CINEMATICA DE MAQUINAS

CINEMATICA DE MAQUINAS 4.1.- CAMPO DE VELOCIDADES EN EL MOVIMIENTO GENERAL DE UN SISTEMA INDEFORMABLE 4.2.- ACELERACION DE UN PUNTO EN EL MOVIMIENTO GENERAL DE UN SISTEMA INDEFORMABLE 4.3.- EJE INSTANTANEO DE ROTACION Y DESLIZAMIENTO MINIMO 4.4.- MOVIMIENTO PLANO 4.5.- MOVIMIENTO RELATIVO 4.5.1.- Velocidad en el movimiento relativo 4.5.2.- Aceleración en el movimiento relativo 4.6.- ANALISIS DE VELOCIDADES EN MAQUINAS 4.6.1.- Método de las velocidades proyectadas 4.6.2.- Centro instantáneo de rotación 4.6.3.- Método de las velocidades relativas 4.6.4.- Cinema de velocidades 4.6.5.- Teorema de los tres centros 4.6.5.- Análisis de velocidades en mecanismos con movimiento relativo 4.6.6.- Sólidos en rotación 4.7.- ANALISIS DE ACELERACIONES 4.7.1.- Introducción 4.7.2.- Mecanismos sin movimiento relativo 4.7.3.- Polo de aceleraciones 4.7.4.- Análisis de aceleraciones en el cuadrilátero articulado 4.7.5.- Cinema de aceleraciones 4.7.6.- Aceleración del centro instantáneo de rotación 4.7.7.- Análisis de aceleraciones en mecanismos con movimiento relativo 4.8.- PROBLEMAS 1

CINEMATICA DE MAQUINAS 4.1.- CAMPO DE VELOCIDADES EN EL MOVIMIENTO GENERAL DE UN SISTEMA INDEFORMABLE Vamos a determinar la expresión de la velocidad de un punto P perteneciente a un SISTEMA INDEFORMABLE en su movimiento general instantáneo. Consideramos el sistema de ejes de la figura en el cual tenemos: - Un sistema de ejes fijo F (u 1, u 2, u 3 ). - Un sistema móvil O (i, j, k) vinculado al sólido indeformable. El punto P que pertenece al sistema indeformable y por lo tanto se mueve solidario con el triedro móvil, queda definido respecto a ese sistema móvil por r= xi + yj + zk Llamando - r 0 al vector de posición de O respecto del sistema móvil - r 1 vector de posición de P respecto al sistema fijo, se tiene: r 1 = r 0 + r 2

V p d r = 1 d r = 0 dr + donde el primer sumando es V 0 Por otro lado, al tratarse de un sistema indeformable, al derivar el vector r, las coordenadas de P respecto al triedro móvil, x, y, z, permanecen constantes, por ello, la expresión de Vp resulta ser: di dj dk V p = V0 + x + y + z = V0 + ω x r Téngase en cuenta que la derivada de un vector de módulo constante, es otro vector normal al vector derivado, concretamente, se demuestra que: di/ = w x i dj/ = w x j dk/ = w x k con lo cual: Vp = V 0 + x(w x i) + y(w x j) + z(w x k) y puesto que las coordenadas x, y, z son constantes, la expresión anterior queda: Vp = V 0 + (w x xi) + (w x yj) + (w x zk) Vp = V 0 + w x (xi + yj + zk) Vp = V 0 + w x r (1) Por consiguiente, en el caso más general, el movimiento de un sólido indeformable, se puede considerar como la suma de: - Una TRASLACIÓN de velocidad igual a la de uno de los puntos del sólido O elegido arbitrariamente como origen de la referencia móvil, - Más una ROTACIÓN en torno a un eje que pasa por dicho punto. El conjunto v 0, w se llama grupo cinemático relativo al punto O. El vector velocidad angular w ES UN INVARIANTE, cuyo valor no depende del punto elegido como origen. Se demuestra asimismo que el producto escalar de los vectores v y w que constituyen cualquier grupo cinemático permanece constante, es decir es un invariante. De lo anterior se deduce que la proyección de la velocidad v de cualquier punto de un sistema indeformable, sobre la rotación instantánea w, es la misma y la denominaremos v d o velocidad de deslizamiento. 3

