DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA UNIVERSIDAD DE VALLADOLID

d e p a r t a m e n t d E 0.8 300 0.6 I O 0.4 250 0.2 50 100 200 150 200 250 www.ei.uva.es 300 150 universidad de valladlid e s t a d í s t i c a Ver.nrm media desv. estand. p e r a t i v a i n v e s t i g a c i ó n DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA UNIVERSIDAD DE VALLADOLID Guía Dcente MODELOS PROBABILÍSTICOS Grad en Estadística Curs 2011/2012 Cicl: 1º Curs: 1º 2º Cuatrimestre Carácter: Básica rama Crédits: 6 Departament respnsable: Estadística e Investigación Operativa Prfesr: Jesús Albert Tapia García E-mail: tapia@ei.uva.es INTRODUCCIÓN La asignatura Mdels prbabilístics es una asignatura trncal que se imparte en el primer curs del Grad en Estadística durante el segund cuatrimestre. En el plan de estudis cnsta de un ttal de 6 crédits. Cn esta asignatura se pretende que el alumn adquiera ls primers cncimients de la Tería de la Prbabilidad que sirvan cm base a tras asignaturas de cntenid de Estadística que hay en curss psterires de la titulación. Esta asignatura tiene un papel análg a Estadística Descriptiva e Intrducción a la Investigación Operativa. Las tres sn las únicas asignaturas de primer curs que tienen un perfil específic de ls estudis, a diferencia de tras cn perfil de Matemáticas Infrmática. La asignatura está en su mayr parte rientada al manej de cncepts y resultads básics de cálcul de prbabilidades, per también a la utilización de mdels prbabilístics cn aplicación directa a prblemas reales. Temas a desarrllar en el prgrama de la asignatura: 1- Intrducción al cncept de prbabilidad 2- Prbabilidad cndicinada e independencia 3- Mdels para variables y vectres aleatris 4- Características asciadas a una distribución de prbabilidad 5- La distribución nrmal. Mdels de distribución de medicines y errres 6- El prces de Bernulli y sus distribucines asciadas 7- El prces de Pissn y sus distribucines asciadas t f n. : 9 8 3 4 2 3 1 1 1 f a x : 9 8 3 4 2 3 0 1 3 h t t p : / / w w w. e i. u v a. e s / 1

BIBLIOGRAFÍA Bibligrafía básica: - Del Barri, E. (2003). Cálcul de Prbabilidades. Apuntes n publicads. - Fernández Abascal, H. (1994). Cálcul de Prbabilidades y Estadística. Ariel Ecnmía Bibligrafía cmplementaria: - Creightn, J. (1994). A First Curse in Prbability Mdels and Statistical Inference. Springer-Verlag. - Meyer, P. L. (1992). Prbabilidad y Aplicacines Estadísticas. Addisn- Wesley Americana. - Peña, D. (1991). Estadística. Mdels y Métds. 1. Fundaments (2ª Edición). Alianza Universidad Texts. - Pitman, J. (1993). Prbability. Springer-Verlag. - Stirzaker, D. (2003) Elementary prbability. Cambridge University Press. Tda la bibligrafía cmplementaria está a dispsición de ls alumns, tant en la bibliteca de la Facultad cm en la bibliteca del Departament de Estadística. OBJETIVOS GENERALES - Estudi de ls principis y cncepts básics del Cálcul de Prbabilidades. - Aprximación intuitiva a ls resultads clave de la Tería de la Prbabilidad. Justificación (frmativa): Cnstituyen la base de la mdelización en Estadística. - Que el alumn aprenda a frmular mdels prbabilístics. Justificación (frmativa y prfesinal): Se aplican en el análisis de situacines reales. COMPETENCIAS GENÉRICAS Las actividades previstas en esta asignatura permitirán el desarrll de ciertas cmpetencias genéricas de tip transversal, muy imprtantes desde el punt de vista de la frmación persnal y scial, per imprescindibles para llevar a cab una buena práctica prfesinal. Entre ellas se pueden destacar las siguientes: - Desarrll de la capacidad de trabaj en equip - Capacidad de análisis y síntesis - Raznamient crític - Mtivación pr el trabaj bien hech - Capacidad de gestión de la infrmación - Capacidad de iniciativa - Aprendizaje autónm - Desarrll del pensamient y del raznamient cuantitativ - Capacidad de abstracción 2 t f n. : 9 8 3 4 2 3 1 1 1 f a x : 9 8 3 4 2 3 0 1 3 h t t p : / / w w w. e i. u v a. e s /

