0 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIA 07 Pág. Lanzamos un dado con forma de octaedro, con sus caras numeradas del al 8. Evalúa estas probabilidades: a) P [múltiplo de 3] b) P[menor que 5] c) P[número primo] d) P[no múltiplo de 3] a) P[{3, 6}] = 8 = 4 b) P[<5] = P[{,, 3, 4}] = 4 8 = c) P[primo] = P[{, 3, 5, 7}] = 4 8 = d) P[no 3 ] = P[3 ] = 6 8 = 3 4 Lanzamos dos dados y anotamos la menor de las puntuaciones. a) Escribe el espacio muestral y asígnale probabilidad a cada uno de los casos. b) Halla la probabilidad del suceso la menor puntuación es menor que 4 = < 4. c) Halla P[no < 4]. DADO DADO 3 4 5 6 3 3 3 3 3 4 3 4 4 4 5 3 4 5 5 6 3 4 5 6 a) E = {,, 3, 4, 5, 6} P[] = P[] = 9 36 36 P[3] = 7 36 P[4] = 5 P[5] = 3 P[6] = 36 36 36 b) P[< 4] = P[] P[] P[3] = 7 36 = 3 4 c) P[no < 4] = P[< 4] = 3 4 = 4 Unidad 0. álculo de probabilidades
0 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIA 08 Pág. Lanzamos un dado y, después, sacamos una bola de la bolsa. Estas dos experiencias, son dependientes o independientes? Son independientes, porque el resultado de sacar una bola de la bolsa no depende de qué haya salido en el dado. A Lanzamos un dado. Si sale par, extraemos una bola de la bolsa A. Si sale impar, de la. Las experiencias, son dependientes o independientes? Son dependientes, porque al ser los contenidos de las bolsas distintos, el resultado depende de qué bolsa se saque, que depende IMPAR del valor obtenido al lanzar el dado. PAR Unidad 0. álculo de probabilidades
0 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIA 09 Pág. Se extraen 3 cartas con reemplazamiento. Halla: a) P[AS en. a y FIGURA en. a y 3. a ] b) P[3 ASES] c) P[un AS y dos FIGURAS] d) P[ningún AS] a) P[as en. a y figura en. a y 3. a ] = P[as] P[figura] P[figura] = = 4 40 40 40 = 0 3 0 3 0 = 9 000 b) P [3 ases] = P [as] P [as] P [as] = 4 40 4 40 4 40 = ( 0) 3 = 000 c) P [un as y dos figuras] = 3 P [as en. a y figura en. a y 3. a ] = 3 d) P [ningún as] = 36 40 36 40 36 40 = ( 9 0) 3 = 79 000 9 000 = 7 000 Se lanzan 5 monedas. Halla la probabilidad de: a) 5 caras b) alguna cruz. a MOEDA. a MOEDA 3. a MOEDA 4. a MOEDA 5. a MOEDA a) P[cinco caras] = = 3 b) P[alguna cruz] = P[0 c y 5 ] P[ c y 4 ] P[ c y 3 ] P[3 c y ] P[4 c y ] = P[5 c] = 3 = 3 3 Unidad 0. álculo de probabilidades
0 Soluciones a las actividades de cada epígrafe 3 Lanzamos 3 monedas. alcula: a) P[tres caras] b) P[ninguna cara] c) P[alguna cara] Pág. a) P [3 caras] = = 8 b) P [ninguna cara] = = 8 c) Hay 3 formas de que salga una sola cara: {c,, }, {, c, }, {,, c}. De la misma forma, hay 3 de que salgan dos caras. P [alguna cara] = 3 P [una cara] 3 P [dos caras] P [tres caras] = = 3 8 3 8 8 = 7 8 4 Se lanzan dos monedas y un dado. uál es la probabilidad de obtener cara en ambas monedas y seis en el dado? uál, la de obtener cruz en las monedas y par en el dado? Hacemos el diagrama en árbol:.ª MOEDA.ª MOEDA /6 5/6 /6 5/6 DADO 6 o 6 6 o 6 /6 5/6 /6 5/6 6 o 6 6 o 6 P [,, 6] = 6 = 4 P [,, (, 4, 6)] = = 8 Unidad 0. álculo de probabilidades
