Francisco José Vera López

Álgebra y Matemática Discreta Matrices. Sistemas de ecuaciones. Francisco José Vera López Dpto. de Matemática Aplicada Facultad de Informática 2015

1 Matrices 2 Sistemas de Ecuaciones

Matrices Una matriz sobre el cuerpo K de tamaño (u orden) m n es un conjunto de m n elementos de K dispuestos en m las y n columnas. El conjunto de las matrices m n sobre K se denota por M m n (K). a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Si A M m n (K), se escribe A = (a ij ) donde a ij es el elemento que ocupa la la i columna j. Cuando m = n la matriz se dice cuadrada. Se denotarán M n (K). Los elementos a ii se llaman la diagonal principal de la matriz.

Suma de matrices En el espacio de matrices M m n (K) hay denidas dos operaciones: la suma de matrices y el producto de un escalar por una matriz. Si A, B M m n (K) donde A = (a ij ) y B = (b ij ) entonces se dene A + B como la matriz A + B = (c ij ) M m n (K) donde c ij = a ij + b ij para todo i y j. Si k K, se dene k A como la matriz k A = (d ij ) M m n (K) donde d ij = k a ij para todo i y j. Veremos que con dichas operaciones el espacio M m n (K) es un espacio vectorial sobre el cuerpo K.

Matrices La matriz de que tiene todos sus elementos iguales a 0 se conoce como matriz nula (o cero). Se denota por 0. La suma de matrices cumple las siguientes propiedades: 1 Si A, B, C M m n (K) entonces (A + B) + C = A + (B + C) 2 Si A, B M m n (K) entonces A + B = B + A 3 Existe 0 M m n (K) tal que 0 + A = A + 0 = A para cada A M m n (K) 4 Para cada A M m n (K) existe A M m n (K) tal que A + ( A) = 0

Producto de matrices Además de la suma de matrices de igual tamaño, ciertas matrices pueden multiplicarse. Si A = (a ij ) M m n (K) y B = (b ij ) M n r (K) entonces existe n A B = (c ij ) M m r (K) donde c ts = a tk b ks k=1 Observación: Vemos que el número de columnas de la matriz A debe de coincidir con el número de las de la matriz B. El lugar (i, j) de la matriz producto es el producto de la la i de A por la columna j de B. La matriz cuadrada de tamaño n n que tiene un 1 en la diagonal principal y 0 en el resto, se denomina matriz identidad y se denota por I n.

Propiedades Si A, B, C son matrices sobre K tales que las correspondientes operaciones pueden realizarse, entonces: A (B + C) = A B + A C A (B C) = (A B) C A (t B) = (t A) B = t A B Si A M m n (K), entonces I m A = A I n = A. El producto de matrices no es conmutativo en general. De hecho si existe A B, no tiene por que estar denido siquiera B A. Si A M n (K) es una matriz cuadrada entonces se puede calcular la potencia A n.

Matriz transpuesta Si A M m n (K), A = (a ij ), se dene la matriz transpuesta de A, A t M n m (K), como A t = (a ji ). Si A, B son matrices sobre K tales que las correspondientes operaciones pueden realizarse, entonces: (A + B) t = A t + B t (r A) t = r A t (A B) t = B t A t A es simétrica si A = A t.

Matriz inversa Una matriz cuadrada A M n (K) es invertible si existe otra matriz, llamada A 1 M n (K) tal que: A A 1 = A 1 A = I n, siendo I n la matriz identidad de orden n. Propiedades de la inversa y también de la transpuesta: Si A y B son matrices invertibles entonces: (A B) 1 = B 1 A 1 y (A t ) 1 = (A 1 ) t

Operaciones elementales por las Dada una matriz A, se entiende por operación elemental por la sobre A, a: Intercambiar, en A, las las i y j de lugar. Multiplicar la la i de A por un número distinto de cero t. Sumar a la la i de A la la j de A multiplicada por un número z. Dos matrices son equivalentes por las si se puede transformar una en otra mediante una sucesión de operaciones elementales por las.

Reducción de matrices Una matriz se dice que está en forma esclonada por las si verica: 1.- Las las en las que todos los elementos son cero (las nulas) están por debajo de las las no nulas. 2.- El primer elemento no nulo de una la no nula es siempre 1, leyéndolas de izquierda a derecha. 3.- Debajo del primer elemento no nulo de cada la sólo puede haber ceros. 4.- El primer elemento no nulo de cada la no nula, siempre está mas a la derecha que el de la la anterior. El primer elemento no nulo de cada la, se llama elemento pivote Ejemplo de matriz que está escalonada por las [1,-1,0, 3, 4] [0, 0,1, 0,- 1] [0, 0,0, 1, 2] [0, 0,0, 0, 1] [0, 0,0, 0, 0]

