ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS UNIVERSIDAD DE NAVARRA INGENIARIEN GOI MAILAKO ESKOLA NAFARROAKO UNIBERTSITATEA Ingeniería de Control I - Examen.II. Nombre y apellido: Nº de carnet: Se parte de la planta cuya función de tranferencia e indica a continuación:.4 + 8 + 5 ( ) = 3 G Se quiere controlar ete itema mediante un imple controlador proporcional, para obtener la iguiente epecificacione: - Que el tiempo de etablecimiento del itema final ea lo menor poible. - Se permiten obreimpulo pero no mayore del % - El error etacionario ante una entrada ecalón ea nulo. Se pide: ) Dibujar el diagrama de bloque del itema con el controlador. ) Ajutar la ganancia del controlador mediante el Lugar de la Raice, jutificando la repueta en función de la epecificacione exigida. 3) Ajutar la ganancia del controlador mediante el Diagrama de Bode, jutificando la repueta en función de la epecificacione exigida. 4) Comparar lo reultado obtenido en lo apartado y 3.
.- Dibujar el diagrama de bloque del itema con el controlador. + - K G( ) ( ) ( ) 3 N.4 = = D + 8 + 5.- Ajutar la ganancia del controlador mediante el Lugar de la Raice, jutificando la repueta en función de la epecificacione exigida. Se procede a dibujar el l.d.r. del itema para luego, a partir de la interpretación de la epecificacione exigida, elegir la poición de lo polo del itema en lazo cerrado dentro del l.d.r. Procedimiento para dibujar el l.d.r.: º- El lugar de la raíce e imétrico repecto al eje real. º- Número de rama del l.d.r. = número de polo = 3 3º- Punto de inicio y fin de la rama: Inicio en lo polo del itema que etán en: = = 4± 3j Como no hay cero en lazo abierto, la rama acaban toda en el infinito. 4º- Parte del eje real que pertenecen la l.d.r. Todo lo punto del eje real negativo en el intervalo [-, ]. 5º- Ángulo de la aíntota: ( n+ ) 8º θ = = ( n+ ) 6º p z La aíntota tienen ángulo de 6º, 8º y 3º. 6º- Punto de cruce de la aíntota con el eje real: polo cero ( 4 3j) ( 4 3j) σ + + + = = =.67 p z 3 7º- Ángulo de inicio-fin de la trayectoria: Se calculan para lo polo en -4±3j. Como el l.d.r. e imétrico repecto al eje real, bata con calcular el ángulo de alida del polo en -4+3j: θpolo ϕcero = 8 4 9 + arctg + θ + 9 = 8 θ = 53º 3 8º- Valore de corte con el eje imaginario: Se obtiene la ecuación caracterítica del itema en lazo cerrado, que e la iguiente:
3 + 8 + 5+.4K = Se aplica el criterio de Routh para ete polinomio: 3 5 8.4K.4K 8.4K Para todo <K<4.86 e cumple que el itema e etable en lazo cerrado. Por tanto, e calculan para K=4.86 lo punto de corte del l.d.r. con el eje imaginario: 8 +.4 4.86 = = ± 5 j 9º- Punto de alida-llegada de la rama repecto al eje real: Lo punto '', que e bucan on lo que reuelven la iguiente ecuación: N() D () = N () D().4 3 + 6+ 5= 3 + 6+ 5= ( )( ) Lo reultado que e obtienen on =-.67±.j. Ninguno de ello e válido, luego no exiten punto de diperión. Con todo lo dato obtenido, ya e poible dibujar el l.d.r. del itema, que e preenta a continuación: 6 4 Imag Axi - -4-6 -8-6 -4 - Real Axi
Se procede ahora a interpretar la epecificacione exigida al itema: - Comenzando por la tercera: como el itema e de tipo en lazo abierto, eo implica que en lazo cerrado no va a preentar error ante una entrada ecalón. Luego eta epecificación e cumple para cualquier valor de ganancia del controlador. - La egunda epecificación limita el obreimpulo máximo a un % de la alida. Si el itema fuee de egundo orden, por la iguiente fórmula, e ve que el ángulo de lo polo dominante quedaría limitado a un máximo de 54º. π tgϕ π M P = e <. ϕ < arctg = 54º ϕ < 54º ln (.) Al haber otro polo má de primer orden, ete va a influir diminuyendo el obreimpluo, con lo que e etará trabajando del lado de la eguridad i e impone que ningún polo ha de formar un ángulo ϕ mayor a 54º. - La primera condición e la de tiempo de etablecimiento mínimo. Una buena forma de coneguir un tiempo de etablecimiento bueno, aunque no el óptimo, e exigir que lo polo del itema etén lo má alejado poible del eje imaginario. A continuación e oberva cómo e mueven lo polo del itema en el l.d.r. Para Valore bajo de K, el polo dominante e el polo real de la rama que ale de =. Para valore de K mayore de 4.86 el itema e vuelve inetable. Para valore alto de K, que no uperen 