UNIDAD 8 Diédrico: intersección, paralelismo y perpendicularidad E n esta Unidad se continúa el estudio del sistema diédrico, introduciendo las construcciones basadas en las relaciones de intersección, paralelismo y perpendicularidad. Estas son operaciones básicas que se utilizan repetidamente en la obtención y medición de ángulos y distancias, objetivo de la siguiente Unidad, por lo que es preciso memorizar los casos generales. Cada relación geométrica se inicia presentando las condiciones necesarias para que ésta se dé, y continúa con las construcciones básicas realizadas a partir de rectas y planos situados en posiciones oblicuas respecto a los planos de proyección. Sucesivas construcciones se ocupan de las variaciones introducidas por rectas y planos situados en posiciones particulares. En las actividades, ante datos de este tipo, se puede optar por aplicar el método general, o por aprovechar las simplificaciones que se producen en las construcciones. Los objetivos que nos proponemos alcanzar con esta Unidad son los siguientes: 1. Ser capaz de realizar la intersección entre rectas y planos en sistema diédrico. 2. Ser capaz de realizar construcciones basadas en las relaciones de intersección, paralelismo y perpendicularidad en sistema diédrico. 176
Mapa conceptual Intersección Intersección de rectas Intersección de planos Intersección de recta y plano Paralelismo Conservación del paralelismo en la proyección cilíndrica Condiciones de paralelismo Construcciones Perpendicularidad Teorema de las tres perpendiculares Condiciones de perpendicularidad Construcciones ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. INTERSECCIÓN...................................................................... 178 1.1. Intersección de rectas.............................................................. 178 1.2. Intersección de planos............................................................. 178 1.3. Intersección de un plano oblicuo con otro proyectante..................................... 179 1.4. Intersección de dos planos cuando las trazas se cortan fuera del papel, o son concurrentes en la línea de tierra 179 1.5. Intersección de un plano oblicuo con otro de perfil....................................... 180 1.6. Intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra................................... 181 1.7. Intersección de recta y plano........................................................ 181 2. PARALELISMO...................................................................... 182 2.1. Paralelismo entre rectas............................................................ 182 2.2. Paralela a una recta de perfil que pasa por un punto...................................... 183 2.3. Paralelismo entre planos............................................................ 183 2.4. Plano paralelo a otro proyectante que pasa por un punto.................................. 184 2.5. Plano paralelo a otro paralelo a la línea de tierra que pasa por un punto...................... 185 2.6. Paralelismo entre recta y plano....................................................... 185 2.7. Recta paralela a dos planos dados que pasa por un punto................................. 186 3. PERPENDICULARIDAD............................................................... 187 3.1. Perpendicularidad entre recta y plano. Perpendicular I a un plano que pasa por un punto.......... 187 3.2. Plano perpendicular a una recta que pasa por un punto................................... 188 3.3. Perpendicularidad entre rectas. Recta perpendicular a otras dos que pasa por un punto.......... 189 3.4. Perpendicularidad entre planos. Plano perpendicular a otro que pasa por una recta............. 189 3.5. Plano perpendicular a otros dos que pasa por un punto................................... 190 177