4.2.- ACELERACION DE UN PUNTO EN EL MOVIMIENTO GENERAL DE UN SISTEMA INDEFORMABLE Partiendo de la expresión obtenida anteriormente: V p = V 0 + w x r Se obtiene la aceleración derivando la velocidad con respecto al tiempo, teniendo en cuenta que en el sistema indeformable r es constante. a p d v = p d = v 0 dω dr + x r + ω x donde dw/ = a es la aceleración angular del sistema, independiente para cada punto en todo instante. Por otro lado, como ya hemos visto, dr/ = w x r con lo cual la expresión resultante es: = a ap 0 + α x r + ω x ( ω x r) donde el término a x r es la aceleración tangencial y el término wx(wxr) representa la aceleración normal. Por lo tanto, la aceleración de un punto cualquiera de un sólido rígido es igual a la suma de tres vectores: - La aceleración de cualquier otro punto de sólido arbitrariamente considerado como origen. - Más un vector aceleración tangencial de módulo a.r, dirección normal a la recta OP y sentido dado por el producto vectorial a x r, congruente con a. - Más un vector aceleración normal de módulo w 2.r, dirigido desde P hacia O. Evidentemente, si el punto 0 considerado como origen tiene aceleración nula, el primer sumando se anula, como ejemplo se puede considerar el centro de giro de una manivela como la vista anteriormente. 4

4.3.- EJE INSTANTANEO DE ROTACION Y DESLIZAMIENTO MINIMO Es el lugar geométrico de los puntos en los cuales, en un instante determinado la velocidad es mínima o lo que es igual, la velocidad v es colineal con la velocidad angular w. Para calcularlo basta con imponer la condición de paralelismo entre la velocidad del punto genérico P y w. Si el vector OP tiene por coordenadas y el par cinemático es también conocido: OP = (x-x 0 )i + (y-y 0 )j + (z-z 0 )k Tenemos: w = w x i + w y j + w z k v 0 = v 0x i + v 0y j + v 0z k v P = v 0 + w x OP = k.w debido a la condición de paralelismo con lo cual resulta: v ox + w y (z-z 0 ) - w z (y-y 0 ) = k.w x v oy + w z (x-x 0 ) - w x (z-z 0 ) = k.w y v oz + w x (y-y 0 ) - w y (x-x 0 ) = k.w z que son las ecuaciones paramétricas del eje instantáneo de rotación o de deslizamiento mínimo. Eliminando entre las tres ecuaciones anteriores el parámetro k resulta la ecuación del eje en forma canónica: v 0x 0 ) v0y 0 ) v0z y(x - x0 ) + ω y(z - z0 )-ω z(y - y ω x = + ω z(x - x0 )-ω x(z - z ω y = + ω x(y - y0 )-ω ω z El lugar geométrico de las sucesivas posiciones del eje instantáneo de rotación a lo largo del tiempo se denomina axoide y es una superficie reglada generada por el propio eje, cuya forma depende de que se tome una referencia fija o móvil, así tendremos un AXOIDE FIJO y otro AXOIDE MOVIL. Para obtener sus ecuaciones, basta con expresar el punto genérico P en función de sus tres coordenadas y además también del tiempo, eliminándolo posteriormente junto con k. 5