Cncimients previs requerids Debid a la variedad de prcedencias de ls estudiantes, n es segur que ésts hayan recibid uns cntenids mínims de Prbabilidad (nción de prbabilidad, prbabilidad cndicinada, regla de Bayes) durante el Bachillerat. Pr ell y además, teniend en cuenta que es una asignatura que sirve de base para el rest de asignaturas de Estadística de la Titulación, cnsiderams que n debems exigir ningún cncimient previ de la misma. CONTENIDOS MÍNIMOS La prpuesta que se expne a cntinuación recge ls cntenids mínims que el alumn seguirá a l larg de cada tema. Al final de ls cntenids mínims de cada tema se expne la bibligrafía básica que se prpne para el mism, así cm ls ejercicis más pertinentes y el tiemp de dedicación a clases teóric-prácticas. El prfesr cmpletará las explicacines teóricas cn alguns ejempls y ls alumns trabajarán la realización de ejercicis prpuests. Alguns serán crregids cn clases prácticas cn la participación de ls alumns. Les será entregad el material crrespndiente. 1.- Mdels prbabilístics. Intrducción al cncept de prbabilidad. - Elements del mdel prbabilístic. Experiments aleatris, espaci muestral, sucess, variables aleatrias. El cncept de prbabilidad y su definición frmal. Interpretacines del cncept de prbabilidad. - Reglas básicas del Cálcul de Prbabilidades. Bibligrafía: Apuntes, pág. 1-10. Ejercicis: 6 ejempls de mdel prbabilístic, 1 de reglas básicas de cálcul de prbabilidades. 5 prblemas prpuests. Clases en el aula (tería y prácticas): 4 h. 2.- Prbabilidad cndicinada e independencia. - Actualización de la infrmación: prbabilidad cndicinada. - Regla de multiplicación. Experiments en etapas sucesivas. - Independencia de sucess. - Regla las Prbabilidades Ttales. Regla de Bayes. - Independencia cndicinal. Paradja de Simpsn. Bibligrafía: Apuntes, pág. 11-28. Ejercicis: 2 ejempls de prbabilidad cndicinada, 2 de regla de multiplicación, 5 de independencia de sucess, 2 de Regla de Bayes, 2 de independencia cndicinal, 1 de la Paradja de Simpsn. 16 prblemas prpuests Clases en el aula (tería y prácticas): 9 h. t f n. : 9 8 3 4 2 3 1 1 1 f a x : 9 8 3 4 2 3 0 1 3 h t t p : / / w w w. e i. u v a. e s / 3