UNIDAD 8 DIÉDRICO: INTERSECCIÓN, PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD 1. Intersección 1.1. Intersección de rectas B 2 s B 2 B C 2 C r t 2 t B 1 C 2 C1 t 2 A B 1 C 1 t 1 t 1 Ilustración 1 Dos rectas en el espacio pueden cortarse, cruzarse o ser paralelas. El que las proyecciones diédricas homónimas de dos rectas se corten, no significa necesariamente que estas sean secantes. En la Ilust. 1 las proyecciones primeras de las rectas r, t se cortan y las segundas también, pero no existe una línea de referencia única entre dichas intersecciones, se dice que las rectas r y t se cruzan. En cambio las rectas r, s tienen un punto A común, por tanto las rectas r y s se cortan. 1.2. Intersección de planos α β 2 i 2 i 2 i i1 H i2 i1 1 H i H i H i1 Ilustración 2 Animación La intersección de dos planos es una recta común a ambos cuyas trazas, por tanto, deben pertenecer simultáneamente a las trazas homónimas de ambos planos. Así, en la Ilust. 2 se obtiene la traza horizontal H i de la recta intersección i en el punto de corte de con y la traza vertical en el punto de corte de con. La pro- 178
yección i 1 de la recta intersección es la recta que une las primeras proyecciones Hi 1 y Vi 1 de sus trazas y la proyección i 2 es la recta que une Hi 2 y Vi 2. 1.3. Intersección de un plano oblicuo con otro proyectante Vi i 2 i 2 H i i 1 i 1 Animación a Ilustración 3 Animación b Si un plano es proyectante en el horizontal o el vertical, su traza con él contendrá a la proyección correspondiente de su recta de intersección con otro plano. En la Ilust. 3 izquierda, la proyección i 1 de la recta intersección del plano oblicuo α con el vertical β, está contenida en. En la Ilust. 3 derecha la recta intersección del plano oblicuo α con el horizontal β, es una horizontal de plano i, cuya proyección i 2 está contenida en. 1.4. Intersección de dos planos cuando las trazas se cortan fuera del papel, o son concurrentes en la línea de tierra B 2 i 2 i 2 H i i 1 γ 1 H r H s γ 1 i 1 B 1 H r δ 1 Animación a Ilustración 4 Animación b 179
UNIDAD 8 DIÉDRICO: INTERSECCIÓN, PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD Si al hallar la intersección de dos planos no se puede utilizar el punto de intersección de sus trazas horizontales, verticales o ambas, se trazarán planos auxiliares cuyas intersecciones con ellos serán puntos de la recta intersección. Se eligen planos horizontales o frontales como auxiliares, por la facilidad para obtener sus intersecciones. Sean dos planos oblicuos α y β cuyas trazas se cortan fuera del papel (Ilust. 4 izquierda). Se traza el plano frontal γ, que corta a los planos α y β, según las frontales de plano r y s. Estas se cortan en el punto A, cuya segunda proyección es el punto de corte de y, obteniéndose en el punto de corte con de la línea de referencia trazada desde. Se obtiene un segundo punto B de la recta intersección i mediante un segundo plano auxiliar δ. Las proyecciones i 1 e i 2 son las rectas B 1 y B 2. En la Ilust. 4 derecha, se ha obtenido la intersección de dos planos α y β cuyas trazas son concurrentes en un punto de la línea de tierra. En dicho punto se hallan las trazas H i y de la recta intersección, incidente en línea de tierra. Se necesita un segundo punto A para trazar sus proyecciones, se obtiene hallando la intersección de un plano frontal auxiliar γ, con α y β. Las proyecciones i 1 e i 2 son las rectas H i y. 1.5. Intersección de un plano oblicuo con otro de perfil Sea un plano oblicuo α y un plano de perfil β (Ilust. 5 izquierda). Como en el caso general, las trazas H i y son los puntos de intersección de con y de con. Al ser el plano de perfil proyectante en los planos horizontal y vertical, sus proyecciones i 1 e i 2 coinciden con y. γ 2 V r3 V r r 3 V s V s3 i 2 i 3 i2 i 3 s 3 H r3 H s3 i1 i 1 H r H i H s γ 1 Animación a Ilustración 5 Animación b 180
