ÁLGEBRA LINEAL I Práctica 6 Aplicaciones Lineales (Curso 2012 2013) 1. De las siguientes aplicaciones definidas entre espacios vectoriales reales, determinar cuáles son homomorfismos, monomorfismos, epimorfismos o isomorfismos. Obtener también, con respecto a bases que se definirán, la expresión matricial, base y ecuaciones del núcleo y la imagen de todos los homomorfismos. (a) f : IR IR, f(x) = 3x + 2 (b) g : IR 2 IR 3, g(x, y) = (x, y, x + y) (c) h : IR 2 IR 2, h(x, y) = (xy, x 2y) (d) u : P 3 (IR) P 2 (IR), (e) v : M 2 3 S 3, u(p(x)) = p (x) ( ) a b c v = d e f a + b a b c a b d e + f c e + f e f 2. Dada la matriz A = 1 3 0 2 2 1 y las bases B 1 = {(2, 1), (1, 1)} en IR 2 y B 2 = {(0, 1, 1), (1, 1, 1), ( 1, 2, 0)} en IR 3, se pide hallar las matrices, en las bases canónicas respectivas, de las siguientes aplicaciones lineales f : IR 2 IR 3 : (a) la que tiene asociada la matriz A considerando en IR 2 la base B 1 y en IR 3 la canónica, (b) la que tiene asociada la matriz A considerando en IR 2 la canónica y en IR 3 la base B 2, (c) la que tiene asociada la matriz A considerando en IR 2 la base B 1 y en IR 3 la base B 2. 3. En IR 3 se consideran los subespacios que tienen las siguientes ecuaciones implícitas en la base canónica: { x1 = 2x x 1 + 2x 2 + x 3 = 0; 2 x 2 = x 3 Determinar la matriz de la proyección sobre el primero paralelamente al segundo, y viceversa. 4. En el espacio vectorial IR 3 consideramos las bases C = {ē 1, ē 2, ē 3 } y B = {ū 1, ū 2, ū 3 }. ē 1 = (1, 0, 0); ē 2 = (0, 1, 0); ē 3 = (0, 0, 1). ū 1 = (1, 1, 0); ū 2 = (1, 0, 0); ū 3 = ( 1, 0, 1). Consideramos la aplicación lineal f : IR 3 IR 3 dada por: f(ē 1 ) = ū 1 + ū 2 ; f(ē 2 ) = ū 3 ū 1 ; f(ē 3 ) = ū 2 + ū 3. Calcular:
(a) La matriz asociada a f respecto a la base canónica C. (b) La matriz asociada a f respecto a la base B. (c) Calcular las ecuaciones paramétricas e implícitas del núcleo y de la imagen de f respecto a las bases B y C. (Examen final, septiembre 2006) 5. Sea S 2 (IR) el espacio vectorial de matrices reales simétricas 2 2. Sea P 2 (IR) el espacio de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que 2. Definimos la aplicación: ( p f : P 2 (IR) S 2 (IR); f(p(x)) = (0) p ) (1) p (1) p ( 1) (a) Probar que f es una aplicación lineal y escribir la matriz asociada a f con respecto a las bases canónicas de P 2 (IR) y S 2 (IR). (b) Probar que B = {x 2, (x 1) 2, (x + 1) 2 } es base de P 2 (IR). (c) Calcular las ecuaciones cartesianas del núcleo de f expresadas en coordenadas en la base B. (d) Calcular una base de la imagen de f y escribir las ecuaciones cartesianas de un espacio suplementario. (e) Sea U = {A S 2 (IR)/traza(A) = 0}. Probar que U es un subespacio vectorial de S 2 (IR). Calcular las ecuaciones paramétricas y cartesianas de U, U Im(f) y U + Im(f). 6. Sea f : IR 4 IR 4 un endomorfismo del que se sabe: (i) Im(f) Ker(f). (ii) f(1, 0, 1, 1) = (1, 1, 0, 0). f(0, 0, 0, 1) = (1, 0, 1, 1). Entonces: (a) Calcular la matriz asociada a f respecto de la base canónica. (b) Calcular la matriz asociada a f respecto de la base: B = {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)}. (c) Hallar las ecuaciones implícitas y paramétricas de ker(f), Im(f) con respecto a la base canónica. (Examen final, junio 2010)