Reducción de matrices Una matriz se dice escalonada reducida por las si además: Encima del primer elemento (pivote) no nulo de cada la sólo puede haber ceros. Ejemplo de matriz escalonada reducida por las [1,-1,0, 0, 0] [0, 0,1, 0, 0] [0, 0,0, 1, 0] [0, 0,0, 0, 1] [0, 0,0, 0, 0]

Algoritmo de reducción Toda matriz se puede convertir en una matriz escalonada o escalonada reducida por las realizando operaciones elementales por las. Algoritmo de escalonamiento por las. Consiste en los siguientes pasos: Empezamos por la primera la. Si esta es nula vamos a la siguiente la, si es no nula buscamos el primer elemento no nulo. Si dicho elemento es t, multiplicamos toda la la por 1/t para convertir el primer elemento (pivote) no nulo en un 1. Una vez convertido el pivote en 1, tenemos que convertir todos los elementos no nulos por debajo de dicho pivote en 0. Si por ejemplo la la i tiene un elemento no nulo r en la misma columna que nuestro pivote, haciendo F i = r F 1 + F i se consigue poner en esa posición un 0. Repetiremos dicho proceso por cada elemento no nulo que tengamos debajo del pivote.

Algoritmo de reducción Repetimos este proceso para cada una de las las hasta que lleguemos al nal. En este punto tenemos una matriz que cumple las condiciones de estar en forma escalonada por las (2) y (3). Para conseguir que cumpla las condiciones (1) y (4) simplemente reordenamos las las haciendo los intercambios de las que sean necesarios. Si queremos hallar la escalonda reducida por las habría que poner 0 también encima de los pivotes. Dada una matriz A M m n (K) se dene el rango de A como el número de las las no nulas de la matriz escalonada reducida por las equivalente a A.

Inversa de una matriz Una matriz A M n (K) es invertible si y sólo si es equivalente por las a I n. Si A es invertible entonces A 1 puede calcularse haciendo sobre I n, las mismas transformaciones que convierten A en I n. Algoritmo para hallar la inversa de A: Ampliamos la matriz A con la I n Una vez hallada la forma escalonada reducida de dicha matriz, las ultimas n columnas de dicha matriz sería la matriz A 1.

Sistemas de ecuaciones Una ecuación lineal es una ecuación del tipo a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b. Los números a 1,..., a n K se llaman los coecientes de la ecuación, las letras x 1,..., x n las incógnitas de la ecuación y el número b K se llama término independiente. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones del tipo anterior. a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2.. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m diremos que es un sistema de m ecuaciones con n incógnitas.

Sistemas de ecuaciones Si A = (a ij ) M m n (K) es la matriz de los coecientes, el sistema se escribe matricialmente como A X = B siendo X la matriz columna de las incógnitas y B la matriz columna de los términos independientes. Matriz ampliada AB es añadirle a la matriz de coecientes una última columna que es precisamente la columna de términos independientes B. Un conjunto de números (s 1, s 2,..., s n ) se dice una solución del sistema si, al sustituir en las ecuaciones cada x i por su correspondiente s i, se verican todas las igualdades resultantes.

Sistemas de ecuaciones Un sistema se dice compatible si tiene alguna solución. Si dicha solución es única el sistema se dice compatible determinado, si posee varias soluciones se llama compatible indeterminado. Si no tiene solución se dice incompatible. Dado un sistema el problema principal es saber si tiene solución y, caso de haberlas, encontrar todas las soluciones del sistema. Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.

Sistemas de ecuaciones El sistema triangular a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a mn x n = b m Se resuelve trivialmente. Empezamos despejando x n de la última ecuación. Sustituimos su valor en la ecuacón anterior, pudiendo así despejar el valor de x n 1 y así sucesivamente. Por ello, dado un sistema de ecuaciones lineales, vamos a hallar un sistema triangular, equivalente al sistema dado. Usaremos las conocidas operaciones elementales. Al efectuar operaciones elementales entre las ecuaciones de un sistema lineal se obtiene un nuevo sistema de ecuaciones que es equivalente al dado. Dichas operaciones entre las ecuaciones equivalen a hacer esas mismas operaciones entre las las de la matriz ampliada del sistema. El método se conoce como Método de Gauss:

Método de Gauss Método de Gauss: Dado el sistema A X = B, para resolverlo procederemos a reducir por las la matriz ampliada del sistema hasta llegar a la matriz reducida completa. El sistema de ecuaciones equivalente a la reducida completa nos mostrará la solución. (que podría no existir). El sistema de ecuaciones es compatible si y sólo si la última columna de la matriz reducida (columna del extremo derecho) no es una columna pivote, esto es, si y sólo si la matriz reducida no tiene ninguna la de la forma (0,..., 0, b) con b 0. Las variables correspondientes a columnas pivote se llaman variables básicas y el resto de variables se denominan variables libres o parámetros Si el sistema es compatible, entonces es compatible determinado si no hay variables libres. Es compatible indeterminado si hay variables libres