1.6. Intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra Sean dos planos α y β paralelos a la línea de tierra (Ilust. 5 derecha). Se traza un plano auxiliar de perfil γ y se obtienen las rectas de intersección r y s con los planos α y β. Las trazas H r y V r, están en los puntos de corte de γ 1 con y de γ 2 con. Obtenidas del mismo modo H s y V s, se abate el plano de perfil y se obtienen las terceras proyecciones de las rectas r y s uniendo las terceras proyecciones de sus trazas. La proyección i 3 de la recta intersección de α y β es el punto de corte de r 3 y s 3. Dicha recta es paralela a la línea de tierra y sus proyecciones i 1 e i 2 se trazan de modo que su cota y alejamiento coincidan con los de i 3. 1.7. Intersección de recta y plano r β α I I I 2 2 i 2 i 2 V i r I 1 I1 H i i 1 i 1 H i Ilustración 6 Animación Para hallar la intersección de una recta con un plano se traza un plano auxiliar que contenga a la recta, preferiblemente proyectante y se halla su punto de corte con la recta intersección de ambos planos. Así en la Ilust. 6, para hallar el punto I de intersección del plano α y la recta r, se ha trazado el plano vertical β, de modo que su traza horizontal coincida con. Trazada la recta i, de intersección de los planos α y β, se obtiene I 2 en el punto de corte de las proyecciones segundas i 2 y. La línea de referencia trazada desde I 2 hasta dará I 1. 181
UNIDAD 8 DIÉDRICO: INTERSECCIÓN, PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD Aplicación γ 2 j 2 V j2 V j 2 V I 2 i Se desea hallar la intersección de los planos α, β, y γ. Las trazas H i y de la recta intersección de los planos α y β son los puntos de corte de con y de con. H i2 H i H i1 i 2 i1 1 V j1 I 1 La proyección i 1 de la recta intersección es la recta que une las primeras proyecciones H i1 y 1 de sus trazas y la proyección i 2 es la recta que une H i2 y 2. La recta intersección del plano β con el horizontal γ es una horizontal de plano j, cuya proyección j 2 está contenida en γ 2 y cuya única traza V j es el punto de corte de con γ 2. Paralela a por V j1 se traza j 1. j 1 Se obtienen I 1 e I 2 en los puntos de corte de i 1 con j 1 y de i 2 con j 2. 2. Paralelismo 2.1. Paralelismo entre rectas r s A r 1 Ilustración 7 Dos rectas son paralelas cuando sus proyecciones homónimas son paralelas. Para trazar por un punto A la paralela s a una recta r (Ilust. 7), se trazan por y sus proyecciones y paralelas a y respectivamente. 182
2.2. Paralela a una recta de perfil que pasa por un punto V r V r α V s V s3 s 3 r 3 r 3 s 3 r A 3 s A 3 H s3 A H r H s H r Ilustración 8 Animación Sea A el punto y r la recta de perfil, cuyas trazas H r y V r se dan (Ilust. 8). Se traza un plano de perfil α y se obtienen las terceras proyecciones de r y A sobre él. Por A 3 y paralela a r 3, se traza la tercera proyección s 3 de la recta solución s, que corta a L. T. y a en Hs 3 y Vs 3. Las proyecciones y de la recta de perfil s están sobre la recta que pasa por y, y sus trazas H s y V s se obtienen a partir de sus terceras proyecciones Hs 3 y Vs 3. 2.3. Paralelismo entre planos Dos planos son paralelos si sus trazas homónimas son paralelas. Para trazar por el punto A un plano β paralelo al plano α (Ilust. 9), se traza una horizontal de plano h que pase por A. Su primera proyección h 1 pasará por, será paralela a, y cortará a L. T. en Vh 1. La segunda h 2 pasará por, será paralela a L. T., y cortará a la línea de referencia de Vh 1 en V h. La traza vertical del plano β pasará por V h y será paralela a, y la horizontal concurrirá con ella en la línea de tierra y será paralela a y h 1. Puede trazarse una frontal de plano, en lugar de la horizontal de plano utilizada, como recta auxiliar. 183
UNIDAD 8 DIÉDRICO: INTERSECCIÓN, PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD Ilustración 9 Animación 2.4. Plano paralelo a otro proyectante que pasa por un punto V j V j3 γ 2 i 2 γ 2 A 2 A 3 i 3 j 3 H j3 γ 1 H i δ 1 H j Ilustración 10 γ 1 i 1 Sea A el punto y α y β dos planos proyectantes, el primero de canto y el segundo frontal (Ilust. 10 izquierda). Para trazar por A un plano γ paralelo a α, se traza γ 2 por paralela a y en el punto de corte con la línea de tierra se traza γ 1 perpendicular a ella. Para trazar por A un plano δ paralelo al frontal β, se traza δ 1 por paralela a. 184
