Tema 8: Magnetostática

Tema 8: Magnetostática Dr. José Manuel Aller Castro Universidad Politécnica Salesiana Cuenca, Abril 2015

Introducción En este tema se trata con el problema de calcular el campo magnético conocida la densidad de corriente J independiente del tiempo. Este caso se conoce como el problema magnetoestático y se estudiará en dominios con fronteras en términos de campos escalares y vectoriales. También se estudiarán los circuitos magnéticos concentrados y distribuidos.

Ecuaciones de Maxwell para magnetoestática I Si se conoce la densidad de corriente J y esta es independiente del tiempo, el problema magnetoestático consiste en encontrar el campo H y la inducción magnética B que satisfacen las ecuaciones y la relación constitutiva H = J B = 0 B = µh

Toroide I Consideremos una bobina toroidal de n-vueltas con una sección ortogonal rellena de un material magnético de permeabilidad constante µ desde a hasta b, tal como se muestra en la figura.

Toroide II Figura: Bobina toroidal con sección rectangular Por la bobina circula una corriente directa I y se puede calcular el campo magnético dentro y fuera de toroide.

Toroide III Para cualquier punto x = ( x 1, x 2, x 3 ) dentro del toroide, consideremos la circunferencia a través de x en el plano x 3 = x 3 y centrada en el punto (0, 0, x 3 ). x 2 1 + x 2 2 Definamos ρ = como el radio de la circunferencia. Recordando que a < ρ < c. Por razones de simetría, el campo magnético H en esta circunferencia debe ser de la forma: H = H θ (ρ) e θ De la ley de Ampère se obtiene: H θ (ρ) e θ e θ dl = ni l H θ (ρ) = ni 2πρ

Toroide IV Un razonamiento similar demuestra que el campo es nulo fuera del toroide y por lo tanto la densidad de campo magnético se puede expresar como: µni 2πρ si a < ρ < b, µ B (ρ) = 0 ni 2πρ si b < ρ < c, 0 si (ρ < a) (ρ > c)

Vector potencial magnético I Como B = 0, existe un campo vectorial A tal que B = A. En efecto existen muchos de tales campos. Si A = B,entonces (A + ϕ) = B, para todo campo escalar ϕ. Para que el campo vectorial A quede determinado de forma única se necesita una condición adicional debe ser incluida. Un ejemplo es la condición de Coulomb: A = 0 Utilizando la relación constitutiva B = µh, la ley de Ampère se puede expresar como: ( ) 1 µ A = J

Vector potencial magnético II En el vacío la expresión anterior quedaría: ( A) = µ 0 J Restando el término ( A),el cual es nulo por la condición de Coulomb, al lado izquierdo de la ecuación anterior, y utilizando la igualdad vectorial: Se obtiene: 2 A = A ( A) 2 A = µ 0 J En el sistema de coordenadas cartesianas: 2 A i = µ 0 J i, i = 1, 2, 3.

Vector potencial magnético III Se puede utilizar la solución fundamental de la ecuación de Poisson para resolver la expresión anterior: A i (x) = Ω A (x) = µ 0 J i (y) dv (y), i = 1, 2, 3. 4π x y Ω µ 0 J (y) dv (y) 4π x y En estas integrales, Ω se refiere a cualquier dominio acotado en el espacio afín que contiene el soporte de J. Por supuesto que J puede ser una distribución de corriente contenida en una superficie S o en una línea l, en cuyo caso Ω debería ser reemplazada por S o l

Cálculo de la densidad de campo magnético I B (x) = x A (x) = x Ω = µ 0 x 4π Ω ( J (y) x y µ 0 J (y) dv (y) = 4π x y ) dv (y) Pero (φu) = φ u + φ u. Y en el caso que estamos analizando J (y) no depende de x: ( ) ( ) J (y) 1 x = x J (y) = x y J (y) x y x y 3 x y Y así se obtiene la ley de Biot-Savart: B (x) = Ω µ 0 J (y) (x y) 4π x y 3 dv (y)

Cálculo de la densidad de campo magnético II En el caso general, µ no es constante en Ω, en este caso se debe introducir la condición de Gauss y la solución resulta más difícil. Buscando algo de simplicidad supongamos que Ω es un dominio conectado con una frontera de Lipschitz Γ B n = g en Γ, donde g H 1/2 (Γ ) Esta última condición se requiere para cumplir la condición B = 0 B n da = 0 g da = 0 Γ Ω

