Autoinductancia En un circuito único también se presenta el fenómeno de inducción electromagnética si la corriente es variable. Supongamos una bobina por la cual circula una corriente i variable. En cierto lapso de tiempo la corriente se incrementa en i. Esta variación temporal de la corriente provoca una variación en el campo de inducción magnética B. Entonces se induce entre los puntos a y b una f.e.m que se opone a la causa que la generó (Ley de Lenz). Es decir esta f.e.m inducida tratará de impedir ese aumento de la corriente. Es decir la f.e.m inducida, en este caso, verificará la relación: ε = V a Vb > 0 Este razonamiento se puede repetir para una corriente que disminuye en el tiempo. En este caso la f.e.m tratará de impedir la disminución de i. Ahora: ε = Va Vb < 0 o ε = Vb Va > 0 Omitiremos las deducciones matemáticas porque son muy similares a las realizadas en la determinación de la inductancia mutua. El coeficiente de auto inductancia L se define de manera tal que se verifique la siguiente relación: ε = L di dt Se puede demostrar que NΦ L = i En esta expresión N es el número de espiras de la bobina y Φ es el flujo enlazado por una sola espira Inductancia Llamaremos inductancia al campo magnético que crea una corriente eléctrica al pasar a través de una bobina de hilo conductor enrrollado alrededor de la misma que conforma un inductor. Un inductor puede utilizarse para diferenciar señales cambiantes rápidas o lentas. Al utilizar un inductor con un condensador, la tensión del inductor alcanza su valor máximo a una frecuencia dependiente de la capacitancia y de la inductancia. La inductancia se representa por la letra L, que en un elemento de circuito se define por: el = L di/dt La inductancia depende de las características físicas del conductor y de la longitud del mismo. Si se enrolla un conductor, la inductancia aumenta. Con muchas espiras (vueltas) se tendrá más inductancia que con pocas. Si a esto añadimos un núcleo de ferrita, aumentaremos considerablemente la inductancia. La energía almacenada en el campo magnético de un inductor se calcula según la siguiente formula: W = I² L/2... siendo: W = energía (julios); I = corriente (amperios; L = inductancia (henrios)[1] El Cálculo de la inductancia El Cálculo de la inductancia: La inductancia de una bobina con una sola capa bobinada al aire puede ser calculada aproximadamente con la fórmula simplificada siguiente: L (microh)=d².n²/18d+40 l siendo: L = inductancia (microhenrios); d = diámetro de la bobina (pulgadas); l = longitud de la bobina (pulgadas); n = número de espiras o vueltas. Ejemplo 1: Se tiene una bobina de 32 espiras, 13 vueltas por centímetro y 25 mm de diámetro. Cuál será su inductancia? - a = 25 mm / 2 = 1.25 centímetros - b = 32 / 13 = 2.46 - n = 32 Entonces: L = (0.393 x 1.25 2 x 32 2 ) / (9 x 1.25 + 10 x 2.46) = 17.54 uhenrios[2]
Valor de la inductancia El valor de la inductancia viene determinado exclusivamente por las características geométricas de la bobina y por la permeabilidad magnética del espacio donde se encuentra. Así, para un solenoide, la inductancia, de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, viene determinada por: Donde µ es la permeabilidad absoluta del núcleo, N es el número de espiras, A es el area de la sección transversal del bobinado y l la longitud de las líneas de flujo. El cálculo de l es bastante complicado a no ser que la bobina sea toroidal y aún así, resulta difícil si el núcleo presenta distintas permeabilidades en función de la intensidad que circule por la misma. En este caso, la determinación de l se realiza a partir de las curvas de imantación. Energia y Campo Magnetico Las fuerzas características de los imanes se denominan fuerzas magnéticas. El desarrollo de la física amplió el tipo de objetos que sufren y ejercen fuerzas magnéticas. Las corrientes eléctricas y, en general, las cargas en movimiento se comportan como imanes, es decir, producen campos magnéticos. Siendo las cargas móviles las últimas en llegar al panorama del magnetismo han permitido, sin embargo, explicar el comportamiento de los imanes, esos primeros objetos magnéticos conocidos desde la antigüedad.[5] el campo magnético no es mas que la región del espacio en la que se manifiestan los fenómenos magnéticos. Estos actúan según unas imaginarias "líneas de fuerza": éstas son el camino que sigue la fuerza magnética conocidas también como líneas de flujo magnético (este campo se traduce en unas líneas de fuerza y dos polos de los que parten estas líneas conocidas como bipolar).la intensidad o dirección del campo magnético en un determinado punto cercano al anillo de corriente viene dado por H, una magnitud vectorial. La evidencia más familiar de magnetismo es que la fuerza atractiva o repulsiva observó para actuar entre los materiales magnéticos como hierro. Se encuentran los efectos más sutiles de magnetismo, sin embargo, en toda la materia. Estos efectos han proporcionado las pistas importantes a la estructura atómica de materia.[6] Energía del campo magnético para mantener una corriente en un circuito es necesario suministrar energía. La energía suministrada por la batería en la unidad de tiempo es V0 i. Esta energía se disipa, en la resistencia por efecto Joule y se acumula en la autoinducción en forma de energía magnética. De la ecuación del circuito ir=v0+vl Multiplicando ambos miembros por la intensidad i. El término R i2 es la energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia. El primer término la energía suministrada por la batería. El último término, es la energía por unidad de tiempo que necesita para establecer la corriente en la autoinducción o su campo magnético asociado. V0 i es se Simplificando dt e integrando entre 0 e i, obtenemos: La energía EB es el producto de dos términos: la densidad de energía magnética (energía por unidad de volumen) y el volumen S l. En general, la energía asociada a un campo magnético se calcula mediante la siguiente fórmula. [7] Concepto Cuando se tiene una espira cerrada por la cual circula una corriente variable en el tiempo, esa corriente produce un campo magnético (de acuerdo con la ley de Biot y Savart), el cual será también variable en el tiempo. Este campo tendrá un flujo magnético a través de la propia espira, y será también variable en el tiempo. De acuerdo con la ley de Faraday, un flujo magnético variable en el tiempo induce una fuerza electromotriz en la espira. Esta f.e.m. hay que añadirla a las otras que hubiera y por tanto modifica a la propia corriente.
