Dotze problemes d optimització

Dotze problemes d optimització Problema 1 Determineu les dimensions d un cilindre de volum màxim inscrit en un cub d aresta a tal que l eix del cilindre siga una diagonal del cub Problema En una semiesfera de radi R s ha inscrit un un prisma regular triangular tal que una de les bases pertany al cercle major de la semiesfera i l altra base pertany a l esfera Determineu l altura del prisma tal que la suma de les longituds de totes les arestes siga màxima Gúsiev 94 Problema Determineu el volum màxim d una piràmide regular hexagonal inscrita en una esfera de radi R Gúsiev 946 Problema 4 Determineu l altura d un con de volum minim circumscrit a una semiesfera de radi R Gúsiev 940 Problema De totes els prismes regulars hexagonals de volum 6 cm determineu les mesures del de superfície mínima Examen d estat, 86 Problema 6 Donada una circumferència de radi R, determineu un rectangle d àrea màxima tal que una base siga tangent a la circumferència i el costat oposat corda de la circumferència Examen d estat

Problema 7 Siguen els segments paral lels AB, CD Siga P un punt interior del segment BC La recta AP talla la recta CD en el punt E On es troba el punt P que fa mínima la suma de les àrees dels triangles APB, CPE Problema 8 Calculeu el màxim i el mínim de la KöMaL, abril 1999 F8 x + xy amb la condició que x + y 1 Problema 9 De tots els ortoedres de base quadrada inscrits en una semiesfera de radi R determineu les dimensions del que volum màxim Calculeu aquest volum Gúsiev, 90 Problema 10 Per la diagonal de la base d un prisma quadrangular regular es traça una secció que conté almenys un punt de l altra base Determineu l àrea màxima i mínima de la secció si les arestes del prisma són, i Gúsiev 99 Problema 11 Demostreu que de tots les piràmides que tenen per base un triangle isòsceles i que estan inscrites en un con de volum conegut, el volum màxim el té la piràmide regular (base un triangle equilàter) Gúsiev 91 Problema 1 Determineu l àrea màxima de la secció d un con que passa pel vèrtex si el radi de la base és R i l altura és h Gúsiev, 9

Problema 1 Determineu les dimensions d un cilindre de volum màxim inscrit en un cub d aresta a tal que l eix del cilindre siga una diagonal del cub Siga el cub d aresta PR a Siga la diagonal PQ a eix del cilindre Siga KLM la secció del cub que conté una base del cilindre La circumferència de la base del cilindre és igual a la circumferència inscrita al triangle equilàter KLM Siga O el centre de la circumferència Siga x KQ, y OQ Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle KLQ: KL x Vegem la relació entre x, y El volum del tetraedre KLMQ és: V 1 1 KL QK OQ 6 4 KLMQ ( x ) y 1 1 x Aleshores: y x 6 4 Calculem el radi del cilindre O és el baricentre del triangle equilàter KLMSiga N el punt mig del costat KL Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle MNL : 6 MN KL x Aplicant la propietat del baricentre el radi del cilindre és: 1 6 r ON MN x 6 L altura del cilindre és: h PQ OQ a x El volum del cilindre és: 1 V(r,h) πr h V(x) π x a x 6 π a V (x) x + ax, x 6 0, Derivant la funció: ( x ax) + π V'(x) V '(x) 0, x a 6 π π V "(x) ( 4x + a), V "(a) < 0 Aleshores x a és el màxim de la 6 funció: 6 Les dimensions del cilindre de volum màxim són r a, h a i el volum màxim 6 π és V(x) a

Problema En una semiesfera de radi R s ha inscrit un un prisma regular triangular tal que una de les bases pertany al cercle major de la semiesfera i l altra base pertany a l esfera Determineu l altura del prisma tal que la suma de les longituds de totes les arestes siga màxima Gúsiev 94 Siga la semiesfera de centre O i radi R Siga el prisma regular triangular ABCA B C, ABC és un triangle equilàter de costat AB a Siga h BB' altura del prisma La funció a optimitzar és: L (a,h) 6a + h, suma de les longituds de totes les arestes La perpendicular al cercle màxim que passa pel centre de la semiesfera passa pel barcientre G del triangle equilàter A 'B'C' Aplicant la propietat del baricentre: GB ' a a OB ' R Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle OGB ': R a + h a R h L(h) 6 R h + h, h [ 0, R] Derivem la funció: L'(h) 18h + R h L '(h) 0, 6h 1 Resolent l equació: R h 1 h R 1 6 6 R h R h 1 L"(h) L " R < 0 R h 1 1 Aleshores, h R és un màxim relatiu estricte 1 La longitud màxima de la suma de les arestes s assoleix quan 1 màxima és: L R 1 1R 1 h R i la longitud 1