Cálculo de la densidad de campo magnético III Suponiendo que µ L (Ω) y que existe una constante positiva tal que µ (x) µ: (µ ϕ) = 0 en Ω µ ϕ n = g en Γ El problema magnetostático se resume para un dominio Ω con fronteras: H = J en Ω B = 0 en Ω B = µh en Ω B n = g en Γ

Formulación débil mediante el potencial magnético vectorial I Si B L 2 (Ω) con B = 0 y B n = 0, entonces existe un único campo vectorial A H (, Ω) H (, Ω) tal que: A = B en Ω A = 0 en Ω A n = 0 en Γ Además, si Ω es suave o convexo, entonces A H 1 (Ω) Aplicando la ley de Ampère: ( ) 1 µ A = J

Formulación débil mediante el potencial magnético vectorial II Para realizar una formulación débil del problema anterior, tal como se hizo en el caso electrostático del tema anterior, se introduce el espacio funcional: V = {A H (, Ω) H (, Ω), A =0, A n = 0 en Γ } Multiplicando la ley de Ampère por la función de prueba φ V, integrando en Ω y utilizando la fórmula de Green, se obtiene esta formulación: Encontrar A V, tal que: Ω 1 µ A φ dv = Ω J φ dv φ V Para la solución numérica, la condición de divergencia nula en V es difícil de manejar

Formulación débil mediante el potencial magnético vectorial III Afortunadamente se puede probar que la siguiente identidad es equivalente: 1 1 A φ dv + A φ dv = J φ dv φ Z µ µ Ω donde: Ω Z = {A H (, Ω) H (, Ω), A n = 0 en Γ } Este problema tiene una solución única debido a que la forma bilineal de la mano izquierda es coercitiva en Z. Esta solución también tiene divergencia nula. Ω

Formulación débil utilizando campo magnético Encontrar H H (, Ω) y ψ H 1 (Ω) R tal que: H φ dv + µ ψ φdv = J φdv, φ H (, Ω) Ω Ω Ω µh ϕdv = 0, ϕ H 1 (Ω) R Ω Nuevamente haciendo φ = ψ como función de prueba en la primera de estas ecuaciones se obtiene: µ ψ 2 dv = 0 ψ 0 Ω

Formulación en términos del potencial magnético escalar reducido I Sea T un vector de campo tal que T = J. En general T puede obtenerse utilizando la ley de Biot-Savart o mediante elementos finitos y métodos de optimización del gradiente conjugado. En general H (x) T (x), debido a que (µt) no es necesariamente nula. Sin embargo, H = T y por lo tanto puede existir un campo escalar reducido ϕ R tal que H = T ϕ R El campo ϕ R se denomina potencial magnético escalar reducido.

Formulación en términos del potencial magnético escalar reducido II Entonces: ( ( µ T ϕ R)) = 0 ( µ ϕ R) = (µt) en Ω Las condiciones de contorno son: µ ϕr n = µ T n en Γ La formulación débil del problema quedaría como encontrar ϕ R H 1 (Ω) tal que µ ϕ R ϕ dv = µ T ϕdv, ϕ H 1 (Ω) Ω Ω

Circuitos magnéticos distribuidos I La reluctancia es similar para los circuitos magnéticos a la resistencia en los circuitos eléctricos. El campo eléctrico no tiene rotacional para las corrientes continuas y por eso se puede expresar como el gradiente de un potencial escalar. Sin embargo, en el caso magnético esto solo es verdad cuando J = 0, lo que ocurre principalmente en dieléctricos. Supongamos que Ω M es descompuesta como Ω M = Γ 0 Γ L Supongamos que Γ 0 es impermeable al flujo magnético pero que algún flujo magnético entra al dominio Ω M a través de las otras fronteras, Γ l, l = 1,..., L.

