UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CENTRO UNIVERSITARIO DE VILLA NUEVA CURSO MATEMÁTICAS APLICADA I 2015 Lic. Manuel de Jesús Campos Boc OCTAVA UNIDAD ECUACIONES Ecuaciones de primer grado o lineal con una incógnita Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita. Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe). Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible. 2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho. 3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible. 4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica. 1
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación 2x 3 = 53 Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el 3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de 3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma). Entonces hacemos: 2x 3 + 3 = 53 + 3 En el primer miembro 3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3 2x = 56 Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación: 2x ½ = 56 ½ Simplificamos y tendremos ahora: x = 56 / 2 x = 28 Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28. 2
Resuelva la ecuación -11x 5x + 1 = -65x + 36 Paso 1: términos semejantes -11x 5x + 65x = 36-1 (-11x) + (-5x) = -16x 65x = 65x (65x) (-16x) = 49x 36 (-1) = 35 49x = 35 x = 35 / 49 = 5/7 (simplificar) Resuelva la ecuación 5x = 8x - 15 5x 8x = -15-3x = -15 x = -15-3 X = 5 Resolución de ecuaciones con agrupaciones de signos Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupación considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones. Advertencia Para suprimir los signos de agrupación debemos tener en cuenta que: a) Si tenemos un signo + antes de un signo de agrupación no afecta en nada a lo que esté dentro de este signo. Por ejemplo: + (3x 5) = 3x 5 b) Si por el contrario, tenemos un signo antes del signo de agrupación, este signo afectará a todo lo que esté dentro del signo. Todos los términos dentro del signo de agrupación cambiarán de signo. Por ejemplo: (3x 5) = 3x + 5 3
Veamos el siguiente ejemplo: 2x - x - (x 50) = x - (800-3x) Paso No. 1: quitar paréntesis 2x - x x + 50 = x -800 + 3x Paso No. 2: términos semejantes 2x - 50 = 4x - 800 Paso No. 3: quitar corchetes 2x 50 = 4x - 800 Paso No. 4: transponer términos y reducir términos semejantes 2x 4x = - 800 + 50 = -2 x = -750 Paso No. 5: transpones y operar x = -750-2 X = 375 Resolución de ecuaciones con productos incluidos Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos incluidos y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas). Veamos el siguiente ejemplo: 5(x 3) (x 1) = (x + 3) 10 5x 15 x + 1 = x + 3 10 5x x x = 3 10 + 15-1 3x = 7 x = 7 / 3 4
Aplicaciones: Problema No. 1 Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, de modo que una de ellas es 50 cm más larga que la otra. Cuáles son las longitudes de cada parte? En esta pregunta el alumno debe comprender el enunciado y a partir de los datos entregados en él debe plantear y resolver una ecuación de primer grado con una incógnita. Enunciados: 1. La incógnita x es el largo de las piezas. 2. La tabla que mide 3 metros, que equivalen a 300 cm, se divide en dos partes, se sabe que una de ellas es 50 cm más larga que la otra, entonces se puede concluir que x + 50. 3.- Si la otra parte más corta que x, la otra es 300 x. 4.- Entonces se puede concluir que: x + 50 = 300 x Resolución: x + 50 = 300 x x + x = 300-50 2x = 250 x = 250/2 x = 175 centímetros. -Una de las piezas mide 175 centímetros. -La otra pieza mide 125 centímetros. (La diferencia, 300-175=125cms.) 5
Problema No. 2 Si un número se divide por 0.3 resulta 60, cuál es el número? x / 0.3 = 60 x = 60. 0.3 x = 18 Problema No. 3 Hace 15 años la edad de Luisa era 2/5 de la edad que tendrá dentro de 15 años. Qué edad tienen ahora? X = edad x - 15 x + 15 x - 15 = 2 / 5 (x + 15) (50/5=10 x 2 = 20) 5(x 15)= 2 (x + 15) (35 15 = 20) 5x 75 = 2x + 30 (Ahora =35) 5x 2x = 30 + 75 (35 + 15 =50) 3x = 105 x = 105 / 3 x= 35 años 6