4.4.- MOVIMIENTO PLANO Cuando todos los puntos del sólido tienen velocidades incluidas en planos paralelos se dice que el sólido tiene un movimiento plano. En ese caso el eje instantáneo de rotación es perpendicular a los planos de movimiento. Las trayectorias de todos los puntos del plano están contenidas en él El análisis cinemático de mecanismos puede reducirse con frecuencia al estudio del movimiento en un plano. Debido a esto, centraremos en lo sucesivo nuestras técnicas de análisis en este tipo de movimiento plano. Al considerar un plano determinado, el eje instantáneo de rotación, es siempre perpendicular a él, y su punto de corte con el plano de movimiento se denomina CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN I. La velocidad de ese punto I es nula y todos los puntos restantes del plano girarán en torno a él, con velocidad angular w. En este caso de movimiento plano, la curva intersección del axoide fijo con el plano de movimiento se denomina CURVA POLAR FIJA O BASE. Esta curva es también el lugar geométrico de las posiciones que ocupa el centro instantáneo de rotación I considerado desde un sistema de referencia fijo. La curva de intersección del axoide móvil con el plano de movimiento se denomina CURVA POLAR MOVIL O RULETA. La ruleta y la base son tangentes en I. Si particularizamos la ecuación (1) para el caso de movimiento plano, y origen del sistema móvil 6

en I, la velocidad en cualquier punto P será: V P = V I + w x r = w x r Su dirección será normal al vector de posición de P, su sentido el dado por el producto vectorial, congruente con el sentido de w, y su módulo será: V P = wr = w.ip Es decir, el módulo de la velocidad de cualquier punto será proporcional a su distancia al centro instantáneo de rotación IP. Si tomamos como origen del sistema de referencia móvil, un punto cualquiera A, la representación de la ecuación 1 en el caso de movimiento plano para un sistema indeformable resulta ser: V B = V A + w x AB, la velocidad V B resulta de la composición del movimiento de arrastre V A más la rotación en torno a A. V BA = w x AB = es la velocidad relativa de B respecto de A. Es un vector normal al vector AB cuyo módulo es w.ab y sentido congruente con w. Naturalmente las dos velocidades V A y V B son normales a las rectas IA e IB respectivamente. 7

4.5.- MOVIMIENTO RELATIVO 4.5.1.- Velocidad en el movimiento relativo Consideramos los mismos sistemas de referencia que en el caso anterior: - Un sistema de ejes fijo F (u 1, u 2, u 3 ) solidario al sólido que lo incluye. - Un sistema móvil O (i,j,k). En este caso no se trata de un sistema indeformable, sino que el punto P tiene un movimiento relativo respecto a O. Sus coordenadas respecto a O no serán por lo tanto constantes. El punto P, por lo tanto NO PERTENECE AL MISMO SOLIDO que el sistema móvil. Este punto queda definido respecto al sistema móvil por 8

r= xi + yj + zk Llamando: - r 0 al vector de posición de O respecto del sistema móvil - r 1 vector de posición de P respecto al sistema fijo, se tiene: r 1 = r 0 + r V p d r = 1 d r = 0 dr + donde el primer sumando es V 0 Por otro lado al derivar el vector r= xi + yj + zk, las coordenadas de P(x,y,z) son también variables con lo que la expresión de Vp resulta ser: donde: V P = V 0 = V r = V p di dj dk dx dy = V0 + x + y + z + i + j + Velocidad absoluta de P respecto del sistema fijo. Velocidad absoluta del sistema móvil. dz k = V0 + ω x r + Vr Velocidad de P respecto de O o velocidad relativa. Es la que vería un observador que acompañase al sistema móvil. La suma V 0 + w x r se conoce como velocidad de arrastre Va. Por lo tanto, la velocidad absoluta de un punto P de un sólido es igual a la de otro punto cualquiera DE OTRO SÓLIDO DISTINTO O, considerado arbitrariamente como origen, más la velocidad relativa de P respecto del sistema de referencia ligado a O. 4.5.2.- Aceleración en el movimiento relativo Derivando la expresión anterior se obtiene: d V 1 d V = 0 Vr d(w x r) + d + Calculamos los dos últimos sumandos, en primer lugar dvr/ 9