3.- Mdels para variables y vectres aleatris. - Mdels para experiments discrets. El mdel unifrme discret. Regla de Laplace. Cmbinatria. - Mdels cntinus. El mdel unifrme cntinu. Función de densidad - Función de distribución de una variable aleatria. Función de distribución de una variable discreta. Función de distribución de una variable cntinua. - Mdels mixts. - Mdels para vectres aleatris. Vectres aleatris discrets. Vectres aleatris cntinus. - Distribucines cnjuntas, marginales y cndicinadas. Independencia de variables aleatrias. Cas discret. Cas cntinu. Independencia de variables aleatrias. - Transfrmacines de variables y vectres aleatris. Cálcul de distribucines. Bibligrafía: Apuntes, pág. 29-70. Ejercicis: 5 ejempls de experiments discrets, 6 de cmbinatria, 1 de mdels cntinus y 1 de mdels mixts, 2 de vectres discrets y 2 cntinus, 1 de distribucines cndicinadas discretas y 1 de cntinuas, 5 de transfrmacines de variables y vectres aleatris. 34 prblemas prpuests. Clases en el aula (tería y prácticas): 11 h. 4.- Características asciadas a una distribución de prbabilidad. - Media de una variable aleatria. Mments. - Percentiles. La transfrmación cuantil. Simulación de variables aleatrias. - Medidas de psición, dispersión y frma. Parámetrs pblacinales de una función lineal de una variable aleatria. Tipificación estandarización de variables. - Cvarianza y crrelación. - La desigualdad de Chebychev. - La Ley de ls Grandes Númers. - Esperanza cndicinada. Regresión. Bibligrafía: Apuntes, pág. 71-96. Ejercicis: 2 ejempls de cálcul de la media, 1 de cálcul de cuartiles, 2 de simulación de variables, 2 de desigualdad de Chebychev, 1 de la Ley de ls Grandes Númers, 1 de regresión lineal. 12 prblemas prpuests. t f n. : 9 8 3 4 2 3 1 1 1 f a x : 9 8 3 4 2 3 0 1 3 h t t p : / / w w w. e i. u v a. e s / 4

Clases en el aula (tería y prácticas): 11 h. 5.- La distribución nrmal. Mdels de distribución de medicines y errres. - Intrducción. - Características numéricas de la distribución nrmal. - Tipificación de variables nrmales. Us de tablas. - Reprductividad de la distribución nrmal. - El efect límite central. Bibligrafía: Apuntes, pág. 99-108. Ejercicis: 1 ejempl de histgrama, densidad y distribución nrmal, 2 de us de tablas, 1 de reprductividad, 1 del Terema Central del Límite. 8 prblemas prpuests. Clases en el aula (tería y prácticas): 5 h. 6.- El prces de Bernulli y sus distribucines asciadas. - El Prces de Bernulli. - Distribucines de Bernulli y binmial. - Reprductividad de la distribución binmial. Aprximación binmial-nrmal. - La distribución gemétrica. Falta de memria de la ley gemétrica. - La distribución de Pascal. Relación de las prbabilidades de Pascal cn las prbabilidades binmiales. Reprductividad de la distribución de Pascal. Aprximación de la ley de Pascal pr la nrmal. - La distribución hipergemétrica. Muestre cn y sin reemplazamient. Aprximación hipergemétrica-binmial. - La distribución multinmial. Bibligrafía: Apuntes, pág. 107-134. Ejercicis: 2 ejempls de distribucines de Bernulli y binmial, 2 de aprximación binmial-nrmal, 1 de distribución gemétrica y de Pascal, 1 de aprximación Pascalnrmal, 1 de distribución hipergemétrica, 1 de aprximación hipergemétrica-binmial, 1 de distribución multinmial. 15 prblemas prpuests. Clases en el aula (tería y prácticas): 9 h. 7.- El prces de Pissn y sus distribucines asciadas. - El prces de Pissn. - La distribución de Pissn. Aprximación binmial-pissn. Ley de ls "sucess rars". Reprductividad de la distribución de Pissn. Aprximación Pissnnrmal. - La distribución expnencial. t f n. : 9 8 3 4 2 3 1 1 1 f a x : 9 8 3 4 2 3 0 1 3 h t t p : / / w w w. e i. u v a. e s / 5

