TEMA 5 FUNCIONES Y PROGRESIONES

TEMA 5 FUNCIONES Y PROGRESIONES

PROGRESIONES 2

(Filloy, 2005) 3

Sucesiones Definición: una sucesión es un conjunto ordenado de números reales: a 1, a 2, a 3, Otras definiciones relacionadas: Cada elemento de la sucesión se denomina término. El primer término es a 1, el segundo a 2, el tercero a 3, El término general de una sucesión es un criterio que nos permite calcular cualquier término de la sucesión (Notación: a cada n, le asigna un a n ). 4

Sucesiones Ejemplos: En la sucesión de los números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,.. Cuál es el primer término? 2 Cuál es el quinto término? 10 Cuál es el término general? a n = 2n En la sucesión de los números: 1, 4, 9, 16, 25 Cuál es el término general? a n = n 2 5

Progresiones aritméticas Definición: las progresiones aritméticas son sucesiones en las que cada término se obtiene a partir del anterior sumándole una cantidad constante d llamada DIFERENCIA. NOTA: en una progresión aritmética, la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. Ejemplos Cuál es la sucesión si a 1 = 3 y la diferencia es d= 2? 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, Cuál es la diferencia de la progresión aritmética 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25,? d= 4 6

Propiedades de las progresiones aritméticas El término general puede escribirse como: an = a 1 + (n 1) d a s = ar + (s r) d a 1 = a 1 a 2 = a 1 +d a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d a s = a 1 + s 1 d a r = a 1 + r 1 d a 1 = a r r 1 d a s = a r r 1 d + s 1 d a s = a r + s r d a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d 7

Propiedades de las progresiones aritméticas La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es: S n = a 1 + a 2 + + a n 1 + a n = a 1 + a n n 2 En particular, 1 + 2 + + n = n + 1 n 2 Demostración (en pizarra) 8

Progresiones geométricas Definición: las progresiones geométricas son sucesiones en las que cualquier término es igual al anterior multiplicado por una constante r llamada RAZÓN. NOTA: La razón r se obtiene dividiendo un término cualquiera entre su anterior. Ejemplos: 1, 2, 4, 8, 16, 32,. razón =2, término general=2 n-1 3, 9, 27, 81, razón =3, término general =3 n 9

Propiedades de las progresiones geométricas El término general puede escribirse como: a n = a 1 r n 1 a 1 = a 1 a 2 = a 1. r a 3 = a 2. r = a 1. r 2 a 4 = a 3. r = a 1. r 3 a n = a n-1. r = a 1. r n - 1 10

Ejemplo: Un hombre ahorra cada año los 2/3 de lo que ahorró el año anterior. Si ahorró el 5º año 160 euros, cuánto ha ahorrado cada uno de los 5 años? Solución: Como cada año ahorra los 2/3 del anterior, estamos ante una progresión geométrica de razón r=2/3. Por tanto, sabemos que n 1. Como a5 = 160, entonces a 5 = a 1 2 2 a n = a 1 3 Luego el 1º año ahorró: a 1 = 160 3 4 81 = 160 = 10 81 = 810. 2 16 En el resto de años ahorró: 2º año a 2 = a 1 2 = 810 2 = 270 2 = 540 3 3 3º año a 3 = a 2 2 = 540 2 = 180 2 = 360 3 3 3 4 = 160. 4º año a 4 = a 3 2 3 = 360 2 3 = 120 2 = 240 11

FUNCIONES 13

Constantes y variables Definición: Una constante es una cantidad que no cambia, que se considera estable. Ejemplos: - Límite de velocidad en autovías (120 km/h) - Temperatura de ebullición del agua - Capacidad del aula donde damos clase Definición: Una variable es una cantidad que puede tomar distintos valores numéricos. Ejemplos: - Altura o peso de un niño que crece - Velocidad que llevo en un coche - Número de alumnos que asisten a clase 14

Variable dependiente/independiente Las variables suelen denotarse con una letra: x, y, a, b, Ejemplo: si llamamos x al número de personas en clase e y al número de ojos en la clase, sabemos que ambas variables guardan una relación y=2x. Diremos que el número de ojos (y) depende del número de personas (x). En general, dadas 2 variables definiremos: V. independiente como la variable que puede tomar cualquier valor. V. dependiente como la variable cuyo valor está determinado por el de la otra variable. 15

