en valores singulares (completa) de A es una factorización A = UΣV donde U C m m y V C n n son unitarias y [ ] Diag(σ1,..., σ n ) 0 Σ = (m n) n [ ] Diag(σ1,..., σ m ) 0 m (n m) si m n si n m con σ 1 σ p 0, p = mín{m, n}, números reales no negativos ordenados de mayor a menor. A σ 1,..., σ p se les llama valores singulares de A. Además, a los vectores u 1,..., u m y v 1,..., v n que forman las columnas de U y V se les llama vectores singulares de A por la izquierda y por la derecha, respectivamente. Si A R m n basta cambiar matriz unitaria por matriz ortogonal. 5 El teorema SVD Teorema (Teorema SVD) Toda matriz A F m n admite una descomposición en valores singulares. Además, los valores singulares están determinados de forma única, y, si A es cuadrada y sus valores singulares son todos distintos, entonces los vectores singulares están también determinados de forma única salvo producto por un número complejo de módulo 1. 6
Propiedades de los valores singulares 1 rang(a) = número de valores singulares de A distintos de cero 2 Si A = UΣV es una descomposición de A C m n en valores singulares, r = rang A, y U = [ u 1 u 2 u m ] y V = [ v 1 v 2 v n ] entonces Im A =< u 1,..., u r > MATLAB: orth(a) Ker A =< v r+1,..., v n > MATLAB: null(a) 3 Im A =< v 1,..., v r >, Ker A =< u r+1,..., u m > 4 Los valores singulares de A C m n distintos de cero son las raíces cuadradas positivas de los valores propios distintos de cero de A A y también de los de AA. 5 Los valores singulares de A están determinados de forma única. Y si A es cuadrada y sus valores singulares son todos distintos, entonces los vectores singulares están también determinados de forma única salvo producto por un número complejo de módulo 1. 6 Si A C m n y σ 1 σ p 0, p = mín{m, n}, son sus valores singulares, entonces A 2 = σ 1 y A F = σ 2 1 + + σ2 p. 7 Más propiedades de los valores singulares 7 Si A C n n y σ 1 σ n son sus valores singulares entonces det(a) = σ 1... σ n 8 Si A C n n es invertible y σ 1 σ n son sus valores singulares entonces los valores singulares de A 1 son 1 1. En particular, A 1 2 = 1. σ n σ 1 σ n 9 Si A = UΣV C m n es una descomposición de A en valores singulares y rang(a) = r entonces A = r σ i u i v i donde U = [ ] [ ] u 1 u m, V = v1 v n y σ 1 σ r > 0 son los valores singulares positivos de A. Observación: A = r σ i u i v i = U r Σ r V r,. U r = U(:, 1 : r), Vr = V (1 : r, :), Σ r = Diag(σ 1,..., σ r ). 8
Aproximación a matrices de menor rango Teorema Sea A C m n una matriz de rango r; y sea k < r un entero no negativo. Entonces mín A B 2 = mín A B 2 = σ k+1 rang(b) k rang(b)=k donde σ 1 σ 2... σ r > 0 son los valores singulares no nulos de A. Corolario Si A C n n es una matriz no singular y σ 1 σ 2... σ n > 0 son sus valores singulares, entonces mín A B 2 = σ n. det(b)=0 Corolario El conjunto de las matrices de rango completo de C m n es abierto. 9 La inversa de Moore-Penrose Si A invertible A = U Diag(σ 1,..., σ n )V A 1 = V Diag(1/σ 1,..., 1/σ n )U [ ] Si A C m n o singular: U Diag(σ1,..., σ AV = r ) 0. 0 0 ( 1 Σ = Diag,..., 1 ) 0 σ 1 σ r 0 0 A la matriz A = V Σ U se le llama inversa generalizada de Moore-Penrose o pseudoinversa de A. (i) AA A = A, (ii) A AA = A, (iii) A A = (A A), (iv) AA = (AA ). Para cada A C m n hay una única inversa de Moore-Penrose. 10