- La distribución gamma. Relación de las prbabilidades gamma cn las prbabilidades de Pissn. Reprductividad de la distribución gamma. Aprximación de la ley gamma pr la nrmal. Bibligrafía: Apuntes, pág. 135-158. Ejercicis: 1 ejempl de distribución de Pissn, 1 de aprximación binmial-pissn, 1 de aprximación Pissn-nrmal, 1 de distribución expnencial, 1 de distribución gamma y aprximación gamma-nrmal. 15 prblemas prpuests. Clases en el aula (tería y prácticas): 9 h. METODOLOGÍA La guía dcente cnstituye un generadr de expectativas en ls alumns ptenciales, así cm una herramienta útil de cntrl persnal de la actividad que se desarrlla en la asignatura a l larg del curs. Pr ell puede ser de interés cncer que la asignatura se desarrllará mediante la realización de diversas actividades, clases en el aula tant teóricas cm prácticas, tutrías individualizadas, seminaris, realización de trabajs, un cntrl y un examen final. Tdas las actividades tienen cm bjetiv principal el de ptenciar el aprendizaje de ls alumns, facilitand la adquisición de cuants cncimients y cmpetencias precise. Las diferentes actividades estarán sujetas a un prces de evaluación cntinua, y algunas permitirán dar la certificación necesaria del aprendizaje. Véase el apartad dedicad a la evaluación del aprendizaje. A cntinuación se detallan las diferentes actividades que se realizarán a l larg del curs en el ámbit de la asignatura. Clases: - Se expndrán ls primers cncepts del cálcul de prbabilidades, diverss mdels prbabilístics y su aplicación a prblemas reales de distints ámbits (Ingeniería, Medicina,...). - La tería básica necesaria será expuesta en clase pr el prfesr de la asignatura y se ilustrará cntinuamente su aplicación mediante ejempls, l cual llevará a que n pdams diferenciar claramente entre clases de tería y clases prácticas. N bstante, pdems estimar que la tería cupará un 60% del tiemp dedicad a las clases. - Las clases prácticas serán clases de prblemas, dnde el prfesr junt cn ls estudiantes crregirán ls prblemas prpuests. Estas clases supndrán el 40% del tiemp dedicad a las clases. - La participación activa de ls alumns será necesaria en tds ls cass, ya se trate de clases de tería de prácticas. Trabajs: - Ls trabajs prpuests pr el prfesr serán prblemas que el alumn estudiará su slución y presentará de manera pública al rest de sus cmpañers (un cada tema). Se dará un plaz aprximad máxim de 1 semana para cada trabaj. Entendems que ests trabajs serán individuales, y la tarea será distinta para tds. Se pdrán requerir a ls alumns cuantas explicacines se cnsideren prtunas. Psterirmente ls t f n. : 9 8 3 4 2 3 1 1 1 f a x : 9 8 3 4 2 3 0 1 3 h t t p : / / w w w. e i. u v a. e s / 6

alumns tendrán a su dispsición las slucines de ls prblemas prpuests, así cm su trabaj, debidamente calificad. Seminaris: - Cada alumn asistirá a tds ls seminaris, según aparece indicad en el crngrama de actividades. El bjetiv final de ls misms es repasar alguns aspects del cntenid de la asignatura. Tendrán lugar al finalizar el tercer, quint y el últim capítul de la asignatura. El prfesr pdrá prpner a cada grup de trabaj, previamente directamente durante la realización del seminari, la reslución de varias cuestines prblemas que deberán ser entregadas en el mism y sbre ls que ls alumns tendrán que debatir. Dependiend del númer de alumns ls ejercicis prpuests se harían en varis subgrups. La participación de ls alumns en ls seminaris será tenida en cuenta en la calificación final. Cntrles: - A l larg del cuatrimestre, se realizará un cntrl cnsistente en la reslución de uns prblemas práctics acerca de la materia vista hasta el mment en cada un de ls temas. Tendrá una duración de 2 hras, y se realizará en hrari lectiv Examen Final: - El examen cnsistirá en varis prblemas práctics sbre el manej de mdels prbabilístics. - Tendrá lugar el día 12 de Juni de 2012. - Cnvcatria de Juli: 10 de Juli de 2012. Seminaris Cmplementaris: - Se realizarán ds seminaris cmplementaris dentr de las hras de tutrías, específics para ls alumns de la asignatura, cn el bjet de afianzar y cmpletar alguns aspects muy relacinads cn la misma y para facilitar el desarrll de algunas cmpetencias genéricas. Ests seminaris tendrán un carácter teóric y práctic, y aunque la participación es vluntaria, la asistencia a ls misms es muy acnsejable. - SC_1: Repas de cncimients previs de cmbinatria y prbabilidad básics. Se hará un breve repas de alguns cncepts de cmbinatria (cuya cmprensión tant cuesta a ls estudiantes) y su us psterir en el cálcul de prbabilidades mediante la Regla de Laplace. - SC_2: Terema Central del Límite. Repas del us de este resultad para calcular de frma aprximada prbabilidades de distribucines a partir de la distribución nrmal. Tutrías: - Las tutrías individualizadas pdrán ser atendidas ls lunes, martes y miércles de 10:00 a 12:00 hras, a cualquier tra hra, previa cita cn el prfesr. - Algunas hras de tutrías se dedicarán, cm se ha indicad, a la entrega y explicación de ls trabajs realizads pr ls alumns. Asimism será en hras de tutrías cuand ls alumns reciban ls trabajs, tras su revisión y evaluación pr el prfesr. Se indicará el hrari de cada actividad prtunamente. t f n. : 9 8 3 4 2 3 1 1 1 f a x : 9 8 3 4 2 3 0 1 3 h t t p : / / w w w. e i. u v a. e s / 7