Circuitos magnéticos distribuidos II Figura: Ejemplo de dominio magnético correspondiente a un circuito magnético distribuido (J = 3, L = 0)

Circuitos magnéticos distribuidos III Para números reales dados Φ i, i = 1,..., L y I j, j = 1,... J encontrar H H (, Ω M ), tal que: H = 0 en Ω M (µh) = 0 en Ω M B v = 0 en Γ 0 H v = 0 en Γ 1 Γ L B vda = Φ i, i = 1,..., L Γ i H t j dl = I j, j = 1,..., J γ j

Circuitos magnéticos distribuidos IV Γ 0 es una pared magnética donde el flujo es nulo dentro de sus fronteras. En las otras fronteras Γ 1 Γ L, el flujo entra perpendicular a los puertos magnéticos Γ 1,..., Γ L. Φ i son la entradas de flujo magnético en esos puertos. La última expresión impone la intensidad de corriente I j a través de la superfice S j. Considerando que el rotor del campo es nulo en Ω M, se puede construir una solución a este problema. Para esto introducimos el espacio funcional: { } J = ψ Θ : ψ Γi = constante, i = 1,..., L

Circuitos magnéticos distribuidos V Encontrar ϕ J tal que: (µ ϕ ) = 0 en Ω M µ ϕ ν = 0 en Γ 0 ϕ Σj = I j, j = 1,..., J µ ϕ = 0, j = 1,..., J n j Σ j ϕ Γ i ν da = Φ i, i = 1,..., L ϕ Σj = ϕ t j = H t j dl = I j γ j γ j

Circuitos magnéticos distribuidos VI En particular si S j Ω j = 0, entonces ϕ Σj = 0. Las fuentes de intensidad de corriente I j son fuentes de campo magnético y se denominan usualmente fuerzas magnetomotrices. La solución del problema se obtiene como H = ϕ y esta es única. El H = 0 porque ϕ J Θ. Además, ϕ es constante en Γ j, j = 1,..., L debido a que H v = 0 en Γ 1 Γ L.

Circuitos magnéticos distribuidos VII La ecuación µ ϕ n j Σ j = 0, j = 1,..., J garantiza que B n j es continuo a través de Σ j, j = 1,...,, J, lo cual es imprescindible para que la divergencia sea nula. (µ ϕ ) = 0 en Ω M µ ϕ ν = 0 en Γ 0 ϕ Σj = I j, j = 1,..., J µ ϕ n j = 0, j = 1,..., J Σ j ϕ Γi = ϕ i, i = 1,..., L

Circuitos magnéticos distribuidos VIII Se puede definir una aplicación lineal, Q : R L+J R L J mediante: Q (ϕ 1,..., ϕ L, I 1,... I J ) = (Φ 1,..., Φ L, Φ L+1,... Φ L+J ) Φ i = µ ϕ da, i = 1,..., L Γ i ν Φ i = µ ϕ da, i = L + 1,..., L + J Σ i n Q depende solamente de la geometría y el material (µ) pero no de la excitación del sistema.

Matriz de reluctancia I Formulación aproximada o débil. Encuentre w j H 1 (Ω M ) con w j = δ ij en Γ i, i = 1,..., L tal que, Ω M µ w j ψ = 0 ψ H 1 (Ω M ) con ϕ Γi = 0, i = 1,..., L Encuentre w j Θ con w j = 0 en Γ i, i = 1,..., L y w Σj = δ ij, i = 1,..., J Ω M µ w j ψ = 0 ψ H 1 (Ω M ) con ϕ Γi = 0, i = 1,..., J

Matriz de reluctancia II El problema se puede escribir como combinación lineal Ψ = J L ϕ j w j + I j w j j=1 j=1 En efecto, { w j, j = 1,..., L } { w j, j = 1,..., J } es una base del espacio funcional J. Se puede partir la aplicación en cuatro bloques: donde: ( q LL q Q = LJ ) q JL q JJ

Matriz de reluctancia III q ij LJ = q JL ij = q ij LL = Γ i µ w j ν q JJ ij = Γ i µ w j ν da, i, j = 1,..., L da, i, = 1,..., L, j = 1,... J µ w j da, i, = 1,..., J, j = 1,... L Σ i n i µ w j da, i, j = 1,..., J Σ i ν

