TEMA VI: ESPACIOS DE HILBERT

TEMA VI: ESPACIOS DE HILBERT. Espacios con producto escalar Definición: Sea L un espacio vectorial sobre el cuerpo K (R ó C). Por un producto escalar (o interno) sobre L entedemos una aplicación <.. >: L L K denotada por (u, v) < u v > que cumple: u, u 2, u, w L, λ K. < u u > 0, y (< u u >= 0 u = 0) 2. < u u + u 2 >=< u u > + < u u 2 > 3. < u λw >= λ < u w > 4. < u w >= < w u > De estas propiedades se deducen inmediatamente las siguientes: < λ u + λ 2 u 2 w >= λ < u w > +λ 2 < u 2 w > < u w >= 0, w L u = 0 < u w >=< u 2 w >, w L u = u 2 Nota: Las conjugaciones tienen sentido cuando K = C, en caso de que K = R sobran. Definición: Al par (L, <.. >) se le llama espacio con producto escalar o pre-hilbert. Observación: Todo subespacio vectorial M de un espacio pre-hilbert (L, <.. >) es a su vez un espacio pre-hilbert. Desde un punto de vista geométrico, la gran ventaja de la estructura de producto escalar radica en la posibilidad que ofrece de introducir generalizaciones naturales del concepto de ortogonalidad o perpendicularidad de la geometría euclídea clásica. Definición: Dos vectores v, w (L, <.. >) se dicen ortogonales si < v w >= 0. Y escribimos simbólicamente v w. Asimismo, un conjunto de vectores S = {v α } α A (L, <.. >) se dice

ortogonal si < v α v β >= 0, α β. Si además < v α v α >=, α, se dice que el conjunto S es ortonormal. Finalmente, dados dos conjuntos S y S 2 de vectores en (L, <.. >), diremos que S S 2 si < v v 2 >= 0, v S, v 2 S 2. Proposición: Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente. Demostración: Sea S = {v α } α A conjunto ortogonal de vectores. λ α v α = 0 α A al mutiplicar por algún v β S obtenemos λ β < v β v β >= 0 lo que implica que λ β = 0. 2. Propiedades geométricas elementales A lo largo de esta sección denotaremos v =< v v > 2 a la norma de un vector v (L, <.. >). Teorema (de pitagoras generalizado): Si {v j } n es ortonormal en (L, <.. >), se tiene v L: v 2 = < v j v > 2 + v < v j v > v j 2 Demostración: Se basa en el hecho de comprobar que el conjunto {v, v 2,..., v n, d}, con d = v < v j v > v j, es ortogonal. Para luego calcular < v v > escribiendo v = d + (v d). Corolario:. v v 2 v + v 2 2 = v 2 + v 2 2 2. Si {v j } n es ortonormal en (L, <.. >), se tiene v L: v 2 < v j v > 2 (desigualdad finita de Bessel) 3. v, w L: < v w > v. w (desigualdad de Schawarz Cauchy Buniakowskii) Además < v w > = v. w {v, w}no linealmente independiente. Demostración:. v + v 2 2 =< v + v 2 v + v 2 >=< v v > + < v 2 v 2 >= v 2 + v 2 2 2

2. Dado que v 2 = < v j v > 2 + v desigualdad es obvia. < v j v > v j 2 y que v < v j v > v j 2 0, la 3. Obvio para v = 0, si v 0, { v v } es ortonormal, luego w 2 < v w > 2 w 2. v 2. Para la igualdad se necesita que si v 0, se verifique w < v v w > v < v w > = 0 w = λ.v, siendo λ = v v 2 < v v w > 2 por lo tanto Definición: Dado (L, <.. >) pre-hilbert, podemos definir una distancia entre sus elementos : u, v L Propiedades: d(u, v) = u v =< u v u v > 2. Las siguientes funciones definidas sobre un pre-hilbert son continuas L K ; L K v v v < w v >, w L fijo siendo K = R ó C, el cuerpo soporte. K L L ; L L L (λ, v) λv (u, v) u + v 2. La función L L K definida por (u, v) < u v > es secuencialmente continua. Es decir, dadas las sucesiones {v n } v y {u n } u, entonces la sucesión {< u n v n >} converge a < u v >. Ejemplo: El conjunto de C([a, b]) de las funciones continuas sobre el intervalo cerrado y acotado [a, b] R, con el producto escalar < f g > 3. Espacios de Hilbert b a f(x)g(x)dx es un espacio pre-hilbert. Definición: Un espacio vectorial H con producto escalar se dice de Hilbert si es completo, es decir, que toda sucesión de Cauchy es convergente. {v n } n N H tal que v n v m 0 = v H tal que v n v 0 3