Método de Gauss: Ejemplo Aplicaremos el método de Gauss, paso a paso, al sistema: 6x 3 + 2x 4 4x 5 8x 6 = 8 3x 3 + x 4 2x 5 4x 6 = 4 2x 1 3x 2 + x 3 + 4x 4 7x 5 + x 6 = 2 6x 1 9x 2 + 11x 4 19x 5 + 3x 6 = 0

Método de Gauss: Ejemplo Extraemos la matriz ampliada del sistema [ 0 0 6 2-4 -8 8] [ 0 0 3 1-2 -4 4] [ 2-3 1 4-7 1 2] [ 6-9 0 11-19 3 0] # e m p e z a m o s por r e a l i z a r o p e r a c i o n e s e l e m e n t a l e s por # f i l a s p a r a o b t e n e r la r e d u c i d a c o m p l e t a por f i l a s Paso-1 La primera la es no nula y su primer elemento no nulo es 6. Lo convertimos a 1 (pivote). Seguidamente ponemos a 0 todos los elementos por debajo de dicho pivote.

Método de Gauss: Ejemplo [0 0 1 1/3-2/3-4/3 4/3] [0 0 0 0 0 0 0] [2-3 0 11 /3-19 /3 7/3 2/3] [6-9 0 11-19 3 0] Paso-2 La siguiente la no nula es la tercera y el primer elemento no nulo de dicha la es 2. Pongámoslo a 1 y seguidamente ponemos a 0 los elementos no nulos por debajo del pivote. [0 0 1 1/3-2/3-4/3 4/3] [0 0 0 0 0 0 0] [1-3/2 0 11 /6-19 /6 7/6 1/3] [0 0 0 0 0-4 -2]

Método de Gauss: Ejemplo [0 0 1 1/3-2/3-4/3 4/3] [0 0 0 0 0 0 0] [1-3/2 0 11 /6-19 /6 7/6 1/3] [0 0 0 0 0-4 -2] Paso-3 La siguiente la no nula es la cuarta y el primer elemento no nulo de dicha la es 4. Pongámoslo a 1 y el proceso termina al no haber elemento debajo de dicho pivote y no haber más las. [0 0 1 1/3-2/3-4/3 4/3] [0 0 0 0 0 0 0] [1-3/2 0 11 /6-19 /6 7/6 1/3] [ 0 0 0 0 0 1 1/ 2]

Método de Gauss: Ejemplo Paso-5 Ponemos 0 encima de los pivotes. [0 0 1 1/3-2/3-4/3 4/3] [0 0 0 0 0 0 0] [1-3/2 0 11 /6-19 /6 7/6 1/3] [ 0 0 0 0 0 1 1/ 2] [0 0 1 1/3-2/3 0 2] [0 0 0 0 0 0 0] [1-3/2 0 11 /6-19 /6 0-1/4] [ 0 0 0 0 0 1 1/ 2]

Método de Gauss: Ejemplo Paso-6 Hacemos los necesarios intercambios de las para escalonar correctamente los pivotes. [1-3/2 0 11 /6-19 /6 0-1/4] [0 0 1 1/3-2/3 0 2] [ 0 0 0 0 0 1 1/ 2] [0 0 0 0 0 0 0] Como la última columna (la de los términos independientes de las ecuaciones ) de la ampliada del sistema reducido NO ES COLUMNA PIVOTE, el sistema es compatible.

Método de Gauss: Ejemplo [1-3/2 0 11 /6-19 /6 0-1/4] [0 0 1 1/3-2/3 0 2] [ 0 0 0 0 0 1 1/ 2] [0 0 0 0 0 0 0] Podemos sustituir el sistema original por el sistema equivalente x 1 3/2x 2 + 11/6x 4 19/6x 5 = 1/4 x 3 + 1/3x 4 2/3x 5 = 2 x 6 = 1/2 Las variables x 1, x 3 y x 6 correspondientes a los pivotes son las variables principales (o variables dependientes). El resto las variables libres (o independientes)

Método de Gauss: Ejemplo x 1 3/2x 2 + 11/6x 4 19/6x 5 = 1/4 x 3 + 1/3x 4 2/3x 5 = 2 x 6 = 1/2 Llamando x 2 = r1, x 4 = r2 y x 5 = r3 la solución al sistema es x 1 = 1 4 + 3 11 19 2r1 6 r2 + 6 r3 x 2 = r1 x 3 = 2 1 3 r2 + 2 3 r3 x 4 = r2 x 5 = r3 x 6 = 1 2