2.5. Plano paralelo a otro paralelo a la línea de tierra que pasa por un punto Sea A el punto y α el plano paralelo a la línea de tierra (Ilust. 10 derecha). Se traza un plano de perfil γ y la recta de perfil i, intersección de α con γ, cuyas trazas H i y son los puntos de corte de con γ 1 y de con γ 2. Se obtienen las terceras proyecciones de i y de A sobre γ. Por A 3 y paralela a i 3 se traza la tercera proyección j 3 de la recta j, intersección del plano solución β con el de perfil γ, que corta a L. T. y a γ 2 en Hj 3 y Vj 3. Las trazas H j y V j, de la recta de perfil j, se obtienen a partir de sus terceras proyecciones H j 3 y Vj 3. Por ellas pasarán y que son paralelas a y. 2.6. Paralelismo entre recta y plano α V r V s r s s 2 A A H r 1 s H 1 s A1 V s Ilustración 11 H s Una recta es paralela a un plano si lo es a una recta de dicho plano. Recíprocamente, un plano es paralelo a una recta si contiene otra recta paralela a ella. Para trazar por el punto A un plano α paralelo a una recta r (Ilust. 11), se traza una recta s paralela a r que pase por A. Se obtienen sus trazas, y se dibujan y, concurrentes en la línea de tierra y pasando por H s y V s respectivamente. Existen infinitos planos que pasan por A y son paralelos a la recta r. 185
UNIDAD 8 DIÉDRICO: INTERSECCIÓN, PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD 2.7. Recta paralela a dos planos dados que pasa por un punto i2 i 1 H i Ilustración 12 Sea A el punto y α y β dos planos oblicuos (Ilust. 12 izquierda). Se obtiene la recta i de intersección de los dos planos y se traza una paralela a ella r por el punto A. Si el plano α es horizontal y β vertical (Ilust. 12 derecha), no es necesario hallar la recta de intersección, pues al ser proyectantes en el vertical y el horizontal respectivamente, se trazará paralela a y paralela a. Aplicación p 2 V p Se desea trazar por el punto A una recta paralela a la recta de máxima pendiente del plano α. H p p 1 Se obtienen las dos proyecciones p 1 y p 2 de una recta p de máxima pendiente, y se trazan y, paralelas a ellas y pasando por y respectivamente. 186
3. Perpendicularidad 3.1. Perpendicularidad entre recta y plano. Perpendicular a un plano que pasa por un punto α P A p p 2 p 1 Ilustración 13 Una recta es perpendicular a un plano si las proyecciones de la recta lo son a las trazas del plano. Para trazar por el punto A una recta p perpendicular a un plano α (Ilust. 13), se trazan p 1 y p 2 perpendiculares a y pasando por y. α s r En general, las proyecciones de dos rectas perpendiculares no son perpendiculares. Pero las trazas de un plano son rectas contenidas en los planos de proyección y el teorema de las tres perpendiculares dice: Si dos rectas son perpendiculares y una de ellas es paralela o está contenida en el plano de proyección, sus proyecciones cilíndricas ortogonales sobre él son perpendiculares. En la figura y son perpendiculares porque r y s también lo son y r es paralela al plano α. El teorema recíproco también es cierto y por tanto, en la Ilust. 13, si las proyecciones p 1 y p 2 son perpendiculares a y respectivamente, la recta p es perpendicular a dos rectas no paralelas del plano α (sus trazas) y, por tanto, es perpendicular a él. 187
UNIDAD 8 DIÉDRICO: INTERSECCIÓN, PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD 3.2. Plano perpendicular a una recta que pasa por un punto V h2 V h h 2 V h1 h 1 Ilustración 14 Animación Sea r la recta y A el punto (Ilust. 14). Para trazar por el punto A un plano α perpendicular a la recta r, se traza una horizontal de plano h que pase por A. Su primera proyección h 1 pasará por, será perpendicular a y cortará a L. T. en Vh 1. La segunda h 2 pasará por, será paralela a L. T. y cortará a la línea de referencia de Vh 1 en V h. La traza vertical del plano α pasará por V h y será perpendicular a, y la horizontal concurrirá con ella en la línea de tierra, y será perpendicular a y paralela a h 1. Puede trazarse una frontal de plano, en lugar de la horizontal de plano utilizada, como recta auxiliar. t 2 γ 2 t 2 t 1 γ 1 t 1 Ilustración 15 Cuando en los datos aparecen rectas en posiciones especiales, como la vertical s o la horizontal t (Ilust. 15), se obtiene el plano horizontal β o el vertical γ, respectivamente. 188
