Una familia de elipses *

Miscelánea Maemáica 38 (003) 33 4 SMM Una familia de elipses * Fernando Garibay B. Faculad de Ingeniería Química Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Edificio M, Cd. Universiaria 5800 Morelia, Mich. México fgaribay@zeus.umich.mx y Rigobero Vera Mendoza Escuela de Ciencias Físico-Maemáicas Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Edificio B, Cd. Universiaria 5800 Morelia, Mich. México rvera@zeus.umich.mx. Inroducción. Suponga que se iene una familia C de elipses confocales (con los mismos dos focos odas) en el plano, se desea mosrar lo siguiene: Si una curva cerrada γ en el plano iene la propiedad de que en cada uno de sus punos es angene a una elipse de la familia C, enonces esa curva es necesariamene una elipse de la familia C (vea la figura ()). Ese resulado se sigue del eorema fundamenal de las ecuaciones diferenciales ordinarias, cuya prueba echa mano de conocimienos especializados ales como el análisis. En el presene arículo damos una * Trabajo apoyado por la Coordinación de la Invesigación Cienífica de la Universidad Michoacana. 33

34 Fernando Garibay B. y Rigobero Vera Mendoza solución que usa solamene herramiena maemáica accesible, incluso, a alumnos de preparaoria. Figura : Elipses confocales y una curva angene a ellas. La ecuación diferencial de una familia de elipses confocales Consideremos la ecuación de la familia de elipses en el plano cuyos focos son los punos fijos F = ( c, 0) y F = (c, 0) (por ende cenro en (0, 0) ): x + y =. () b Con eje mayor de longiud a y eje menor de longiud b ; pero sujeos a la igualdad b = c. La familia se obiene haciendo variar el valor de a, ya que enonces b queda obligado a saisfacer b = c. Veamos qué ecuación diferencial saisface esa familia de elipses: Derivando con respeco a x en ambos lados de la ecuación (), obene-

Una familia de elipses 35 mos x + yy b = 0. Quiando denominadores obenemos despejando a y b x + yy = 0, y = b x y = (a c )x y Esa es la ecuación diferencial que saisfacen odas las elipses en el plano caresiano con focos fijos F y F. Sin pérdida de generalidad supondremos que c =. Reescribiendo a la ecuación () con c = se obiene () y = ( a )x. (3) y De aquí yy = x x, despejando a : = ambos lados de esa igualdad: = x x + yy = yy x + yy. x, resando a x+yy Por lo ano, regresando a la ecuación () para susiuir a y a en ella, enemos = x + y b = x + Con un poco más de álgebra llegamos a: o, equivalenemene, y = x x = x(x + yy ) y(x + yy ) y + y. yy x+yy x+yy (x y )y yx + xy(y ) = 0, (4) que es una ecuación diferencial (equivalene a la ()) que saisface la familia C de elipses.

36 Fernando Garibay B. y Rigobero Vera Mendoza 3. Soluciones a nuesra ecuación diferencial. Probaremos ahora que cualquier curva cerrada del plano que saisfaga a la ecuación diferencial (4) es una elipse. Para resolver la ecuación (4) hagamos el siguiene cambio de variable y = z, y = z, y = z z. Observemos que con el cambio de variable anerior, la ecuación (3) se conviere en ( )x = yy = z. (5) La ecuación (4) con el cambio de variable queda como de donde, (x z ) z z x z + x z(z ) 4z = 0 (x z )z xz + x (z ) = 0. (6) Para coninuar la resolución de la ecuación diferencial hagamos un nuevo cambio de variable: x = o x = en la ecuación (6). Derivemos con respeco a x usando la regla de la cadena y de aquí z = dx = d d dx = d ( ) z d z + x = d, (7) derivando ahora con respeco a nos queda ( ) ( ) d d d + z z d d + d ( ) 4 = 0. d resolviendo parénesis y cancelando érminos llegamos a: d z d d z ( ) d + = 0 d ( z + d ) = 0 (8) Solución proporcionada por el maemáico mexicano Per Zhevandrov de la Universidad Michoacana

Una familia de elipses 37 Esa úlima igualdad da lugar, de manera naural, a dos ecuaciones diferenciales en la variable, a saber: d z d = 0 y z + d = 0 (9) Es imporane señalar que las soluciones de las ecuaciones diferenciales (9) no se corresponden uno a uno con las soluciones de la ecuación (4), ya que los cambios de variable uilizados (y = z y y = ) no son uno a uno. Eso ocasiona que aparezcan soluciones exrañas como se verá a coninuación. Procedamos a resolver la primera de las ecuaciones aneriores d z d = 0, es decir, d = k De donde, usando la ecuación (7), k = d = x dx k, consane Susiuyendo eso úlimo en (6) nos queda o dx = xk (0) dividiendo enre x (x z )xk xz + x(xk) = 0 (x z )k z + x k = 0 regresando a y = z reagrupando érminos (x y )k y + x k = 0 x +k + y k k =. () Para que la ecuación anerior sea la de una elipse con focos en los punos de coordenadas (, 0) y (, 0) es necesario que se cumpla que < k < 0. Si k > 0 podemos escribir a la ecuación () así x +k y k +k = ()