Función Definición: Dados dos conjuntos A y B, una función (aplicación) entre ellos es una regla f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B. Se dirá que A es el dominio de la función. Función Función No función CC de kinsmalac Nota: En este tema, nos centraremos en las funciones cuyo dominio es R o un subconjunto de R 16

Ejemplos de funciones y no funciones Cuidado 17

Ejemplos de función 1) Dado un número x de gatos, f(x)=4x es la función que nos da el número de patas que tienen. 2) Dado un cuadrado de lado x, la función f(x)=x 2 indica el área del cuadrado. 3) Si vamos a la papelería y nos cobran un 0,9 euros por bolígrafo, la función f(x)=0,9x nos da el precio total de x bolígrafos. 18

Ejemplos de funciones y no funciones Cuáles de las siguientes gráficas representa una función? 19

Formas de representar funciones Además de escribir una función con su fórmula, es decir, como f(x)=2x, x 2, 0.9x, se puede representar una función con una tabla de valor, gráfico o una descripción de una situación. 20

Formas de representar funciones Veámoslo con un ejemplo: Si en copistería nos cobran cada fotocopia a 3 céntimos, hay una correspondencia entre las variables número de fotocopias y dinero (en céntimos). En particular, a la variable independiente número de fotocopias le corresponde un valor de la variable dependiente dinero. (descripción de la situación) Como fórmula: Si llamamos x al número de fotocopias y d al dinero (en céntimos), escribiremos que d=3x. 21

Formas de representar funciones Como tabla de valores: Fotocopias 1 2 3 4 5 Precio 3 6 9 12 15 Como gráfico: Dinero (cts.) 20 15 10 5 0 0 2 4 6 Nº fotocopias 22

Dominio y recorrido Dominio de una función: - Son los elementos x para los cuales la función f asocia algún valor y Recorrido (rango/imagen) de una función: - Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente 23

Nosotros decidimos el dominio cuando definimos una función. Ahora bien, el recorrido dependerá del dominio elegido. Un dominio diferente da una función diferente. Ejemplo: una simple función como f(x) = x 2 puede tener dominio (lo que entra) los números naturales {1,2,3,...}, y el recorrido será entonces el conjunto {1,4,9,...} Y otra función g(x) = x 2 puede tener como dominio los enteros {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}, entonces el rango será el conjunto {0,1,4,9,...} Aunque las dos funciones toman la entrada y la elevan al cuadrado, operan en conjuntos diferentes de entradas, y por eso dan salidas diferentes. También tienen diferentes propiedades. Por ejemplo f(x) siempre da resultados distintos, pero g(x) puede dar la misma respuesta para dos entradas diferentes (g(-2)=4 y g(2)=4) 24

Ejemplos de dominio y recorrido de funciones 25

CUIDADO CON LO SIGUIENTE! Ejemplo: Consideremos la siguiente tabla de valores entre el tiempo de combustión (en horas) de una vela y su altura (en centímetros). TIEMPO 0 1 2 3 ALTURA 12 10 8 - Se observa alguna regularidad en los datos? - Se podrá expresar la altura en función del tiempo? NECESITAMOS MÁS INFORMACIÓN CUIDADO! 26

TIPOS DE FUNCIONES Afín Cuadrática Funciones a trozos 27

FUNCIONES POLINÓMICAS Definición: las funciones polinómicas son las funciones P(x), donde P es un polinomio en x, es decir una combinación finita de sumas y productos entre números y la variable x. De ellas, estudiaremos las funciones afines y las cuadráticas. Función afín: aquella que asocia a cada número x la expresión algebraica mx + b, donde m y b son dos constantes. Gráficamente, estas funciones son rectas. 28

Posibles representaciones de las funciones afines Las funciones afines se pueden representar como 1) x m x+b 2) f(x)= m x+b 3) y=m x+b O de forma gráfica (basta usar 2 puntos) 29

Propiedades de las funciones afines 1) Su representación gráfica es una recta que pasa por el punto (0,b) 2) Dado una función afín f(x)=mx +b, a m se la llama pendiente de la recta (nos indica la mayor o menor inclinación con respecto al eje horizontal) y a b ordenada en el origen (nos indica el punto de corte con el eje vertical). 3) Sólo se necesitan un par de puntos de la gráfica para representarla. 30