d V r d dx = ( i + dy dz dx di dy dj dz dk j+ k) + + + = a r + w x V r a continuación d(wxr)/ d(ωxr) dω dr = xr + ωx dω dω = xr + ωx( Vr + ωxr) = xr + ωx Vr + ωx( ωxr) con lo cual la expresión final de a P es: a P = a 0 + a r + axr + wx(wxr) + 2wxV r donde: a P = Aceleración absoluta de P respecto del sistema fijo. a r = Aceleración relativa de P respecto del sistema móvil. a 0 + axr + wx(wxr) = Aceleración de arrastre. 2wxV r = Aceleración complementaria o de Coriolis. 4.6.- ANALISIS DE VELOCIDADES EN MAQUINAS Centrándonos en el caso de movimiento plano, los métodos de análisis cinemático utilizados más frecuentemente son los siguientes: A.- Velocidades proyectadas. B.- Centros instantáneos de rotación. C.- Velocidades relativas. D.- Teorema de los tres centros. Dependiendo del tipo de mecanismo, podremos utilizar uno o varios de los métodos anteriores. 10

4.6.1.- Método de las velocidades proyectadas Si se conoce la velocidad de un punto A de un sólido rígido, y la dirección de la velocidad de otro B, puede obtenerse el módulo de V B, teniendo en cuenta que la proyección de las velocidades sobre la recta que los une es constante, puesto que si ello no fuera así, se acercarían o se alejarían lo que se opone a la condición de sólido rígido. Para conocer la velocidad del punto B, basta con desproyectar la componente de V A sobre la recta que los une, en la dirección de V B Si se conocen las velocidades en dos puntos A y B de un sólido con movimiento plano, es posible conocer por este método la velocidad de un tercero C, basta con llevar a C las proyecciones de V A y V B sobre las rectas que unen A con C y B con C. Finalmente, se desproyectan ambas y su punto de intersección nos da V C. 11

en C. El razonamiento anterior, también sería válido si AC y BC fuesen elementos distintos articulados 12

4.6.2.- Centro instantáneo de rotación Si se conoce la posición del centro instantáneo de rotación I de un sólido, las direcciones de las velocidades de todos los puntos del sólido son conocidas automáticamente. La velocidad de un punto tiene una dirección perpendicular a la recta que lo une con su centro instantáneo de rotación I. Inversamente, si se conocen las direcciones de las velocidades en dos puntos del sólido, es posible determinar la posición de I. El centro instantáneo de rotación se encontrará en el punto de corte de las perpendiculares a ambas direcciones. La figura muestra un mecanismo de cuatro barras articulado en A, B, I 1 e I 3. Los centros I 1 e I 3 son evidentemente los centros de giro de las manivelas 1 y 3. V A tiene dirección perpendicular a I 1 A y su módulo vale V A = w 1. I 1 A. La dirección de V B es conocida ya que se conoce el centro instantáneo de rotación del elemento 3, que es evidentemente I 3. Como A y B pertenecen también al elemento 2, la posición de I 2 se determina trazando las perpendiculares a V A y V B, esta última de módulo desconocido. El punto de corte de ambas perpendiculares determina I 2. Una vez conocido I 2, la velocidad angular w 2 tiene sentido de giro en torno a I 2 congruente con la dirección de V A es decir entrante al plano de movimiento. 13