Por tanto, una corriente variable en el tiempo produce un efecto sobre sí misma, debido al campo magnético que genera. Este efecto se denomina autoinducción. 1.2 Coeficiente de autoinducción El campo magnético debido a una corriente eléctrica, según la ley de Biot y Savart es proporcional a la intensidad de corriente que lo causa. Asimismo, este campo verifica la regla de la mano derecha respecto a la corriente. Dada una curva cerrada C, el flujo magnético lo da la integral siendo S una superficie abierta apoyada en C y orientada según la regla de mismo sentido que el campo magnético). la mano derecha (es decir, en el Al ser el campo proporcional a la intensidad de corriente, también lo será su flujo siendo L el denominado coeficiente de autoinducción, cuya unidad es el Henrio (H) Por aplicación de la regla de la mano derecha, se llega a que este coeficiente es siempre positivo. El coeficiente de autoinducción es una propiedad global del circuito. Sin embargo, dado a que a menudo el campo magnético es mucho más intenso en las bobinas presentes, puede considerarse que el flujo magnético se concentra en ellas y asignarle el valor de la autoinducción como algo localizado. La fuerza electromotriz debida a la presencia de la autoinducción se calcula mediante la derivada Si la espira es rígida (lo que es lo habitual), el coeficiente de autoinducción es constante y puede salir de la derivada, quedando el resultado más familiar Comportamiento de un circuito Supongamos una espira rígida caracterizada por una resistencia eléctrica R y un coeficiente de autoinducción L. Si esta espira se encuentra sometida a una fuera electromotriz externa (causada por un campo magnético aplicado, o por un generador), la ecuación para la corriente que pasa por el circuito es Podemos leer esta ecuación diferencial como que existe solo una fuente de tensión, serie: que alimenta a dos elementos en Una resistencia R sin autoinducción, ( V)R = IR Una autoinducción L sin resistencia, ( V)L = L(dI / dt). que se representa con un nuevo símbolo Así, lo que podría ser una simple anilla conductora sometida a un campo externo se modela por tres elementos de circuito. Nunca hay que olvidar que esto es un modelo. No tenemos una resistencia por un lado y una autoinducción por otro. Las dos propiedades van juntas en el mismo elemento real. La presencia de la autoinducción afecta a la corriente que circula por el circuito.
Consideremos el caso particular de una señal escalón, es decir, que la fuente externa se conecta en t=0 cerrando el circuito y partir de ese momento tiene un valor. Si no hubiera autoinducción, el efecto sería la aparición de una corriente continua de valor Debido a la autoinducción la conducta es un poco más complicada. Tenemos la ecuación La segunda condición viene de que justo al cerrar el interruptor aun no circula corriente por la espira. La solución de esta ecuación diferencial es Esta solución nos dice que la corriente no se establece instantáneamente, sino que tiende exponencialmente a su valor estacionario. El tiempo que tarda es proporcional a τ = L / R, de forma que cuando ha pasado 4 o 5 veces el valor de tau ya se puede decir que la corriente ha llegado a su valor estacionario. El efecto de la autoinducción es entonces el de retardar este establecimiento. Como consecuencia de la ley de Lenz, la f.e.m. inducida se opone al cambio y retrasa su variación, tanto más cuanto mayor sea el coeficiente de autoinducción L. Supongamos ahora el mismo circuito, con la misma fuente, en el que ha pasado el tiempo suficiente para que circule una corriente continuai0, si ahora cortocircuitamos el generador (es decir, lo mantenemos cerrado pero sin fuente externa que lo alimente), desaparece instantáneamente la corriente? No. La ecuación diferencial para la corriente es ahora y su solución que quiere decir que la corriente tarda un tiempo del orden de tau en extinguirse. De nuevo, el efecto de la autoinducción es retrasar el cambio, manteniendo una corriente aunque ya no haya fuente externa que la produzca. Este efecto es transitorio y usualmente muy breve. Esta es la causa de que al desconectar un aparato salte una chispa. la autoinducción intenta mantener una corriente circulando por el circuito. Caso de una bobina El ejemplo más sencillo de autoinducción lo da una bobina cilíndrica de radio a, gran longitud h y número de espiras N. Cuando por ella pasa una intensidad de corriente I, el campo magnético que produce en su interior es aproximadamente siendo el unitario a lo largo del eje. El campo es nulo en su exterior. Para hallar el flujo de este campo a través de la propia bobina hay que tener en cuenta que el campo no atraviesa una sola espira, sino todas ellas, por lo que siendo el flujo a través de una espiralo que nos da el coeficiente de autoinducción Esta bobina también tiene una resistencia eléctrica, por tratarse de un hilo de cobre enrollado. Su valor es siendo A la sección transversal de cable (no de la bobina; esa es S).