Propiedades de las funciones afines 4) En general, salvo que se diga lo contrario, su dominio y recorrido son todos los números reales. 5) Si r1 es y=m1 x+b1 y r2 es y=m2 x+b2, entonces: r1 y r2 son paralelas si m1=m2 r1 y r2 son perpendiculares si m1=-1/m2 31

Cómo calcular la pendiente de una recta Si conocemos la expresión algebraica, la escribiremos de la forma y=mx+b, y la pendiente será el número que multiplica a la x. Si no conocemos la expresión algebraica de la recta pero sí dos de sus puntos, que vamos a llamar (x1,y1) y (x2,y2), entonces: Estos puntos, al estar en la recta, cumplen que y1=m x1+b y2=m x2+b y2-y1=m (x2-x1) m = (x2, y2) y2-y1 y2 y1 x2 x1 (x1, y1) x2-x1 (x2, y1) 32

Ejemplos 1) Expresa algebraica y gráficamente la ecuación de una recta: a) Que pasa por los puntos (8,1) y (13,2) b) De la recta que pasa por el origen y el punto (6,4) c) De la recta cuya gráfica corta al eje de ordenadas (el vertical) en el valor 2/5 y al eje de abscisas (el horizontal) en el valor 2. 2) La ecuación y=3x-5 representa un río. En el punto (4,4) se ha instalado un registro de agua para riego. Halla en qué punto del río ha de hacerse la toma de agua para que esté lo más próximo posible del registro. Por el punto (5,5) se quiere construir una carretera que vaya paralela al río, halla su ecuación. 33

Función cuadrática. La parábola Definición: una función cuadrática es aquella que a cada valor de x le asocia la expresión ax²+bx+c, donde a, b y c son constantes. Se puede representar de forma algebraica como 1) x ax²+bx+c 2) f(x)= ax²+bx+c 3) y= ax²+bx+c 34

Propiedades de la función cuadrática 1) En general, su dominio son todos los números reales. 2) Su representación gráfica es una parábola. 3) Si a>0 Si a<0 4) Eje de simetría: x v =-b/2a 5) Vértice (x v, y v ), con y v = f(x v ) 35

Propiedades de la función cuadrática 6) Puntos de corte con los ejes Con el eje OX: son puntos que están sobre ese eje y por tanto tienen la coordenada y igual a cero. y=0 f(x)=0 ax²+bx+c=0 x=? Si la ecuación no tiene soluciones, la parábola no corta al eje horizontal. Si la ecuación tiene una solución, la parábola es tangente al eje horizontal (es decir, la toca en un punto). Si la ecuación tiene dos soluciones, la parábola corta al eje horizontal en dos puntos. Con el eje OY: punto que está sobre ese eje y por tanto tienen la coordenada x igual a cero f(0) = c Punto (0,c) 36

Ejemplos 1) Representar gráficamente las siguientes funciones dadas en forma algebraica: a) y= x² -7x+10 b) y= 2x²-x c) y= 2x² - 18 d) y= x² + 16 e) y= -2 x² + 5x-4 f) y= - 3x² -6x+9 2) Hallar la expresión algebraica de la función cuya gráfica es una parábola: a) que pasa por los puntos (0,9), (2,1) y (5,4). b) que pasa por el punto (5,3) y cuyo vértice está en (3,1) 37

FUNCIONES A TROZOS Definición: Una función a trozos es aquella que viene definida por otras funciones que toman valores en diferentes intervalos de la variable x. Es decir, la función cuya expresión analítica no es única sino que depende del valor de la variable independiente. Ejemplo: 38

Otro ejemplo 39

FUNCIÓN EXPONENCIAL Definición: una función exponencial es aquella que a cada número real x le hace corresponder la potencia c a x, donde a es una constante real positiva que recibe el nombre de base y c una constante cualquiera. Nota: el dominio de una función exponencial es R o un subconjunto de R (los números reales). Ejemplo: f(x)=3 x-1, definida en N, es la aplicación que asigna a cada número natural el término general de una progresión geométrica de razón 3 y primer término 1. 40

Propiedades de las funciones exponenciales f(x)=c a x Las funciones a x y 1 a x = a x son simétricas, para cualquier constante a. Si a=e 41

Propiedades de las funciones exponenciales f(x)=c a x Si c>0 y a >1, la función es creciente 0<a<1, la función es decreciente Recorrido: R + 42

Propiedades de las funciones exponenciales f(x)=c a x Si c<0, ocurre lo contrario Recorrido: R - 43