38 Fernando Garibay B. y Rigobero Vera Mendoza que es la ecuación de una hipérbola con focos en los punos (, 0) y (, 0). Esa solución, dicho sea de paso, no es la de una curva cerrada; pero como veremos en el puno 4, hay razones para descararla. Si k < < 0 podemos escribir a la ecuación () así: x k y k +k = (3) que no es la ecuación de curva alguna en el plano porque el lado izquierdo es, en ese caso, siempre negaivo y por lo ano, esos valores de k no dan una solución a la ecuación diferencial. Resolvamos ahora la segunda ecuación diferencial que aparece en (9) z + d = 0 o d z =. Muliplicamos en ambos lados de la ecuación anerior por para obener ( d z) = ( ). Observemos que el lado izquierdo de la úlima igualdad es la derivada (con respeco a ) de z y por lo ano, la igualdad anerior queda inegrando obenemos D ( z) = ( ) z = + k, de donde, z() = + k Recordemos que x = y por lo ano z(x) = x + k x de donde z = x + k Como z = y, de la primera de las igualdades aneriores se iene que y + x k x =

Una familia de elipses 39 compleando el rinomio en el lado izquierdo (x k ) + y = + ( k ) (4) que es la ecuación de una circunferencia, con cenro en el puno ( k, 0) y radio + ( k ). Si, por oro lado, en la ecuación (6) susiuímos a z por z = x + k, obenemos x ( k + k )x + y = (5) comparando las ecuaciones (4) y (5) vemos que k + k = k, de aquí, k + 4 = k, de donde, k = 4 y ya de aquí k = ±, es decir, para k = se raa de una circunferencia con cenro en el puno (, 0) y radio y para k = se raa de una circunferencia con cenro en (, 0) y radio. Ese caso presena circunsancias mas bien raras o un ano paológicas; aclararemos esa siuación en el puno 4. Por lo prono diremos que buena pare de los desarrollos efecuados en la presene sección se podrían haber omiido si nuesro único ineres hubiera sido probar lo enunciado en la inroducción; sin embargo preferimos hacerlo sin suprimir ese análisis (inegablemene ilusraivo) ya que él nos muesra algunos aspecos geoméricos ineresanes por sí mismos, que de ora forma no quedarían resalados. 4. Sólo elipses Recordemos que hasa el momeno se han enconrado las soluciones de las ecuaciones diferenciales en (9), pero como veremos a coninuación no odas esas soluciones son soluciones de la ecuación diferencial (4), eso se debe a los dos cambios de variables realizados. Descaremos soluciones exrañas en la primera ecuación diferencial: Según la ecuación (0) z = xk, si susiuímos a z por su equivalene en la ecuación (5) para obener ( )x = xk

40 Fernando Garibay B. y Rigobero Vera Mendoza enendida esa igualdad como una idenidad, es decir, válida para oda x en el inervalo [ a,a]. Por lo ano, el valor de k queda obligado: k = a (es decir, k depende del parámero a. Observemos primero que ese valor de k es siempre mayor que : Supongamos que no fuera así, es decir, supongamos que para algunos valores de a, a, de aquí,, de donde, llegaríamos al absurdo de que 0. Lo anerior nos muesra que no eníamos que considerar la ecuación (3). Es decir, k iene que ser mayor que. Por oro lado, veamos qué necesiamos para que k < 0 : ya que a > 0. < 0 < 0 < < a Lo anerior no es de exrañar ya que al inicio de esa sección supusimos que la longiud del semi-eje focal (c) era igual a uno y por lo ano, la longiud del semi-eje mayor (a) debe ser mayor que uno. Eso nos dice que ampoco eníamos que considerar el caso k > 0, es decir, la ecuación () ampoco iene cabida. Finalmene, aclaremos el miserio de las dos circunferencias obenidas al resolver la segunda de las ecuaciones en (9). Las soluciones de la segunda ecuación diferencial en (9) esán dadas por las circunferencias cuyas ecuaciones esan en (4 ) y (5 ) De la ecuación (3) enemos que z = x+, si susiuímos eso en la ecuación (5) obenemos la siguiene idenidad ( )x = x + k de aquí, k = 0 y a = lo cual implica que = 0. Eso nos dice que, las circunferencias dadas por (4) son solución de la segunda ecuación diferencial en (9), pero no de la ecuación diferencial (4). En resumen: Sólo las elipses x +k + y k k = ( < k < 0) dadas en la ecuación () son soluciones de nuesra ecuación diferencial (4).

Una familia de elipses 4 5. Conclusiones. Lo que aparenemene nos esaba llevando a conradecir al Teorema Fundamenal de Exisencia y Unicidad de las ecuaciones diferenciales ([vea Harman]), el puno (4) nos hace ver que sólo era eso, una apariencia, por lo que dicho eorema queda, por lo que a ese rabajo respeca, sano y salvo, es decir, las únicas curvas cerradas en el plano que saisfacen a la ecuación diferencial (4) de una familia de elipses, son ellas mismas. Lo desarrollado en ese arículo muesra que hay concepos que, por una pare, pueden ser resuelos fácilmene con herramiena maemáica avanzada; mas sin embargo, es posible reescribir casos pariculares de esos concepos con herramienas elemenales para hacerlos accesibles a esudianes de preparaoria. Referencias [] Philip Harman, Ordinary Differenial Equaions. Second Ediion. Birkhauser, 98.