Problema Determineu el volum màxim d una piràmide regular hexagonal inscrita en una esfera de radi R Gúsiev 946 Siga l esfera de centre O i radi R Siga la piràmide regular hexagonal ABCDEFS de base l hexàgon regular ABCDEF de costat AB a Siga P el centre de l hexàgon Siga PS h altura de la piràmide Siga α PSA La secció ADS forma una circumferència de radi R en l esfera AD a, ASD α Aplicant el teorema dels sinus al triangle ADS : a R Aleshores, a R sinα sinα Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle APS : a h R cos α tgα La funció a optimitzar és: 1 V(a,h) 6 a h 4 V ( α) R sin α cos α 4 π V ( α) 4 R sin α cos α, α 0, Derivant la funció: V '( α) 8 R sin α cos V '( α ) 0, cos α sin α 0 cos π α α arccos 0, α ( cos α sin α) 4 ( 14cos α 19cos α + 6) V"( α ) 8 R cos α V " arccos < 0 Aleshores, α arccos és un màxim relatiu estricte El volum màxim s assoleix quan cos α i el volum màxim és: 16 7 V màx R

Problema 4 Determineu l altura d un con de volum minim circumscrit a una semiesfera de radi R Gúsiev 940 Siga la semiesfera de centre O i diàmetre PQ R Siga el con circumscrit a la semiesfera de diàmetre de la base AB r, centre O i vèrtex C Siga α CBA Siga T el punt de tangència de la semiesfera i la generatriu del con BC Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle OTB: 1 r OB R sin α Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle BOC: 1 h OC r tgα R cos α La funció a optimitzar és: 1 V(r,h) πr h π 1 π V( α) R, α sin α cos α 0, Derivem la funció: ( cos α + sin α) π sin α V '( α) R 4 sin α cos α V '( α ) 0, cos α + sin α 0 1 cos α α arccos 6cos α 1 V "( α) + 4 sin α sin αcos α cos α V " arccos > 0 Aleshores, α arccos és un mínim relatiu estricte El con de volum mínim s assoleix quan l altura del con és: 1 h mín R R V 0 1 10 0 00 0 04 06 08 10 1 14 π V( α) sin 1 α cos α alfa

Problema De totes els prismes regulars hexagonals de volum 6 cm determineu les mesures del de superfície mínima Examen d estat, 86 Siga a l aresta de la base i h l altura del prisma L àrea de l hexàgon regular de costat a és: S 6 6 a a 4 L àrea total del prisma és: S S6 + 6ah a + 6ah La funció a optimitzar és: S(a,h) a + 6ah El volum del prisma és 6 cm : a 8 h 6 h a 16 S(a) a +, a > 0 Derivant la funció: a 8 S '(a) 6 a a 8 S '(a) 0, a 0 a Resolent l equació: a, h 16 S "(a) 6, S "() 1 > 0 a Aleshores, a és un mínim relatiu estricte La superfície mínima del prisma s assoleix quan l aresta de la base és a i l altura h La superfície mínima és S mín 6 S(a) 00 10 100 0 0 0 1 4 a

