SUPERPOSICIÓN DE M. A.S. Enconta la ecuación del movimiento que esulta de la supeposición de dos movimientos amónicos simples paalelos cuas ecuaciones son sen t + π A sen t + π con m A m. Hace un gáfico de cada movimiento del movimiento esultante. Repesenta sus espectivos fasoes. Solución: I.T.T. 97, 99, 0, 05 El desfase ente los dos M.A.S. es: A sen t + π cos t π 6 t ( t ) A sen t + π A cos t ϕ ϕ ϕ π 6 Como los dos M.A.S. tienen la misma fecuencia angula el esultado seá un M.A.S. con dicha fecuencia angula: ( t) Acos( t + ϕ). La amplitud A la fase inicial ϕ las podemos obtene fácilmente utilizando los fasoes (ve figua): A + + ( ) A + A + A cosϕ 4.84 tgϕ 0 0,0 +,0,0 +,0 sen π 6 + 0 cos π 6 + A ϕ.08 ad.9º ( t) 4.84 cos( t.08) 4.84sen( t 0.5) La epesentación gáfica de cada M.A.S. el diagama de fasoes es: Física Tema Página
( t) 4 - -4 4 6 8 t ϕ ϕ Detemina gáficamente la amplitud de las oscilaciones que sugen a consecuencia de la adición de las siguientes oscilaciones en una misma diección: a).0cos( t), 8.0sen t π 6, b).0cos t π, 5.0cos t + π 6, 6.0sen( t + π). Solución: I.T.T. 96, 00, 0 a) El desfase ente los dos M.A.S. es: ( t) cos t ( t ) A sen t π 6 A cos t π ϕ ϕ ϕ π Como los dos M.A.S. tienen la misma fecuencia angula el esultado seá un M.A.S. con dicha fecuencia angula: ( t) Acos( t + ϕ). La amplitud A la fase inicial ϕ las podemos obtene fácilmente utilizando los fasoes (ve figua): A + + ( ) + A + A cosϕ 7 tgϕ 0 0,0 +,0,0 +,0 ϕ.74 ad 98.º 0 + A sen π + A cos π ϕ ( t) 7cos( t.74) Física Tema Página
b) Los difeentes M.A.S. que debemos combina son: A cos t π t ( t ) A cos t + π 6 ( t) A sen t +π A cos t + π ϕ ϕ ϕ π ϕ ϕ ϕ π ϕ ϕ ϕ π Como los tes M.A.S. tienen la misma fecuencia angula el esultado seá un M.A.S. con dicha fecuencia angula: ( t) Acos( t + ϕ). La amplitud A la fase inicial ϕ las podemos obtene de nuevo utilizando los fasoes asociados a los tes M.A.S. (ve figua): A + + + + + A + A + A cosϕ + A cosϕ + A A cosϕ 7 tgϕ 0 0,0 +,0 +,0,0 +,0 +,0 sen π + A sen π 6 + A sen π cos π + A cos π 6 + A cos π ϕ 0.908 ad 5.79º ϕ ϕ ( t) 7cos( t + 0.908) Una patícula que se mueve a lo lago del eje X está sometida a tes movimientos amónicos de la misma fecuencia, siendo las amplitudes espectivas de cada uno 0.0, 0.5 0.45 mm la difeencia de fase ente el segundo el pimeo 5º ente el teceo el segundo 5º. Detemina la amplitud de la vibación esultante ealizada po la patícula, así como su fase elativa al pimeo de los movimientos amónicos anteioes. Solución: I.T.T. 0, 04 En vez de tabaja diectamente con los tes M.A.S. del enunciado vamos a hacelo con los fasoes coespondientes. Si tomamos el oigen de tiempos cuando el pime M.A.S. Física Tema Página
alcanza su máima amplitud (lo que equivale a anula la fase inicial de dicho M.A.S.) los fasoes de los tes M.A.S.,,, mostaán una oientación inicialmente (paa t 0) como se muesta en la figua. El hecho de que los tes fasoes, gien con la misma velocidad angula da luga a que el faso esultante gie también con la misma velocidad angula. En la figua se muesta además de la situación inicial, la disposición de todos los fasoes paa un instante de tiempo posteio. ϕ ϕ ϕ La combinación de los tes movimientos ciculaes es po lo tanto un movimiento cicula (el módulo de es constante) con la misma velocidad angula. Su poección sobe el eje X seá po lo tanto un M.A.S. esultado de combina los tes M.A.S. del enunciado del poblema. Si llamamos, A, A A a los módulos de cada uno de los fasoes (o lo que es lo mismo a las amplitudes de los M.A.S. asociados): ( t) ( t) + ( t) + ( t) cos( t) + A cos( t +ϕ ) + A cos( t + ϕ +ϕ ) A cos( t + ϕ) La amplitud A del M.A.S. esultante vendá dada po: A + + ( + + ) + + A + A + A + A cos( ϕ ) + A A cos( ϕ ) + A cos( ϕ + ϕ ).00mm la fase inicial ϕ la podemos obtene a pati de la situación paa t 0: tgϕ 0 0 ( 0) + ( 0) + ( 0) ( 0) + ( 0) + ( 0) A senϕ + A sen ϕ +ϕ + A cosϕ + A cos ϕ + ϕ ϕ.55º Física Tema Página 4
Taza detemina las ecuaciones de la taectoia de un punto si este se mueve según las ecuaciones: a) asen( t), asen( t), b) asen( t), acos( t). Solución: I.T.T. 96, 00, 0 a) En el pime caso: /a asen( t) asen( t)cos( t) ±asen t [ ] / sen ( t) Sustituendo la epesión sen( t) a : /a ± a / b) En el segundo caso: 4 a acos t [ ] a cos ( t) sen ( t) a[ sen ( t) ] /a Sustituendo la epesión sen( t) a : /a a a Paa δ 0, π/, π π/ encuente epesente la ecuación de la taectoia del movimiento esultante de dos M.A.S. pependiculaes cuas ecuaciones son: sen( t) e A sen( t + δ), con 4m A m. Solución: I.T.T. 97, 0, 04 Paa enconta la ecuación de la taectoia ( ) tenemos que elimina el tiempo en las ecuaciones que nos dan: sen( t) sen( t), cos( t) sen ( t) Física Tema Página 5
Sustituendo en la segunda ecuación: A sen t + δ A sen t [ cosδ +senδ cos( t) ] A cosδ + A senδ Paa cada uno de los casos que nos piden: c) δ 0 A A LINEA RECTA d) δ π A A + A ELIPSE HORARIA ( v ( t 0) > 0) e) δ π A LINEA RECTA A f) δ π A A Física Tema Página 6
+ A ELIPSE ANTIHORARIA ( v ( t 0) > 0) Dibuja la taectoia de un cuepo sometido a la combinación de dos M.A.S. pependiculaes: A cos ( t ), Bcos t + π 4 con 5 6. Solución: I.T.T. 99, 0, 05 En la figua se muesta la posición de los fasoes de los dos M.A.S. paa los pimeos 0 intevalos tempoales. En cada intevalo el pime M.A.S. (cículo infeio) ecoe tes sectoes angulaes el segundo M.A.S. (cículo a la deecha) sólo dos medio, de acuedo con la elación de fecuencias del enunciado. Las poecciones de dichos fasoes a lo lago del eje X del eje Y espectivamente nos dan las posiciones sucesivas del objeto cua taectoia foma una figua de Lissajous (con un punto están epesentadas las diez pimeas posiciones). 5 4 6 Y 7 8 X 0 9 4 5 8 6 7 Física Tema Página 7