3.3. Perpendicularidad entre rectas. Recta perpendicular a otras dos que pasa por un punto Dos rectas en el espacio pueden cortarse o cruzarse, pero en cualquier caso: dos rectas son perpendiculares si se puede trazar por una de ellas un plano perpendicular a la otra. Así en la Ilust. 16 arriba la recta p, perpendicular al plano α, es también perpendicular a las rectas r, s y a todas las contenidas en él. En diédrico no existe ningún criterio que permita averiguar si dos rectas son perpendiculares a la vista de sus proyecciones, excepto si una de ellas es paralela a un plano de proyección. α s r A s r p V s s 2 p 2 r 2 V r r s 1 1 r 1 H s p 1 H r Ilustración 16 Para trazar por un punto A una recta p perpendicular a las rectas r y s (Ilust. 16), se traza un plano α paralelo a r y s que pase por A. Para ello se trazan por A dos rectas r y s paralelas a r y s, y se obtienen las trazas y del plano que definen. Las proyecciones p 1 y p 2 de la recta solución se trazarán pasando por y, perpendiculares a y respectivamente. 3.4. Perpendicularidad entre planos. Plano perpendicular a otro que pasa por una recta Un plano es perpendicular a otro si contiene a una recta perpendicular a él. Para trazar por una recta r un plano β perpendicular a otro α (Ilust. 17), se traza una recta p que pase por r y sea perpendicular a α. Para ello se elige un punto A de 189
UNIDAD 8 DIÉDRICO: INTERSECCIÓN, PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD la recta r y se trazan por y, las proyecciones p 1 y p 2 perpendiculares a y respectivamente. Las trazas del plano solución β, pasarán por las trazas homónimas de las rectas r y p que lo definen, y concurrirán en la línea de tierra. r β p A α V r p 2 V p p 1 H r Ilustración 17 Animación 3.5. Plano perpendicular a otros dos que pasa por un punto γ 2 h 2 H h i 2 γ 1 i 1 H i h 1 Ilustración 18 Sea A el punto y α y β dos planos oblicuos (Ilust. 18). Se obtiene la recta i de intersección de los dos planos, y se traza el plano solución γ perpendicular a ella por el punto A. Para ello se traza por A una horizontal de plano h, cuya primera proyección h 1 sea perpendicular a i 1. Obtenida H h se traza por ella γ 2 perpendicular a i 2, y por su punto de corte con la línea de tierra γ 1 perpendicular a i 1. 190
γ 2 γ 1 Ilustración 19 Si el plano α es horizontal y β vertical (Ilust. 19), no es necesario hallar la recta de intersección, sino que se trazará γ 2 perpendicular a y γ 1 perpendicular a, pasando por. Aplicación Se desea trazar el plano β que contiene a la recta s y es perpendicular al plano α definido por las rectas r y s. Las primeras proyecciones de las rectas r y s coinciden y, por tanto, ambas estarán situadas en el mismo plano proyectante α. Al ser α un plano vertical, el plano β perpendicular a él será horizontal, y como debe contener a la recta s, su única traza coincidirá con. Recuerda U U U U U U U Las trazas de la recta intersección de dos planos son los puntos de corte de las trazas homónimas de estos. Dos rectas son paralelas cuando sus proyecciones homónimas son paralelas. Dos planos son paralelos si sus trazas homónimas son paralelas. Una recta es paralela a un plano si lo es a una recta de dicho plano. Recíprocamente, un plano es paralelo a una recta si contiene otra recta paralela a ella. Una recta es perpendicular a un plano si las proyecciones de la recta lo son a las trazas del plano. Dos rectas son perpendiculares si se puede trazar por una de ellas un plano perpendicular a la otra. Un plano es perpendicular a otro si contiene a una recta perpendicular a él. 191
UNIDAD 8 DIÉDRICO: INTERSECCIÓN, PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD Actividades 1. Trazar un plano β paralelo al plano α que pase por el punto A. α1 α2 2. Obtener las dos proyecciones del segmento interceptado en la recta r por los planos α y β. α2 β2 A2 r2 A1 r1 α1 3. Obtener la recta intersección de los planos α y β, cuyas trazas verticales no se cortan en el papel. α1 α2 β1 4. Trazar el plano perpendicular al plano α que pasa por los puntos A y B. β2 α2 A2 B2 A1 α1 β1 192 B1