Problema 6 Donada una circumferència de radi R, determineu un rectangle d àrea màxima tal que una base siga tangent a la circumferència i el costat oposat corda de la circumferència Examen d estat Siga la circumferència de centre O i radi R Siga T el punt de tangència Siga el rectangle ABCD tal que el costat BC b La funció a optimitzar és: S (a,b) ab Siga P la projecció de O sobre el costat BC a OC OT PB OP, PC b R Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle R a a (b R) + Simplificant: 8Rb 4b S(b) a 8Rb 4b b 8Rb 4b, b [ 0, R] 6Rb 4b S'(b) 4 Rb b AB a és tangent a la circumferència i Derivant la funció: S '(b) 0, 6Rb 4b 0 Resolent l equació: b R, a R 4b 1Rb + 6R S"(b), S " R 4 < 0 (R b) Rb b Aleshores, el rectangle d àrea màxima s assoleix quan L àrea del rectangle d àrea màxima és, S màx R S(b) OPC: D A b R, a R O T P C B 0 1 10 0 00 00 0 04 06 08 10 1 14 16 18 0 b S(b) b 8b 4b

Problema 7 Siguen els segments paral lels AB, CD Siga P un punt interior del segment BC La recta AP talla la recta CD en el punt E On es troba el punt P que fa mínima la suma de les àrees dels triangles APB, CPE Siga AB a, CD b Pel punt P tracem una perpendicular al segment AB, que A talla els segments AB, CD en els punts M, N, respectivament Siga MN h distància constant entre els dos segments Siga h 1 PM, h PN + h h Siga x CE La funció a optimitzar és: a h1 x h S(x,h1,h ) + h1 Els triangles APB, EPC són semblants Aplicant el teorema de Tales: h1 h h1 + h h Aleshores: a x a + x a + x ah xh h 1, h a + x a + x La funció superfície és transformaria: a h x h S(x) +, x 0 Derivem la funció: (a + x) (a + x) h x + ax a S '(x) (a + x) S '(x) 0, x + ax a 0 Resolent l equació: x ( 1)a S"(x) a h " ( ) (a + x) ( 1a) 0 S > Aleshores x ( 1)a és un mínim relatiu estricte Si x ( 1)a, h 1 h Els triangles APB, EPC són semblants Aplicant el teorema de Tales: PB h 1 BC h A fi que la suma de les àrees dels triangles d acomplir que S mín PB BC L àrea mínima és: APB, a h ( ) ) ( 1) a h 1a + ah( 1) a a C M CPE siga mínima el punt P ha N P E B D

Problema 8 Calculeu el màxim i el mínim de la KöMaL, abril 1999 F8 x + xy amb la condició que x + y 1 La funció per a optimitzar és: f(x,y) x + xy Si x + y 1, ( x, y) pertanyen a la circumferència centrada en l origen de coordenades i de radi 1 x cos α Efectuem el canvi, x + y cos α + sin α 1 y sin α f( α) cos α + cos α sinα f( α) cos α + sinα, α [, π] f '( α) cos α sin α + cosα f '( α) sinα + cos α 0 Derivem la funció: f '( α ) 0, sin α cos α tg α, α arctg, arctg + π ( α està en el primer quadrat o en el tercer quadrat Si α arctg, aleshores, cos α, sin α Si α arctg + π, aleshores, cosα, sinα f "( α) cos α 4sin α Si α arctg, aleshores, f "( α ) < 0 Per tant, α arctg és un màxim Si α arctg + π, aleshores, f "( α ) > 0 Per tant, α arctg + π és un mínim arctg arctg + π f f( α) f Si α arctg, cos arctg + f + 10 1+ cosα 1 + + α 10 Si α arctg + π, cos arctg + π f 10 1+ 1+ cosα 1 10 α 10 1 1 10 1 1+ Aleshores, x + xy x + xy Φ Φ

y 16 14 1 10 08 06 04 0 00-0 -04-06 1 4 6 [ 0, π] f(x) cos (x) + sin(x) x x y 16 14 1 10 08 06 04 0-10 -08-06 -04-0 0 04 06 08 10-0 x f(x) x -04-06 + x 1 x, x [ 1,1 ]