Ejemplos: R n, C n, L 2 [a, b]. El conjunto L 2 [a, b] está constituido por las funciones sobre el intervalo [a, b] tales que b b f(x) 2 dx 2 < +. Se le dota del producto escalar definido por < f g >= f(x)g(x)dx. a a Definición (Complementos ortogonales): Sea M H, H espacio de Hilbert y M no vacio. Denotaremos M {v H / v M} y dieremos que M es el complemento ortogonal de M en H. Propiedades:. M H, con M no vacio, M es un subespacio vectorial cerrado de H ( y por lo tanto es también Hilbert). 2. M M {0} 3. M (M ) = M Teorema: Si M es un subespacio lineal cerrado de un espacio de Hilbert H, entonces v H : v = v + v 2, v M y v 2 M de forma única. A v y v 2 se les dice proyecciones ortogonales de v sobre M y M respectivamente. Teorema (Gram-Schmidt): Dado un espacio de Hilbert H, entonces todo subconjunto {v j } j J H, linealmente independiente con J finito o infinito numerable, genera un sistema ortonormal {u j } j J H Demostración: w = v, u = w w w 2 = v 2 < u v 2 > u, u 2 = w 2 w 2 m w m = v m k= < u k v m > u k, u m = w m w m Definición (Base ortonormal): Un conjunto ortonormal S = {v α } α A de vectores en un espacio de Hilbert H, se dice que constituye una base ortonormal de H si es maximal, es decir, si no es subconjunto propio de ningún otro conjunto ortonormal de H. 4

Proposición: Todo espacio de Hilbert {0} posee alguna base ortonormal. Teorema: Sea S = {v α } α A un conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert H {0}. Las siguientes proposiciones son equivalentes entre si:. S es base ortonormal de H. 2. lin(s) = H (completo lineal). 3. S = {0}. 4. v H : v = α < v α v > v α, (Desarrollo en serie de Fourier). 5. v, w H : < v w >= α < v v α >< v α w >, (Identidad de Parseval). 6. v H : v 2 = α < v α v > 2, (Identidad de Parseval). Un espacio de Hilbert H 0 es separable si y sólo si admite una base ortonormal numerable (finita o infinita numerable). Proposición: Todas las bases ortonormalrs de un espacio de Hilbert H tienen el mismo cardinal. Definición: A este cardinal común a todas las bases se le llama dimensión hilbertiana de H. Criterio de convergencia Sea {u n } n N un conjunto ortonormal de vectores de H, espacio de Hilbert. λ j u j converge en H λ j 2 converge en R 4. Algunas bases ortonormales importantes de funciones Base de Legendre H = L 2 [a, b]. Consideremos la sucesión {x n } 0 H. Es un conjunto linealmente independiente, pero no es ortonormal. El proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt aplicado a este caso proporciona un conjunto ortonormal de polinomios de grados n = 0,, 2,... En el caso particular de [a, b] = [, ], los polinomios así obtenidos son, salvo factores constantes, los llamados polinomios de Legendre: P n (x) = n!2 n d n dx n (x2 ) n 5

integrando por partes se comprueba sin dificultad que el producto escalar < P m P n >= 0, para n m, y que P n 2 = 2. Todo esto nos lleva a afirmar que { n + 2n + 2 P n} es base ortonormal de n=0,,2,.. L 2 [a, b]. Base de Hermite H = L 2 (R). Ahora x n no pertenece a H, pero sin embargo puede considerarse un nuevo conjunto de funciones {x n e x2 2 }n=0,,2,... H, que es linealmente independiente. La sucesión ortonormal a que conduce el proceso de Gram-Schmidt, salvo un factor de módulo, φ n (x) = (n!2 n π) 2 e x2 2 Hn (x) siendo {H n (x)} 0 los llamados polinomios de Hermite H n (x) = ( ) n e x2 dn dx n e x2 las φ n (x) suelen llamarse funciones de Hermite y constituyen una base ortonormal de L 2 (R). Base trigonométrica de Fourier H = L 2 [0, 2π]. El conjunto de funciones { e ±inx } constituye una base ortonormal. 2π n=0,,2,... Base de Laguerre H = L 2 (R + ), R + = [0, + ). La sucesión {e x2 2 x n } n=0,,2,... H es linealmente independiente y por Gram-Schimdt conduce a la familia ortonormal {ψ n (x)} n=0,,2,..., donde salvo constante de módulo : siendo L n los polinomios de Laguerre ψ n (x) = e x2 2 Ln (x) L n (x) = dn ex n! dx n (e x x n ) 6