Caso del toroide I Si Ω M es un toroide de radio a, donde R es el radio de su sección. Supongamos µ = cte. Entonces L = 0, J = 1 y se obtiene una expresión simple para w 1 en coordenadas cilíndricas: w 1 (ρ, θ, z) = θ 2π Coloquemos la superficie del corte: Σ 1 = {(ρ, θ, z) : θ = 0} Como (µ ϕ ) = 0, y además w 1 (ρ, θ, z) = 1 2πρ e θ

Caso del toroide II Como el campo es tangente al toroide se cumple la condición µ ϕ ν = 0. Además: µ w 1 = µ 1 n 1 2πρ e θ e θ = µ 1 2πρ Finalmente (µ w 1 ) = 0. L = 0 y la matriz de permeanza es de orden uno. q 11 = µ 1 Σ 1 2πρ dρdz

Caso del toroide III Donde Σ 1 es un c rculo centrado en (a, 0, 0) y radio R ( ) q 11 = µ a a 2 R 2 f 11 = 1 q 11 = Suponiendo que R a 1 µ (a ) a 2 R 2 q 11 µ R2 2a ; f 11 1 2π µ R 2

Otro ejemplo I Consideremos un circuito magnético distribuido muy simple como se muestra en la figura, compuesto por un dominio magnético Ω M con dos puertos y una pared magnética Ω M = Γ 0 Γ 1 Γ 2 Figura: Ejemplo de un dominio Ω M con dos puertos (Γ 1 y Γ 2 ) y una pared magnética

Otro ejemplo II Suponiendo que no existe corriente en Ω M y que el campo magnético es ortogonal a Γ 1 y a Γ 2, el potencial magnético escalar es la solución del problema de valor de contorno (µ ϕ) = 0 en Ω M µ ϕ ν = 0 en Γ 0 ϕ Γi = ϕ i, i = 1, 2 Sea Φ i el flujo magnético entrando en Ω M a través de Γ i, i = 1, 2 Φ i = µ ϕ da, i = 1, 2 Γ i ν Q (ϕ 1, ϕ 2 ) = (Φ 1, Φ 2 )

Otro ejemplo III Como B = 0, Φ 1 + Φ 2 = 0 f 11 = ϕ 1 ϕ 2 Φ 1 Si Ω M es un cilindro de radio R y altura h, con bases circulares Γ i, i = 1, 2 y superficie lateral Γ 0, esta condición de contorno se puede integrar analíticamente y la fórmula que se llega es: f 11 = h µπr 2

Reluctancia aproximada I En los casos anteriores se pudo calcular la matriz de reluctancia porque la geometría del material magnético era muy simple, así como la superficie de corte Σ 1. En casos reales esto requiere soluciones numéricas. En el caso del toroide se realizó una aproximación a la reluctancia F ap, la cual corresponde con el valor de un circuito magnético delgado. Esta aproximación será generalizada para geometrías más complejas. Consideremos un núcleo magnético toroidal de n vueltas transportando la corriente I.

Reluctancia aproximada II El radio de este toroide es a y la sección circular tiene un radio R. El área de esta sección es πr 2. Aplicando la ley de Ampère para un núcleo no magnético, la intensidad de campo magnético dentro del núcleo sería: H (ρ) = H θ (ρ) e θ (ρ) = ni 2πρ e θ (ρ) La intensidad de campo sería nula fuera del núcleo. Si la sección del núcleo es pequeña comparada con su radio, R a, H ap (ρ) = ni 2πa e θ

Reluctancia aproximada III La sección Σ del núcleo es un círculo de área constante Σ = πr 2, y el flujo a través de Σ se puede aproximar como: Φ = Σ F ap = B n da Σ µni 2πa e θ e θ da = Σ µni 2πa = µπr2 2πa ni ni 2πa longitud media del núcleo ( ) = = µπr 2 ni µπr2 µ Σ 2πa Para situaciones más generales, consideremos un núcleo magnético toroidal fino, construido con un material lineal, homogéneo e isotrópico. Tiene un devanado de n vueltas por el cual circula la corriente I. El campo magnético está confinado dentro del núcleo y el flujo de dispersión es despreciable.