Problema 9 De tots els ortoedres de base quadrada inscrits en una semiesfera de radi R determineu les dimensions del que volum màxim Calculeu aquest volum Gúsiev, 90 Siga la semiesfera de centre O i radi R Siga l ortoedre ABCDA B C D de base quadrada ABCD, AB a i altura AA ' h El volum de l ortoedre és: V(a,h) a h Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle isòsceles AOB: OA a Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle OAA ': R h + a a R h Aleshores, la funció a optimitzar és: V(h) R h h h + R h ( ) ( ) ( h R ), h [ 0, R] V '(h) + Derivant la funció: V '(h) 0, h + R 0 Resolent l equació: h R V"(h) 1h V " R 4 R < 0 Aleshores, h R és un màxim relatiu estricte Les dimensions de l ortoedre de base quadrada de volum màxim inscrit en una semiesfera té dimensions, aresta de la base a Ri h R altura El volum 4 4 màxim és V màx a h R R R 9 La gràfica per a 1 V(h) h + h El màxim s assoleix quan R, ( ) a 11, h 08 4 El volum màxim és V 0 7698 9 V 06 04 0 00 00 01 0 0 04 0 06 07 08 09 10 11 h

Problema 10 Per la diagonal de la base d un prisma quadrangular regular es traça una secció que conté almenys un punt de l altra base Determineu l àrea màxima i mínima de la secció si les arestes del prisma són, i Gúsiev 99 Siga ABCDA B C D el prisma regular quadrangular, AB BC i AA ' Siga AC la diagonal de la base que realitzem la secció Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle isòsceles ABC AC 6 Siga P de l aresta formen la secció: A 'P C'Q x PD' x A 'D' i Q de la recta C 'D' que Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle isòsceles ( x) 6 x PQ Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle AP x Siga M la projecció de P sobre la diagonal AC AC PQ AM x Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle 8 + x PM 4 x x La funció a optimitzar és: S(x) AC + PQ 1 x PM 8 + x 6 x 8 x, x [ 0, ] S (x) + 1 x 6 x S '(x) 8 + x + 8 + x Derivem la funció: x 6 x S '(x) 0 8 + x + 0 Resolent l equació: 8 + x x, x " ( ) 0 " ( ) 0 0 ( ) 11 18 AA ' P AMP S >, aleshores, x és un mínim relatiu estricte S <, aleshores, x és un màxim relatiu estricte S PD ' Q

S ( ) 8 11 1 S (0) 1 S ( ) 1 10 8 El màxim s assoleix quan x 0 i l àrea màxima és S (0) 1 El mínim s assoleix quan x i l àrea mínima és S( ) 1 10 8 y 1 11 10 9 8 00 0 10 1 0 0 40 x

Problema 11 Demostreu que de tots les piràmides que tenen per base un triangle isòsceles i que estan inscrites en un con de volum conegut, el volum màxim el té la piràmide regular (base un triangle equilàter) Gúsiev 91 Siga el con de volum k constant k De tots aquest considerem el que té radi R i altura h πr Siga la piràmide triangular recta ABCS de base ABC, AC BC a, AB b L altura del triangle ABC sobre la base AB és a b Volem provar que la piràmide de volum màxima s assoleix quan a b La circumferència circumscrita a la base de la piràmide té radi R Siga O el centre OD és perpendicular a la base del con L àrea de la base de la piràmide és: a b b a b SABC 4R Simplificant: 4 a b a 4R El volum de la piràmide és: a b V(a,b) h R h V(a) a 4R a, a [ 0, R ] Derivem la funció respecte de a: 4R 4 h 1R a 4a V'(a) 4R 4R a 4 V '(a) 0, 1R a a 0 Resolent l equació: a R ( R ) 0 V " < Aleshores, a R és un màxim relatiu Aleshores, el màxim s assoleix quan a R, b R Aleshores, a b triangle de la base és equilàter El volum màxim és: V màx ( R ) 4R ( R ) h k R h 4R π El

Problema 1 Determineu l àrea màxima de la secció d un con que passa pel vèrtex si el radi de la base és R i l altura és h Gúsiev, 9 Siga el con de centre de la base O, radi R i altura ABS on La secció és un triangle isòsceles del con OS h AS BS Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle g R + h π Siga β OSA β 0, Siga α ASB L àrea del triangle ABS és: g S( α) sinα, α [ 0, β] Distingirem dos casos: π a) Suposem que β 4 El màxim de la funció S( α) s assoleix quan π g R + h S π b) Suposem que β < 4 El màxim de la funció S( α) s assoleix quan π α g, generatriu α β g g R h S( β ) sinβ sinβ cosβ g Rh g g SOA En aquest cas la corda AB de la circumferència base és un diàmetre