1.5 Lectura de un voltímetro Un voltímetro es un dispositivo que mide el voltaje (es decir, la integral del campo eléctrico), a lo largo del propio voltímetro. Si este aparato se halla en una región donde no hay campo magnético, esta medida coincide con la diferencia de potencial eléctrico. Si tenemos una bobina, en la cual la corriente entra por su extremo A y sale por su extremo B, y colocamos un voltímetro entre sus extremos, la lectura que marca es que de nuevo leemos como que tenemos dos elementos puestos en serie, aunque tengamos un solo elemento real. 2 Inducción mutua 2.1 Concepto: Si en lugar de una sola espira tenemos un conjunto de ellas, por las cuales circulan corrientes Ik, el flujo a través de una superficie Si apoyada en la espira i tendrá una contribución por cada una de las espiras Las cantidades Lik para se denominan coeficientes de inducción mutua. Se miden asimismo en Henrios. Para i = k tenemos los coeficientes de autoinducción (del cual el sistema de una sola espira es un caso particular). Los coeficientes de inducción mutua forman una matriz simétrica en la que los términos diagonales son siempre estrictamente positivos, mientras que los no diagonales pueden tener cualquier signo o ser nulos. Para conocer el signo de cada coeficiente debe aplicarse el criterio siguiente: Para cada espira Ci se asigna un sentido de recorrido de la corriente. La regla de la mano derecha establece el sentido de la normal superficie Si apoyada en Ci. a la El campo magnético producido por la espira Ck verifica asimismo la regla de la mano derecha respecto de la corriente que lo produce. El flujo del campo magnético es positivo si y van el mismo sentido y negativo en caso contrario. Por tanto, si el campo entra en la espira i según la orientación dada por la regla de la mano derecha para esta espira, Lik > 0. En caso contrario Lik < 0. Como caso particular, los coeficientes de autoinducción Lkk, son siempre positivos. 2.2 Fuerza electromotriz La inducción electromagnética se basa en que, a lo largo de una espira C, atravesada por un campo magnético cuyo flujo es variable en el tiempo, se induce una fuerza electromotriz (f.e.m.) dada por Si en lugar de una espira tenemos N espiras, rígidas y en una posición relativa fija, la f.e.m. que se induce en la espira i tendrá contribuciones de cada una de las espiras Esta fuerza electromotriz inducida habrá que añadirla a otras posibles fuentes, como generadores de tensión. Si las espiras no son rígidas, hay que tener cuidado con la derivación. Un caso particular importante es el de un alternador. Si tenemos una bobina que gira en el campo magnético de otra, el coeficiente de inducción mutua no es constante, sino que oscila en el tiempo de forma aproximadamente sinusoidal
de forma que la fuerza electromotriz inducida en la bobina en reposo (el estátor) por la bobina giratoria (el rotor) cuando por esta circula una corriente continua es una función oscilante Esta es la base de los generadores de corriente alterna. 2.3 Caso de dos espiras Cuando solo tenemos dos espiras, el sistema se reduce a dos ecuaciones pero por las propiedades de simetría, esto se reduce a tres coeficientes siendo L1 y L2 los coeficientes de autoinducción y M el único coeficiente de inducción mutua. A partir de ellos se define el coeficiente de acoplamiento Puede demostrarse que k es un número menor que la unidad en valor absoluto. Cuando k es igual a la unidad (en valor absoluto) se dice que el acoplamiento es total. ese caso todas las líneas de campo magnético que pasan por el interior de una espira, pasan también por el interior de la otra. En Así, en el caso de dos bobinas concéntricas las autoinducciones de cada bobina valen siendo N1 y N2 el numero de vueltas de la bobina interior y exterior, y a y b sus respectivos radios (b > a). El coeficiente de inducción mutua en este caso vale siendo el coeficiente de acoplamiento Esta cantidad es siempre menor que la unidad, pues a < b.