V B tiene sentido congruente con w 2 y módulo V B = w 2. I 2 B Una vez conocida la posición de I 2 y w 2 se puede conocer la velocidad en cualquier otro punto del elemento 2, por ejemplo D y C. La velocidad angular w 3 tendrá sentido congruente con V B, saliente al plano de movimiento, y módulo w 3 = V B / I 3 B Obviamente también se podrían haber calculado las velocidades en B, C, y D por el método de las velocidades proyectadas, ya que los tres forman parte del mismo sólido rígido. 4.6.3.- Método de las velocidades relativas Como ya hemos visto, la velocidad en cualquier punto B de un sólido rígido es igual a la de otro punto del sólido arbitrariamente considerado como origen más la velocidad relativa V B = V A + w x AB w x AB = V BA es la velocidad relativa de B respecto de A. Es un vector normal al vector AB cuyo módulo es w.ab y sentido congruente con w. El ejemplo siguiente muestra un mecanismo de 6 barras articulado en A, B, C, D, E, I 1 e I 3. Se conoce w 1 y se pide V E. Aplicando alguno de los dos métodos anteriormente descritos, se calculan V C y V D. No se conocen w 4, w 5, ni tampoco las posiciones de los centros de rotación de esos elementos, I 4 e I 5. Para resolver el problema se aplica el método de velocidades relativas. Los módulos de V EC y V ED no son conocidos pero si sus direcciones, perpendiculares a EC y ED respectivamente. 14

V E = V C + V EC V E = V D + V ED Estas dos ecuaciones vectoriales se pueden resolver gráficamente según se muestra en la figura: - Trasladamos V C al punto E. Trazamos por el extremo de V C una recta que contendrá V EC de la que sólo conocemos su dirección, perpendicular a EC. - Trasladamos V D al punto E. Trazamos por el extremo de V D una recta que contendrá V ED de la que sólo conocemos su dirección, perpendicular a ED. El punto de corte de ambas rectas representa la solución gráfica y nos da el módulo y la dirección de V E La figura muestra las dos ecuaciones vectoriales. Evidentemente, también se podría haber calculado por el método de velocidades proyectadas. 6.4.- Cinema de velocidades 15

Si a partir de un punto origen o polo, representamos los vectores velocidad de los puntos de un elemento de un mecanismo, obtenemos una figura que es una representación a escala del elemento considerado y girada 90º. En la figura siguiente podemos ver el cinema de velocidades del elemento ABCD. En el cinema anterior, el segmento acb es una representación a escala del segmento ACB del elemento real, girada 90º. Una vez trazado el cinema de un elemento, es posible localizar la velocidad de cualquier otro punto de ese elemento, por ejemplo el D dibujando su posición a escala en el cinema, el vector que une la posición del punto en cuestión (d) con el polo del cinema (O) representa la velocidad de ese punto. Asimismo se puede determinar en el sólido real la posición del centro instantáneo de rotación a partir de la situación del polo del cinema O, basta con dibujar a escala la posición de O en el sólido real. El segmento que une dos puntos cualesquiera del cinema, (a y c por ejemplo) representa la velocidad relativa entre ellos, así el vector V CA es la velocidad relativa de C respecto de A y está representado en el cinema por el vector con origen en a y extremo en c. Naturalmente es evidente al ver el cinema la expresión vectorial que ya habíamos obtenido: V C = V A + V CA Obviamente el vector con origen en c y final en a es V AC y 16

V A = V C + V AC Naturalmente la velocidad angular del sólido analizado, es igual a los cocientes: w 2 = V AC / AC = V C / I 2 C 4.6.5.- Teorema de los tres centros Se denomina centro relativo o simplemente centro, a aquél punto perteneciente a dos cuerpos que tiene la misma velocidad en ambos. Un observador situado en uno de los cuerpos ve girar al otro en torno al punto centro. El concepto de centro engloba al de centro instantáneo de rotación. Evidentemente, una articulación, también es un centro, pues en ese punto los dos elementos tienen la misma velocidad y es centro de rotación relativa de un elemento respecto de otro. El número total de centros de un mecanismo es el de combinaciones de los elementos del mecanismo tomados de 2 en 2, es decir n(n-1)/2 donde n es el número total de elementos incluido el elemento fijo o armadura. En el ejemplo anterior el número total de centros será 15, puesto que tiene 6 elementos. Los centros relativos al elemento fijo o armadura, son evidentemente centros instantáneos de rotación: - I 1, I 2 que se deducen por observación, son centros instantáneos de rotación. - I 3, que se puede calcular a partir de las direcciones de V A y V B como ya hemos visto. - I 4, I 5 que no han sido calculados todavía. Son los centros instantáneos de rotación de los elementos 4 y 5. Además de esos 5 centros, tenemos los centros relativos entre elementos móviles: - I 21 que es la articulación de 1 con 2 evidentemente. - I 32, I 15, I 45, I 34, que son las articulaciones entre los respectivos elementos. Además existen otros 5 centros relativos de movimiento entre elementos no directamente articulados. - I 13, I 14, I 24, I 25, I 35 cuya posición por el momento es desconocida. En total 15 centros. Para cualquiera de los centros anteriores, considerando los dos elementos cuyo centro es P 17

