Fundamenos Básicos Sisemas y Señales Preparado por : jhuircan Depo. Ingeniería Elécrica Universidad de La Fronera
Objeivos q Revisar los concepos básicos de la Teoría de Sisemas q Revisar los concepos básicos de señales
Sisema q Un sisema es un conjuno de elemenos que unidos enre sí permien cumplir un objeivo q La unión de esos elemenos se realiza en base a las leyes físicas inherenes a éllos q Esos sisemas son descrios mediane un conjuno de ecuaciones maemáicas que relacionan las disinas variables, lo que se conoce como Modelo Maemáico. q Las pares disinguibles de un sisema se llaman componene del sisema
q Las variables del sisema se eligen de al forma que q Exisa la facilidad para medirlas q Enreguen una descripción del sisema q Eso se logra a ravés de las leyes físicas inherenes al sisema, represenadas por un conjuno de ecuaciones del sisema q Como exise inerés del momeno en el cual ocurren las cosas, las variables dependerán del iempo
Represenación de Un sisema q Por simplicidad de la represenación se usa una caja negra la cual iene pueras de enrada y salida, llamada diagrama de bloques. Exciación Respuesa Sisema
q Exciación del sisema Es un conjuno de señales independienes aplicadas simuláneamene al sisema. q Respuesa del sisema Es el conjuno de canidades físicas medidas en la puera de observación del sisema.
Más sobre Diagramas de Bloques q Es llamada ambién Caja Negra, permie describir un sisema en base a sus variables de enrada y salida. q Los diagramas de bloque son usados para describir múliples sisemas, ya sean elécricos, mecánicos, érmicos, comunicaciones, ec. q Desde el puno de visa cualiaivo son muy versáiles
Variables que inervienen en los sisemas v 1 v 2 v n u 1 u 2 u n Sisema x (0),..., x (0) 1 n y 1 y 2 y n
Análisis y Sínesis q Se dice que se conoce un sisema si se conesan las siguienes pregunas: q Qué componenes forman el sisema? q Cómo se inerconecan? q cuál es el esado del sisema?
q Análisis de sisema q Es el esudio que permie deerminar como responde un sisema a una exciación dada. q Sínesis de sisema q Es el esudio de la consrucción de un sisema a parir de una relación dada enre la exciación y la respuesa
Ejemplos q Lavadora q Proyecor q Teléfono Celular
Señales q Son funciones o formas de onda que describen el comporamieno de alguna magniud física u/o fenómeno naural. q Dada la imporancia de la ocurrencia de la evolución de los fenómenos, es que su argumeno es el iempo. q Para nuesro inerés, la función ipo Se ransforma en y = y = f f (x) ()
Ej. f()
Ej. f() y = f ()
Araso y adelano de señales q Sumando o resando una consane real al argumeno de las señal, es posible adelanar o rerasar la función La señal f 1 () corresponde al señal f() arasada f ( ) = f ( - a) 1 La señal f 2 () corresponde a la señal f() adelanada f ( ) = f ( + a) 2
Ej. f()
Ej. Señal Arasada f 1 () a
Ej. f()
Ej. Señal Adelanada f 2 () -a
Clasificación de las señales q De acuerdo a su comporamieno en el iempo q Aperiódicas q Semi-periódicas q Periódicas q De acuerdo a su comporamieno sisémico q Exciaciones q Respuesas
De acuerdo a su comporamieno en el iempo q Señales periódicas f() = f(+n T) Donde T es el periodo de la señal q Semi-periódicas Son señales periódicas a parir de =0 en adelane q Aperiódicas No son señales repeiivas
Señal Periódica f() T T T
Función exponencial compleja q Es una función que permie generar oras funciones, dependiendo de los valores de las consanes s ( ) Ke y = Donde K es una consane real s es una consane compleja
q Si s=0 s ( ) Ke y =
q Si s=0 s ( ) Ke y = y 0 ( ) = Ke
q Si s=0 s ( ) Ke y = y 0 ( ) = Ke y( ) = K 1
