TEMA 3. Raó i proporció 1. Raó i proporció 1.1 Raó Comparació entre dues variables que s expressa en forma de quocient. Exemple: Comprem 3 kilograms de kiwis a 5. és la raó i aquest nombre ens indica quin preu té cada kilogram de kiwis. Tingues en compte que tot i ser molt semblant no és el mateix una fracció i una raó ja que la fracció és un nombre en si mateixa i la raó és una relació entre dues magnituds. Una raó per tant, pot tenir nombres decimals tant al numerador com al denominador mentre que una fracció no pot tenir nombres decimals, sols enters. Exemple: Aquest nombre pot ser una raó mentre que mai podria ser una fracció. Exercici 1. En una canera, els 120 gossos que hi ha consumeixen 75 kg de pinso diàriament, quina és la raó que mesura el pinso que menja cada gos al dia? Exercici 2. Mig quilo de bacallà costa 4.35. Quina és la raó entre el preu i el pes d aquest peix? 1.2 Proporció Una proporció és una igualtat entre dues raons. Qualsevol proporció té la propietat que el producte dels extrems és igual al producte dels mitjans. Exemple: Aquestes dues raons i són proporcionals perquè S anomena raó de proporcionalitat al quocient entre les dues variables. Dues raons proporcionals tenen la mateixa raó de proporcionalitat. Exemple: Aquestes dues raons i tenen la mateixa raó de proporcionalitat: 1.3 Mètodes per calcular el quart membre d una proporció 1.3.1 Càlcul de la raó de proporcionalitat Si volem calcular un valor per a que dues raons siguin proporcionals calculem la raó de proporcionalitat en un costat i cerquem el valor que ens dóna aquesta raó de proporcionalitat a l altre costat.
Exemple: Per a que aquesta expressió amb dues raons sigui certa calculem la raó de proporcionalitat a l esquerra i cerquem el nombre que dividit a 5 dóna 2.5, que és 2. 1.3.2 Multiplicant o dividint pel mateix nombre També podem fer-ho veient per quin nombre s han multiplicat o dividit els numeradors o denominadors i fer el mateix en l altre. Exemple: Per a que aquesta expressió amb dues raons sigui certa veiem que de 25 hem passat a 5 en els numeradors (hem dividit per 5), i per tant de 10 haurem de passar a 2, (també dividint per 5). 1.3.3 Reducció a la unitat Fem el numerador o el denominador 1 i així simplifiquem els càlculs. Exemple: Per a que aquesta expressió amb dues raons sigui certa fem el següent canvi: i així ja veiem fàcilment que el que hem de col locar és un 2. 1.3.4 Regla de tres També podem fer servir la regla de tres per fer aquestos problemes tot i que no es recomana fer-ho així. Exercici 3. Completa per a formar dues raons proporcionals. a) b) c) d) Exercici 4: Ordena aquestes dades per obtenir una proporció. a) 2,3,6,9 b)1,5,36,180 c) 56,60,70,75 d) -48,-36,9,12 e) -20,-10,5,10 Les raons proporcionals no és necessari que siguin 2. Poden ser les que vulguem. Per a ordenar la informació quan tenim més de 2 racons i totes són proporcionals emprem un quadre de proporcionalitat.
Exemple: El quadre següent té raons proporcionals que representen la fusta que donen uns arbres tallats per fer fusta. Nombre d arbres m³ de fusta 6 8 12 2 28 18 0.15 0.2 0.3 0.05 0.7 0.45 Totes tenen la mateixa raó de proporcionalitat: 40 arbres per m³ Per a calcular un quadre quan en manqui informació farem el mateix que en el cas anterior quan sols hi havia dues raons. Exercici 4. Completa el quadre següent i indica la raó de proporcionalitat. Nombre d espectadors Guanys del teatre 250 500 60 210 300 360 240 Pots fer els càlculs aquí: 2. Magnituds directament proporcionals Hem acabat l apartat anterior generant quadres on distintes raons eren sempre proporcionals entre sí. Quan dues magnituds tenen aquesta propietat diem que són magnituds directament proporcionals. Per saber a priori si dues magnituds són directament proporcionals hem de veure si multiplicant una d elles per un nombre l altra també queda multiplicada pel mateix nombre. Exemple: Si compro fideus per fer una sopa per a 4 i després resulta que som el doble, hauré de comprar el doble de fideus. Si fóssim el triple de persones n hauria de comprar el triple etc. Les magnituds nombre de persones que venen a menjar sopa i quantitat de fideus que he de comprar són directament proporcionals. No obstant hi ha moltes parelles de magnituds que poden semblar proporcionals i no ho són.
Exemple: L edat de la Saïda i la del seu pare no són proporcionals perquè si ella en té 13 i el seu pare en té 39 quan ella en tingui el doble (26) ell no en tindrà el doble de la seva edat (78) sinó que en tindrà 52. Exercici 5. Indica si aquestes parelles de magnituds són proporcionals o no. a) El nombre de persones en una classe i la temperatura a la classe. b) El nombre de peres que comprem al mercat i el preu que paguem per elles. c) El pes d una persona i la seva talla de camisa. d) El nombre de cabells que té una persona i la despesa que fa en xampú. e) El nombre de persones que van a un festival i els diners recaptats en entrades. f) La durada d una cançó i les vegades que l escoltem. g) Les hores que tenim l estufa engegada i la despesa energètica. h) La quantitat d aigua en un dipòsit cilíndric i l altura on arriba aquesta. i) El nombre de nadons en una guarderia i el nombre de bolquers emprats. j) La quantitat de fusta que tirem al foc i la calor que genera. Exercici 6. Un cotxe consumeix 4.7 litres de gasolina cada 100km quanta gasolina és necessària per fer un trajecte de 498 km? Exercici 7. Una colònia de 19 cucs de seda han menjat 7 fulles de morera en una setmana. Si jo tinc 25 cucs, quantes fulles menjaran? 3. Magnituds inversament proporcionals Dues magnituds són inversament proporcionals quan es compleix que si multipliquem a una per un nombre l altra queda dividida pel mateix nombre o a l inrevés quan dividim a una per un nombre l altra queda multiplicada pel mateix nombre. Exemple: Si duem 120 caramels per a tota la classe i hi ha 20 alumnes, cada alumne tindrà 6 caramels. Si doblem la quantitat d alumnes a 40, cada alumne tindrà la meitat de caramels, 3. I a l inrevés, si el nombre d alumnes en compte de ser 20 es divideix per 2, a 10 alumnes, el nombre de caramels es multiplicarà per dos, passant de 6 a 12 caramels per a cada estudiant. Llavors el nombre d alumnes i la quantitat de caramels que rep cadascú són magnituds inversament proporcionals.
Exercici 8. Sis paletes construeixen una paret en 8 hores. Quant trigaran quatre paletes en fer la mateixa feina? I si tota la paret la fa un sol paleta? Exercici 9.Al laboratori de física Lluïsa ha estudiat quant de temps triga en omplir-se un matràs segons el cabdal d'aigua de l'aixeta. Malauradament s'han esborrat alguns nombres de la taula que ha fet. Pots ajudar-la a posar els nombres que falten? Cabdal d'aigua (litres/s) Temps en omplir-se el matràs (s) 0,01 0,03 0,08 0,2 75 37,5 15 3,75