etapas iniciales de una investigación: interesa estudiar muchos factores Diseños 2 k cuando crece el número factores (k) aumenta rápidamente el número de experimentos (N) estrategia: reducir N perdiendo un mínimo de información valiosa
una parte de los diseños factoriales completos basados en la jerarquización de los efectos: efectos más importantes: efectos principales seguidos por interacciones dobles, triples, cuádruples, etc.
Número de efectos potencialmente de mayor interés para diseños factoriales 2 k diseño 2 k total de efectos efectos no ignorables 2 2 3 3 0 2 3 7 6 1 2 4 15 10 5 2 5 31 15 16 2 6 63 21 42 2 7 127 28 99 efectos ignorables
Diseños factoriales fraccionarios k < 5: los efectos potencialmente importantes superan en número a los efectos ignorables a priori si se fraccionan estos diseños se pierde información que puede ser relevante
Diseños factoriales fraccionarios k 5: el número de efectos ignorables supera al número de efectos potencialmente importantes se pueden fraccionar sin perder información valiosa
al fraccionar un diseño factorial completo: se pierde información (se espera no poder estimar efectos que se puedan ignorar, como interacciones de alto orden) se tienen menos grados de libertad disponibles para el error
Diseños factoriales fraccionarios al fraccionar un diseño factorial completo: los efectos que se pueden estimar tienen al menos un alias efectos alias: son dos o más efectos con nombres distintos que comparten el mismo contraste (cuando se estima uno de ellos se estima el otro) por lo que no se pueden separar
k variables (factores) a 2 niveles r número de parámetros (coeficientes b) a estimar p generadores independientes matriz: 2 k - p = N = r (2 r -1) generadores N coeficientes alias (l) calcular los valores de los l: vector de coeficientes alias
Diseños factoriales fraccionarios I: efecto generador (neutro multiplicativo) llamado identidad cualquier columna multiplicada por sí misma da I A 2 identidad I la relación de definición define la estructura alias
por ejemplo, para un diseño 2 3-1 : el efecto menos importante a priori es la interacción ABC sacrificable I = ABC
multiplicando cualquier columna por la relación de definición da los alias para esa columna A. I = A.ABC = A 2 BC dado que el cuadrado de cualquier columna es I: A = BC los alias para B y C B. I = B.ABC = AB 2 C B = AC C. I = C.ABC = ABC 2 C = AB
Diseños factoriales fraccionarios resolución igual al número de elementos del menor generador resolución II: algunos efectos principales se calculan como alias (b i + b j ) resolución III: ningún efecto principal es alias de otro efectos principales como alias con las interacciones de 1º orden (b i + b jk )
resolución IV: ningún efecto principal es alias de otro, ni de interacción 1º orden efectos principales como alias con interacciones de 2º orden (b i + b jkl ) algunas interacciones de primer orden como alias (b ij + b kl )
resolución V: ningún efecto principal o interacción de 1º orden es alias de otro efectos principales como alias con interacciones de 3 orden (b i + b jklm ) interacciones de 1º orden como alias con las interacciones de 2º orden (b ij + b klm ) a > resolución > información
para una matriz: 2 3-1
no se puede estimar el efecto X 1 X 2 X 3 : no tiene contraste (todos signos positivos) 4 experimentos 4 coeficientes l coeficientes alias: l 0 = b 0 + b 123 l 1 = b 1 + b 23 l 2 = b 2 + b 13 l 3 = b 3 + b 12
matriz: 2 3-1 vector de coeficientes alias L y = X L L = X T N y
vector de coeficientes alias L l 0 = ¼ (y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) l 1 = ¼ (y 1 - y 2 - y 3 - y 4 ) l 2 = ¼ (- y 1 + y 2 - y 3 + y 4 ) l 3 = ¼ (-y 1 - y 2 + y 3 + y 4 )
Diseños de Plackett y Burman (2º guerra mundial) el número de puntos del diseño no es necesariamente potencia de 2, pero sí es múltiplo de 4 matrices de Hadamard matrices cuadradas X N : (N x N) N es múltiplo de 4, si N es potencia de 2, son diseños 2k-p
Diseños factoriales fraccionarios Matrices de Hadamard matrices cuadradas X N : (N x N) la inversa de la matriz es la matriz transpuesta/número de experimentos X T X = N x I N (X T X) -1 = 1/N x I N X -1 = X T N
Matrices de Hadamard número de experimentos: N = múltiplo de 4, N 2 q (q > 3) N= 12, 20, 24, 28, 36,... 404 N= 12 + + - + + + - - - + - (11 signos) N= 20 + + - - + + - + - + - + - - - - + + - (19 signos) N= 24 + + + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - -
Matrices de Hadamard 1 + + + - + + + - - - + - 2 + - + + - + + + - - - + 3 + + - + + - + + + - - - 12 + - - - - - - - - - - - columna de +
efecto de (N-1) factores con N experimentos, p parámetros a determinar N p factores, U j : variables naturales cuyos valores se pueden controlar (cualitativos o cuantitativos) variables codificadas (reducidas y centradas) efecto, b j : cambio en la respuesta ocasionado por un cambio en el nivel del factor nivel: categoría de un factor
Un ejemplo: experimento exploratorio Estudiar el efecto de 10 factores sobre la reacción:
Factores: U 1 : porcentaje de NaOH 40% 50% U 2 : temperatura 80 C 110 C U 3 : catalizador TBAB cetil-tmab U 4 : agitación sin con U 5 : tiempo 90 min 3430 min U 6 : volumen de solvente orgánico 100 ml 200 ml U 7 : volumen de agua 30 ml 60 ml U 8 : relación S/NaOH 1 2 U 9 : relación k/s 0,25 4 U 10 : relación R/S 1 5-1 +1
Diseño X ij U ij Se pueden hacer todos los experimentos? Hacer los experimentos al azar Obtener y i (respuesta): % de rendimiento Calcular b j (efecto sobre la variable i) Control
matriz experimental promedio de las medidas matriz del modelo (Hadamard 12x12): X error vector de respuestas
efecto de (N-1) factores notación vectorial: B = p: número de coeficientes (efectos) incluyendo b 0 p = N
modelo: y = X B B = X -1 y X -1 = X T N B = 1 N X T y y = 47 + 8,3 x 1 2,3x 2 + 0,5x 3 + 8,8x 4 8,2x 5 2,2x 6 + 1,3 x 7 + 4,2x 8 + 7,7x 9 + 9,0x 10 + 4,8 x 11
y = 47 + 8,3 x 1 2,3x 2 + 0,5x 3 + 8,8x 4 8,2x 5 2,2x 6 + 1,3 x 7 + 4,2x 8 + 7,7x 9 + 9,0x 10 + 4,8 x 11 b 0 = 47 promedio b 11 (factor dummy) error = 4,8 b 2 (T), b 3 (catalizador), b 6 (V sol ), b 7 (V agua ), b 8 (S/OH - ) < 4,8 despreciables < T, catalizador más barato, menores V
y = 47 + 8,3 x 1 2,3x 2 + 0,5x 3 + 8,8x 4 8,2x 5 2,2x 6 + 1,3 x 7 + 4,2x 8 + 7,7x 9 + 9,0x 10 + 4,8 x 11 b 10 = relación R/S (5) es el factor más importante b 1 = % NaOH (50%) b 4 = agitación (con) b 5 = tiempo (90 min) b 9 = relación k/s (4)