q Si s=0 s ( ) Ke y = y 0 ( ) = Ke y( ) = K 1 y ( ) = K
f() K
q Si s=±s s ( ) Ke y =
q Si s=±s s ( ) Ke y = y ±s ( ) = Ke
q Si s=±s s ( ) Ke y = y ±s ( ) = Ke Eso signfica que es una exponencial Creciene o decreciene
Exponencial creciene y s ( ) = Ke y() K 0
y s ( ) = Ke y() K 1 - s 0
Exponencial Decreciene y -s ( ) = Ke y() K 0 1 s
Consane de iempo Sea s=1/ se conoce como consane de iempo f()=k e -/ Esa consane indica que an rápido evoluciona la función
q Un pequeño implica una variación más rápida. q Un grande implica una variación más lena. Si se evalua la exponencial en =, se obiene que f() = Ke - / = Ke -1 f() = 0.36K
Cuando el iempo a recorrido el equivalene a una consane de iempo, la señal varía desde un valor K a 0.36K K f() Se dice que la señal a evolucionado en un 63% aprox. 0.36K
q Si s=±s±jw s ( ) Ke y = y y ( ± s ± jw ) ( ) = Ke ( ± s ) ( j ) ( ) Ke ± w = e
q Si s=±jw s ( ) Ke y = y ( ± jw ) ( ) = Ke
q Si s=±jw y s ( ) Ke y = y ( ± jw ) ( ) = Ke [ ] ( ± jw ) ( ) = Ke = K cos ( w) ± j sin( w)
q Si s=±jw y [ ] ( ± jw ) ( ) = Ke = K cos ( w) ± j sin( w) { [ ]} ( ) Re { y( ) } = Re ± { ( ± jww ) Ke } = Re K cos( w ) j sin( w ) { y( ) } K cosw Re =
f() K f() = K cos ( w ) T w -K w = 2p T
f() K f() = K cos ( w + f ) T -f w -K w = 2p T
Consrucción de señales
Clasificación de los Sisemas q Lineales y no lineales q Análogos y Digiales q Varianes e invarianes en el iempo q Deerminísicos y probabilísicos
Sisema Lineal q Ese cumple con la propiedad de superposición y homogeneidad q Para analizar eso, supongamos que disponemos del siguiene bloque o caja negra u() y() sisema
Sisema Lineal q Propiedad de Superposición Sea el sisema S
Sisema Lineal q Propiedad de Superposición Sea el sisema S u 1 ( )
Sisema Lineal q Propiedad de Superposición Sea el sisema S u 1 ( ) ( ) y 1
Sisema Lineal q Propiedad de Superposición Sea el sisema S u 1 ( ) ( ) y 1
Sisema Lineal q Propiedad de Superposición Sea el sisema S u 1 ( ) ( ) y 1 ( ) u 2
Sisema Lineal q Propiedad de Superposición Sea el sisema S u 1 ( ) ( ) y 1 u 2 ( ) ( ) y 2
Sisema Lineal q Propiedad de Superposición Enonces para una enrada ( ) u ( ) u1 + 2
Sisema Lineal q Propiedad de Superposición Enonces para una enrada ( ) u ( ) 1 + y1 ( ) + y2( ) u 2
Sisema Lineal q Propiedad de Homogeneidad Sea la exciación u 1 ( )
Sisema Lineal q Propiedad de Homogeneidad Sea la exciación u 1 ( ) ( ) y 1
Sisema Lineal q Propiedad de Homogeneidad Sea la exciación u 1 ( ) ( ) y 1 u2 ( ) = K u1 ( )
Sisema Lineal q Propiedad de Homogeneidad Sea la exciación u 1 ( ) ( ) y 1 ( ) = K u ( ) ( ) u2 1 y 2
Sisema Lineal q Propiedad de Homogeneidad ( ) = K u ( ) ( ) u2 1 y 2 Pero ( ) = K y ( ) y2 1
Sisema Lineal q Propiedad de Homogeneidad ( ) = K u ( ) ( ) u2 1 y 2 Pero ( ) = K y ( ) y2 1 Exise una proporcionalidad
Ej. Sisema lineal q Un ejemplo clásico es un sisema cuya función de Enrada- Salida es una reca que cruza el origen y y()=2. u() u
Ej. Sisema lineal q Sea el bloque ( ) u y ( ) = 2 u ( )
q Sean las exciaciones u 1 () 2 u 2 () 1-2 w -1 w
q Sean las exciaciones 4 y 1 () 2 y 2 () w w -4-2
q Sean las exciaciones 3 u 1 ()+u 2 () 6 y() w w -3-6
Sisemas Varianes e Invarianes en el iempo u 1 ( ) ( ) y 1 1 ( a) y1( - a) u -
Sisemas Varianes e Invarianes en el iempo u 1 ( ) ( ) y 1 1 ( a) y1( - a) u - Una enrada u 1 (-a) significa una enrada arasada
Sisemas Varianes e Invarianes en el iempo q En la prácica ningún sisema es invariane en el iempo, ya que sus parámeros son afecados por diversos facores, sobre odo ambienales. q La emperaura por ejemplo es un facor imporane en los sisemas elecrónicos, ya que varía sus parámeros y hace que la operación sea inapropiada.