puesto que el elemento 2 gira en torno a su centro de rotación I 23, V P2 será normal a I 23 P. Evidentemente, si P es centro relativo a 1 y 2, la velocidad en P es la misma para ambos sólidos y V P1 será normal a I 13 P. La única forma de que se cumpla esa perpendicularidad es que I 13, I 23 y P estén alineados. Esto constituye el teorema de los tres centros o teorema de Kennedy y es un método muy útil para la obtención de velocidades, en casos complicados. Siguiendo con el ejemplo anterior, calcularemos la posición de I 13, I 14, I 24, I 25, I 35. Para ello seguimos el método siguiente: 1º.- Construimos un polígono con tantos vértices como elementos tiene el mecanismo, incluyendo el elemento 0 o armadura, es decir 6 vértices numerados de 0 a 5. 2º.- Unimos con una recta aquellos vértices correspondientes a centros que se obtengan por observación directa. En la notación, denominamos centro de giro de la manivela 1 respecto de la armadura, I 1 como I 01, lo mismo ocurre con I 03. El orden de los subíndices es indiferente. 18

Son conocidos por observación directa I 01, I 03, I 12, I 23, I 34, I 45, I 51. 3º.- Para aplicar el Teorema de Kennedy trazamos la recta que cierre dos triángulos a la vez. En esta caso, esto se consigue trazando la línea 02 que cierra los triángulos 21/10/02 y 03/32/20. Esto quiere decir que el centro 02 está en la recta que une I 21 con I 10 ya que los tres están en línea según el teorema de Kennedy y también en la línea que une I 30 con I 32. El punto de corte de ambas nos da la localización de I 20 que naturalmente se sitúa en el punto de intersección de la prolongación de las dos manivelas como ya sabemos puesto que se trata del centro instantáneo de rotación del elemento 2. Una vez conocido I 20 trazamos la recta correspondiente en el polígono y buscamos la siguiente recta que cierre dos triángulos a la vez. 19

La siguiente recta que representa el centro que podemos calcular es la 13 ya que cierra dos triángulos. Por lo tanto I 13 estará en la intersección de la recta I 10 I 03 con la I 21 I 32. Ese punto I 13 es el centro relativo del movimiento de 3 respecto de 2 y es un punto que tiene la misma velocidad en ambos elementos. Continuando de la misma forma obtenemos sucesivamente: I 14 por intersección de 13/34 con 15/54 I 04 " " 43/30 con 41/10 I 50 " " 04/45 con 01/15 etc. 20

Una vez conocidos los centros instantáneos de rotación de 4 y 5, I 40 e I 50 respectivamente es sencillo calcular V E si conocemos V C. También se podría calcular V B sabiendo que I 31 tiene una velocidad que es común a los elementos 1 y 3. Esa velocidad tiene por módulo w 1. I 10 I 31 dirección perpendicular a I 10 I 31 y sentido congruente con w 1. Como el elemento 3 gira en torno a I 30, el módulo de su velocidad angular w 3 se podrá calcular dividiendo la velocidad en I 31 por la distancia I 31 I 30. Una vez conocida w 3 se calcula V B. 21