7. (a) Decidir si existe alguna aplicación lineal f : IR 3 IR 4 tal que ker f = {(x 1, x 2, x 3 ) IR 3 : x 1 x 3 = x 2 = 0}, Im f = {(y 1, y 2, y 3, y 4 ) IR 4 : y 1 y 2 = y 2 y 3 = 0}. Si existe, dar la matriz (con respecto a las bases canónicas de IR 3 y IR 4 ) de una que verifique estas condiciones. Si no existe, demostrarlo. (b) Idem para ker f = {(x 1, x 2, x 3 ) IR 3 : 2x 1 x 2 + x 3 = 0}, Im f = {(y 1, y 2, y 3, y 4 ) IR 4 : y 1 + 2y 2 = y 1 y 3 = 0}. (Primer parcial, febrero 2001) 8. Sea P 2 (IR) el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que dos. Consideramos las aplicaciones lineales: f : IR 3 IR 3, f(x, y, z) = (x + y, y + z, x + z) g : P 2 (IR) IR 3, g(ax 2 + bx + c) = (a b, c + a b, 2b a) y las bases de IR 3 y P 2 (IR), B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} y C = {1, x, x 2 }. Hallar la matriz asociada a la aplicación f g respecto de las bases C y B. (Examen final, junio 2009) 9. En el espacio vectorial real de las matrices 2 2 con elementos reales, M 2 2 (IR), se consideran los subconjuntos U = {A M 2 2 (IR) traza(a) = 0} V = L{Id} (c) Calcular la matriz asociada respecto a la base canónica de la aplicación proyección sobre U paralelamente a V : p : M 2 2 (IR) M 2 2 (IR). (d) Calcular la proyección de la matriz (Primer parcial, enero de 2008) ( ) 1 0 sobre V paralelamente a U. 0 0 10. En el espacio vectorial M 2 2 (IR), se consideran los subconjuntos: {( ) ( ) ( ) ( )} 1 0 0 2 0 0 1 0 B =,,, 0 2 0 0 2 1 2 0 { ( ) ( )} U = A M 2 2 (IR) 1 2 0 0 A = 2 4 0 0 {( ) ( ) ( )} 1 1 1 1 1 1 V = L,, 0 1 0 0 0 2 S 2 = { A M 2 2 (IR) A = A t }.
(vi) Probar que los subespacios U y V son suplementarios. (vii) Calcular la matriz asociada respecto de la base canónica de la aplicación proyección sobre U paralelamente a V. (viii) Calcular la proyección de la matriz identidad sobre V paralelamente a U. (Examen final, enero 2012) 11. Sea V un espacio vectorial de dimensión n 1 y f : V V un endomorfismo. Decidir razonadamente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: (a) Si f f = id entonces f = id. (b) Si f f = 0 entonces f = 0. (c) Si f f = 0 entonces 0 es autovalor de f. (d) Ker(f Id) Im(f). (Examen final, julio 2012)
ÁLGEBRA LINEAL I Problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2012 2013) I. De la aplicación lineal: se sabe que: f : P 3 (IR) P 3 (IR) f(x) = 2f(1), f(x 3 ) = 2f(x 2 ), f(1 + x) = 3 + 9x, f(x 3 x 2 ) = x 2 + 3x 3. (a) Calcular la matriz asociada a f respecto de la base canónica. (b) Calcular la matriz asociada a f respecto de la base: B = { 1, x + x 2, x x 2, x 3}. (c) Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del núcleo y de la imagen respecto de la base canónica. Dar además una base de la imagen. II. Sea f una aplicación lineal del espacio vectorial real S 2 de las matrices simétricas de dimensión 2, en el espacio vectorial real M 2 2 de las matrices cuadradas de dimensión 2, siendo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 1 1 1 1 1 0 0 2 f =, f =, f = 1 1 1 1 1 0 2 1 0 0 3 3 Se pide: (a) Matriz de f, indicando las bases en las que está definida. (b) {( Ecuaciones) paramétricas ( ) ( de la imagen ) ( de f, en )} la base 1 1 1 1 0 0 0 0,,,. 0 0 0 0 1 1 1 1 {( ) 2 2 (c) Ecuaciones cartesianas del núcleo de f, en la base, 2 2 ( ) 0 1, 1 0 ( )} 2 1. 1 0 (d) Encontrar un subespacio de S 2 y otro de M 2 2, ambos de dimensión 2, entre los que la restricción de f a ellos sea biyectiva. (Primer parcial, enero de 2002) III. Sea V un espacio vectorial real de dimensión 3. Sean U y W dos subespacios suplementarios de V de dimensiones 2 y 1 respectivamente. Llamamos f : V V a la aplicación proyección sobre U paralelamente a W. Sea B una base de V. Probar que la matriz asociada a f respecto a la base B cumple: F BB n = F BB para cualquier n 1. (Primer parcial, enero 2006)