4.86, lo polo dominante on lo do polo complejo conjugado de la rama que urgen de =-4±3j. Se abe que la uma de la parte real de lo tre polo tiene que er igual al coeficiente de de la ecuación caracterítica del itema, cambiado de igno (eto e aí porque dicha ecuación caracterítica e un polinomio de tercer grado). La ecuación caracterítica del itema en lazo cerrado e: 3 + 8 + 5+.4K = Luego, la uma de la parte reale de lo polo del itema ha de er igual a -8. La forma de que el tiempo de etablecimiento ea mínimo e que lo polo del itema etén lo má alejado poible del eje imaginario. Eto ocurrirá en el punto donde coinciden la parte reale de lo tre polo. Dicha concurrencia ocurre cuando la parte real e de -8/3. Se calcula la ganancia que hace que exita un polo ituado en =-8/3 d polo.667 3.83 3.83 K = = = 8.74 d cero Se obtienen ahora lo polo complejo conjugado para comprobar el amortiguamiento que introducen y ver i cumple el límite de la epecificación de obreimpulo máximo. La ecuación caracterítica del itema con K=8.74 queda: 3 + 8 + 5+ 8.74 = Dividiéndola entre +.667 queda: 8 97 + + = cuya raíce on: =-.67±.95j 3 9
Lo polo quedan dentro del l.d.r. como e muetra en la iguiente figura: 6 4 Imag Axi - -4-6 -8-6 -4 - Real Axi.95 El ángulo que forman eta raíce e: ϕ = arctan = 35.7º, que e menor de lo.667 54º que proporciona un obreimpulo del %. Aún má, al obreimpulo que producirían lo polo complejo conjugado del itema hay que retarle la acción del polo real, que lo que va a hacer e diminuir ete obreimpulo. Se calcula finalmente la ganancia del controlador proporcional, K, que e: K'=.4K, luego K=K'/.4=8.74/.4=.5 La ecuación del controlador queda de la iguiente forma: G ( ) = K =.5 La repueta del itema ante una entrada ecalón unitario e preenta a continuación: C. Step Repone From: U().8 Amplitude To: Y().6.4..5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Time (ec.)
3.- Ajutar la ganancia del controlador mediante el Diagrama de Bode, jutificando la repueta en función de la epecificacione exigida. Se dibuja el Diagrama de Bode del itema en lazo abierto y e calculan lo Márgene de Fae y de Ganancia: Bode Diagram Gm=43.98 db (at 5 rad/ec), Pm=88.973 deg. (at.55998 rad/ec) - -4-6 Phae (deg); Magnitude (db) -8 - - - - -4-6 -8 - - -4-6 - - Frequency (rad/ec) Como e ve en la figura: MG=43dB y MF=89º. Para cumplir la epecificacione interea coneguir el mayor ancho de banda poible (lo cual hace al itema má rápido => meno tiempo de etablecimiento) y un amortiguamiento en lazo cerrado que no upere el obreimpulo máximo del %. Coniderando que el itema en lazo cerrado e comporta como un itema de egundo orden, el obreimpulo máximo del % e obtiene para ϕ = 54º ξ = coϕ =.56, por tanto el MF del itema en lazo abierto no ha de er menor de ξ => MF 56º. Cuando el diagrama de fae vale -4º (=-8º+56º), la ganancia vale -3dB. Con lo cual habrá que aumentar en 3dB la ganancia para coneguir el mayor ancho de banda in que e pae el obreimpulo máximo. Aumentar en 3dB el módulo e lo mimo que multiplicar por una ganancia de 3.6 La ecuación del controlador queda de la iguiente forma: G ( ) = K = 3.6 C
La repueta del itema ante una entrada ecalón unitario e preenta a continuación:. Step Repone From: U().8 Amplitude To: Y().6.4..5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Time (ec.) 4.- Comparar lo reultado obtenido en lo apartado y 3. Por lo que e ha podido ver en el apartado, la ganancia obtenida en el apartado 3 va a hacer al itema un poco má lento y con mayor obreimpulo. Por lo que e ha podido ver en el apartado 3, la ganancia obtenida en el apartado va a hacer que el itema tenga un ancho de banda menor. Una poible olución ería una ganancia intermedia entre amba. De eta forma e obtendría un itema que tarda meno tiempo en ituare en el entorno de la referencia, mejorando incluo u tiempo de etablecimiento. El valor que optimiza el tiempo de etablecimiento e ha calculado y reulta er de K=3.8. La repueta del itema para valore de K=.5, K=3.6 y K=3.8 e repreentan a continuación mediante la línea continua y la dicontinua repectivamente. En la figura e ha dibujado la ituación de lo tiempo de etablecimiento de cada uno de lo tre itema.. Step Repone From: U().8 Amplitude To: Y().6 K = 3. K = 3.8 K =.5.4..5.5.5 3 3.5 Time (ec.)