En tdas las actividades realizadas se llevará un cntrl de asistencia. El prfesr slicitará de ls alumns al finalizar el curs la realización de una encuesta específica de la asignatura, cn bjet de cncer su pinión sbre distints aspects de la misma. CALENDARIO DE ACTIVIDADES Hrari: Lunes Martes Miércles Jueves 9-10h 9-10h 9-10h 9-10h Febrer 2012 Lunes Martes Miércles Jueves Viernes 13 14 15 16 17 20 21 22 23 24 27 28 Cntrl MP 29 1-marz 2-marz Marz 2012 Lunes Martes Miércles Jueves Viernes 5 6 7 Seminari MP 8 9 12 13 Cntrl MP 14 15 16 19 20 21 22 23 26 27 Cntrl MP 28 29 30 Abril 2012 Lunes Martes Miércles Jueves Viernes 2 Seminari MP 3 4 5 6 9 10 11 12 13 16 17 18 19 20 Cntrl MP t f n. : 9 8 3 4 2 3 1 1 1 f a x : 9 8 3 4 2 3 0 1 3 h t t p : / / w w w. e i. u v a. e s / 8

23 24 25 26 27 May 2012 Lunes Martes Miércles Jueves Viernes 30-abril 1 2 Cntrl MP 3 3 7 Seminari MP 8 9 10 11 14 15 Cntrl MP 16 17 18 21 22 23 24 25 28 29 Cntrl MP 30 31 1-juni EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE La evaluación dentr de esta asignatura tendrá ds facetas. Pr un lad la de certificación del aprendizaje del alumn, que estará basada en la valración de la actividad en ls seminaris y de ls trabajs que el alumn presentará a l larg del curs, así cm en el cntrl y en el examen final. Pr tr lad la evaluación servirá para valrar, a través de las diversas actividades, pr el prfesr y pr el alumn, el aprendizaje de este últim de una frma cntinuada, l cual psibilitará la adpción de medidas crrectras a l larg del curs. Se detalla a cntinuación el prcedimient para asignar la calificación final. - Ls trabajs presentads y ls seminaris serán valrads, en una escala de 0 a 10, mediante una puntuación media A. - La nta media de ls Cntrles recibirá una puntuación B - El examen final de Juni (12 de Juni de 2012) recibirá una puntuación C. - La calificación final de la asignatura será: 0.20*A + 0.20B + 0.60*C. (para aplicar este barem hay que btener una puntuación mínima de 4 sbre 10 en el examen final de Juni) - Examen de Juli: 10 de Juli de 2012. En esta cnvcatria la calificación será la del examen final crrespndiente. t f n. : 9 8 3 4 2 3 1 1 1 f a x : 9 8 3 4 2 3 0 1 3 h t t p : / / w w w. e i. u v a. e s / 9