IV. Sea V el espacio vectorial de los polinomios reales de grados menor o igual que 2; sean: y sean p(x) = 1 + x + x 2 ; q(x) = 1 + 2x 2 ; r(x) = x + x 2, u = (2, 0, 1); v = (3, 1, 0); w = (1, 2, 3). Considérese la aplicación lineal f : V IR 3 definida por: f(p(x)) = u; f(q(x)) = v; f(r(x)) = w. (a) Hallar la matriz de f respecto de las bases canónicas de V y IR 3. (b) Hallar una base B de V y otra base C de IR 3 tales que respecto de ellas, la matriz de f sea la identidad I 3. (Examen extraordinario, diciembre 2005) V. Sea f : IR 4 P 2 (IR) una aplicación lineal dada por: f(a, b, c, d) = (a + b)x 2 + bx + (c d) a) Hallar la matriz asociada a f respecto de las bases B y B, con: B = {(1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 1, 1)}, B = {1 + x + x 2, 1 + x, 1}. b) Calcular las ecuaciones implícitas y paramétricas de Ker(f) respecto de la base canónica. (Primer parcial, junio 2010) VI. En IR 2 se definen los endomorfismos f, g : IR 2 IR 2 como: f(u 1 ) = 2u 1 u 2, f(u 2 ) = e 1 e 2 ; g(e 1 ) = u 1 + u 2 ; g(e 2 ) = e 1 e 2 donde {e 1, e 2 } son los vectores de la base canónica y u 1 = (1, 2), u 2 = (2, 3). (a) Calcular las matrices asociadas a f y g respecto a la base canónica. (b) Calcular la matriz asociada respecto a la base {u 1, u 2 } de f g. (Prime parcial, enero 2008) VII. Sea el espacio vectorial V de las funciones reales de una variable, definidas sobre IR, con las operaciones habituales de suma de funciones y producto por un escalar. Si φ es la aplicación que hace corresponder a cada terna de números reales (a, b, c) la función f (a,b,c) definida por: f (a,b,c) (x) = asen 2 x + bcos 2 x + c, x IR Se pide: a) Probar que φ es una aplicación lineal de IR 3 en V. b) Hallar una base de la imagen y otra del núcleo, analizando si φ es inyectiva o sobreyectiva. c) Comprobar que el conjunto U formado por las funciones constantes es un subespacio vectorial de V. Hallar su dimensión y una base. d) Hallar el conjunto origen de U, si es un subespacio vectorial dar una base. (Primer parcial, febrero 1999)
VIII. Sean f : IR 5 IR 4 y g : IR 4 IR 5 aplicaciones lineales no nulas tales que g f es idénticamente cero y dim Img = 3. Calcular dim Kerf. (Examen final, septiembre 2007) IX. Se define la aplicación: f : M 3 2 (IR) M 1 2 (IR), f(a) = ( 1 2 1 ) A. (a) Probar que f es una aplicación lineal. (b) Hallar la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas de M 3 2 (IR) y M 1 2 (IR). (c) Calcular las ecuaciones implícitas y paramétricas de ker(f) e Im(f). (d) Hallar la matriz asociada a f respecto de la base canónica de M 3 2 (IR) y la base B = {(1 1), (1 1)}. (e) Estudiar si el subconjunto U = {A M 3 2 (IR) rango(a) < 1} es un subespacio vectorial de M 3 2 (IR). (f) Estudiar si f es inyectiva, sobreyectiva y/o biyectiva. (Examen final, julio 2012)