q Si se logran conrolar los facores exernos, se podría considerar que un sisema maniene sus parámeros consanes, pero sólo por un período de iempo pequeño. q En un sisema Mecánico resula naural el hecho de que sus pares o componenes sufran deerioros, así se puede considerar como Un sisema variane en el iempo.
Sisemas analógicos y Digiales q Analógico: Son aquellos cuyos valores de exciaciones y respuesas pueden omar valores coninuos. q Digial: En un sisema digial las exciaciones y las respuesas oman valores discreos
Señal Analógica f()
Pulso Digial f() Periodo
Funciones singulares q Son señales que por sus simplicidad se represenan maemáicamene en forma más sencilla. Sólo pueden ser concebidas en sisemas ideales El escalón uniario u() La rampa uniaria r() El impulso o dela de Dirac d()
Escalón u() 1
u( ) = ì 1, para > 0 + ï - í 0, para < 0 ï î Indeerminado para = 0
Propiedades del escalón Muliplicación por un escalar f() K f() 0 0 K Sea f 1 ()=K Luego f()=f 1 ()u().
Muliplicación de una función por u() Sea f()= función arbiraria f()
Muliplicación de una función por u() Al muliplicar f() x u() f() u() 1
Muliplicación de una función por u() Al muliplicar f() x u() f()xu()
Araso de un escalón f() 1 a f ( ) = u ( - a) = ì 1 ï í 0 ï îindeerminando para para para > a < a + - = a
Adelano de un escalón f() 1 -a f ( ) = u ( + a) = ì 0 ï í 1 ï îindeerminando para para para < -a > -a - + = -a
Escalón con argumeno inverido f() 1 0 f ( ) = u (-) = ì 1 ï í 0 ï îindeerminando para para para < 0 > 0 - + = 0
Rampa uniaria r() m=1
r ( ) = ì, para > 0 í î para < 0
Muliplicación de una rampa por un consane f() f() K K<0 0 1 0 1 K>0 K El valor de la consane K esablece la pendiene de la rampa.
Araso de una rampa r() 1 a a+1 f ( ) = r( -a) = ì í î0 " " ³ a a
Adelano de una rampa f() r(+a) 1 -a 0 -a+1 f ( ) = r( + a) = ì í î0 " " ³ -a -a
Suma y resa de rampas f() 1 K f() 2 f() K 2 0 1 0 1 -K 2 0 1
Dela de Dirac o Impulso uniario d() 1
d () = ì, para = 0 í î 0, para ¹ 0
La señal pulso Es la combinación de dos escalones p() 1 0 1 ( ) = u( ) -u( ) p - 1
La señal pulso u() 1 0
La señal pulso u() 1 f()=-u(- 1 ) 0 1-1
La señal pulso f()=u()-u(- 1 ) 1 0 1 Sumando ambas señales
Pulso 2 Un pulso más general sería uno que no pare en cero, es decir, arasado o adelanado ( ) = u( - )-u( ) p - 1 2 p() 1 0 1 2
Aplicación del pulso q Debido a que el pulso vale cero fuera de un inervalo y vale 1 denro del inervalo 1-2 q Al muliplicar una función arbiraria por el pulso, la nueva función sólo se manendrá denro del inervalo 1-2 q Es decir, la función será muliplicada por 1 denro del inervalo y por cero fuera del inervalo
f()
f() p() 1 0 1 2
f() p() 1 0 1 2
f() p() 1 0 1 2