Reluctancia aproximada IV La línea central l tiene una sección transversal Σ (l). Figura: Ejemplo de núcleo magnético delgado

Reluctancia aproximada V El flujo magnético es constante: Φ = B n da Σ(l) ( ) 1 B ap := B n da e l (l) = Φ Σ (l) Σ(l) Σ (l) e l (l) H dl = H m da = J m da = ni l S S l B ap µ dl = l Φ Φdl µ Σ (l) ni l ni dl µ Σ(l)

Reluctancia aproximada VI Por lo tanto la reluctancia aproximada será: F ap = l dl µ Σ (l)

Circuitos magnéticos concentrados I Los circuitos magnéticos son similares a los circuitos eléctricos de corriente directa. La analogía es simple: Cuadro: Analogía entre circuitos eléctricos y magnéticos Circuito Eléctrico Potencial Eléctrico Intensidad de Corriente Resistencia Fuente de tensión Circuito Magnético Potencial Magnético Escalar Flujo Magnético Reluctancia Fuerza magnetomotriz

Circuitos magnéticos concentrados II La definición de nodos y ramas es similar también a la de un circuito eléctrico. Para una rama j con nodos m 1j y m 2j en la cual exista una fuerza magnetomotriz ni, se tiene ϕ m1j ϕ m2j = Fj int Φ j ni Se pueden resolver circuitos magnéticos con complicadas topologías utilizando la teoría de circuitos.

Ejemplo de un circuito magnético serie I En la siguiente figura se muestra un circuito magnético, compuesto por diferentes materiales dispuestos en serie Figura: Ejemplo de circuito magnético en serie con entrehierro

Ejemplo de un circuito magnético serie II En este caso: F ap = l 1 µ 1 Σ 1 + l 2 µ 2 Σ 2 + l 3 µ 3 Σ 3 + l g µ 0 Σ g F ap = F 1 + F 2 + F 3 + F g F 1 Φ + F 2 Φ + F 3 Φ + F g Φ ni = 0 Escrito en función de la ley de Ampère: H 1 apl 1 + H 2 apl 2 + H 3 apl 3 + H g apl g = ni

Ejemplo de un circuito magnético paralelo I Consideremos el caso de la figura siguiente donde el flujo magnético Φ se divide en dos flujos Φ 1 y Φ 2 Figura: Núclo magnético con elementos en paralelo Φ = Φ 1 + Φ 2 Aplicando la ley de Ampère a cada uno de los lazos cerrados del núcleo: ni = ΦF + F 2 Φ 2 0 = F 2 Φ 2 + F 1 Φ 1

Tarea 8 I 1. Considere un cable recto, infinito de radio a por el cual circula una corriente determinada I en la dirección axial. La densidad de corriente está uniformemente distribuida en toda la sección del cable y la permeabilidad magnética relativa del cable es igual a uno. Calcule la densidad de flujo magnético B dentro y fuera del cable. 2. Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule el potencial magnético vectorial dentro del cable del problema anterior. 3. Considere una hoja infinitamente delgada que ocupa el plano x 2 x 3 por el cual circula una densidad de corriente constante J s = J s e 3. Calcule la densidad de flujo a ambos lados de la hoja.

Tarea 8 II 4. Considere un solenoide infinitamente largo con radio b, donde circula una corriente I por su bobina, con n /d vueltas por unidad de longitud. Determine el potencial magnético vectorial A. 5. Un bucle circular de un hilo fino de radio a lleva una corriente I en el sentido contrario a las agujas del reloj. Considere que x 3 es el eje normal al plano del bucle circular con el origen situado en el centro. Determine la densidad de flujo a lo largo del eje x 3 6. Una espira cuadrada de alambre fino está centrada en el plano x 3 = 0 con sus lados paralelos a los ejes x 1, x 2 y tiene circulando por ella una corriente de valor I fluyendo en el sentido contrario a las agujas del reloj visto desde arriba. El lado del cuadrado es igual a 2a. Utilice la ley de Biot-Savart para obtener la densidad de flujo magnético en el centro del cuadrado.

Tarea 8 III 7. Por un conductor hueco, circular de material no magnético, cuyo radio interior es a y el exterior b circula una corriente I en la dirección axial. Este cilindro tiene una longitud infinita y está colocado en el vacío. La densidad de corriente se asume uniformemente distribuida en el conductor. Calcule la densidad de corriente en el hueco (0 < ρ < a), en el cilindro conductor (a < ρ < b), y fuera del conductor (ρ > b).