4.6.5-. Análisis de velocidades en mecanismos con movimiento relativo En el análisis de mecanismos planos es frecuente encontrar los siguientes tipos de restricciones: - Pares de rotación o articulaciones. Tales como las A,B,C,D,E,I 10 e I 30 del ejemplo anterior. - Pares de deslizamiento. - Restricciones curva-curva que obligan al contacto permanente entre dos curvas, por ejemplo el caso de una leva y el rodillo seguidor. Las articulaciones obligan a que la posición, velocidad y aceleración en ese punto sean iguales para los dos elementos articulados en ese punto. Esto es un poderosa ayuda para la solución de problemas Los problemas de análisis de velocidades con pares de deslizamiento se deben tratar con ayuda de las ecuaciones vectoriales de movimiento relativo. Tal como hemos visto V p di dj dk dx dy = V0 + x + y + z + i + j + dz k = V0 + ω x r + Vr V P = V a + V r La velocidad de arrastre V a es la velocidad del punto que consideramos origen del sistema de referencia móvil. V r es la velocidad relativa del punto cuya velocidad se analiza respecto del sistema de referencia móvil. Con frecuencia conoceremos la dirección de esa velocidad relativa. En el caso de pares de deslizamiento. La figura siguiente muestra un ejemplo. En el punto B se puede considerar que hay dos puntos superpuestos: - Un punto B' perteneciente al elemento AB. - Un punto B superpuesto a B' perteneciente al elemento BC. Consideramos un sistema de referencia situado en B' que se mueve solidario a AB. El punto B del elemento BC tiene una velocidad relativa respecto al sistema de referencia anterior cuyo módulo desconocemos, pero cuya dirección siempre es la del elemento AB debido al tipo de restricción que impone el par de deslizamiento. 22

La equivalencia de puntos en este ejemplo respecto al desarrollo teórico de las ecuaciones de movimiento relativo es la siguiente: P = B O = B' La velocidad de arrastre por lo tanto será V B', como sabemos velocidad de arrastre es la velocidad que tendría el punto B si se moviera solidariamente con el sistema de referencia móvil, es decir si se moviera con la velocidad de B'. La velocidad relativa tiene la dirección AB y módulo desconocido. Esa velocidad relativa es la velocidad de B vista desde B', a medida que w gira en el sentido indicado, la corredera se acerca a A por lo tanto un observador situado en B', ve pasar el punto B hacia A. El sentido de esa velocidad relativa de B' respecto de B (V B'B = V r ) será hacia la izquierda aunque no conocemos su módulo. V B = V B' + V r Como además sabemos que V B tiene dirección perpendicular al centro instantáneo de rotación del elemento BC, esa dirección corta a la dirección de la velocidad relativa en un punto que resuelve el cálculo de V B y proporciona el módulo de V r. 23

4.6.6. Sólidos en rotación En el caso del giro de una circunferencia sobre un plano, si no se produce deslizamiento y tenemos rodadura pura, el punto I de contacto de la circunferencia con el suelo es el centro instantáneo de rotación de la circunferencia, cualquier punto de la misma tendrá una velocidad perpendicular al vector que lo une con ese punto. En general si dos sólidos tienen un punto de contacto y no existe deslizamiento, la velocidad de ambos en ese punto de contacto es la misma. En el caso de la rueda, como el punto I del suelo está fijo, el punto I de la rueda también tendrá velocidad nula, por eso es centro instantáneo de rotación. Por consiguiente, el centro de la rueda C, NO es el centro instantáneo de rotación de la misma. En muchos casos de contacto en restricciones curva-curva, levas etc, donde si se produce deslizamiento, es interesante sustituir, a efectos de análisis cinemático el mecanismo propuesto por otro mecanismo de barras equivalente cuyo punto de articulación se sitúe en los centros de curvatura de las superficies en contacto. 24