0 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIA Pág. Extraemos dos cartas de una baraja española. uál es la probabilidad de que la primera sea un REY y la segunda un AS? En la baraja española hay 40 cartas de las cuales 4 son reyes y 4 son ases. P[rey y as] = P[rey] P[as supuesto que la.ª fue rey] = 4 40 4 39 = 4 390 = 95 ompleta el diagrama en árbol del ejercicio resuelto de esta página y sobre él halla P [IGÚ AS]..ª EXTRAIÓ 4/40 AS Quedan 39 cartas. De ellas, 3 ases.ª EXTRAIÓ 3/39 36/39 AS O AS Quedan 38 cartas. De ellas, ases Quedan 38 cartas. De ellas, 3 ases 3.ª EXTRAIÓ /38 36/38 3/38 35/38 AS O AS AS O AS 36/40 O AS Quedan 39 cartas. De ellas, 4 ases 4/39 35/39 AS O AS Quedan 38 cartas. De ellas, 3 ases Quedan 38 cartas. De ellas, 4 ases 3/38 35/38 4/38 34/38 AS O AS AS O AS P [ningún as] = 36 40 35 39 34 38 = 357 494 3 Una urna contiene 5 bolas negras y 3 blancas. Extraemos tres bolas. uál es la probabilidad de que las tres sean blancas? Y negras? 8 bola negra; 8 bola blanca. a EXTRAIÓ. a EXTRAIÓ 3. a EXTRAIÓ 5/8 3/8 4/7 3/7 5/7 /7 3/6 3/6 4/6 /6 4/6 3/6 5/6 /6 P [3 blancas] = 3 8 7 6 = 56 P [3 negras] = 5 8 4 7 3 6 = 5 8 Unidad 0. álculo de probabilidades
0 Soluciones a las actividades de cada epígrafe 4 Se extraen, una tras otra, 3 cartas de una baraja. uál es la probabilidad de obtener ASTOS las tres veces? a) Supón que se extraen con reemplazamiento. b) Supón que se extraen sin reemplazamiento. a). a EXTRAIÓ. a EXTRAIÓ 3. a EXTRAIÓ Pág. 0/40 ASTOS 0/40 30/40 ASTOS O ASTOS 0/40 30/40 0/40 30/40 ASTOS O ASTOS ASTOS O ASTOS 30/40 0/40 O ASTOS 30/40 ASTOS O ASTOS 0/40 30/40 0/40 30/40 ASTOS O ASTOS ASTOS O ASTOS P[tres bastos] = P[bastos] P[bastos] P[bastos] = 0 40 0 40 0 40 = 64 b) P[tres bastos] = P[bastos] P[bastos] P[bastos] = 0 40 9 39 8 38 = 3 47 5 Una urna A tiene tres bolas blancas y una negra. Otra tiene una bola negra. Sacamos una bola de A y la echamos en. Removemos y sacamos una bola de. uál es la probabilidad de que esta sea blanca? Hacemos un diagrama en árbol: 3/4 /4 0 P [blanca] = 3 4 4 0 = 3 8 Unidad 0. álculo de probabilidades
0 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGIA Pág. Practica Experiencias simples En la lotería primitiva se extraen bolas numeradas del al 49. alcula la probabilidad de que la primera bola extraída sea un número : a) de una sola cifra. b) múltiplo de 7. c) mayor que 5. a) P [,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] = 9 49 b) P [7, 4,, 8, 35, 4, 49] = 7 49 = 7 c) P [6, 7, 8,, 49] = 4 49 Se extrae una carta de una baraja española. Di cuál es la probabilidad de que sea: a) REY o AS. b) FIGURA y OROS. c) O SEA ESPADAS. a) P [rey o as] = 8 40 = 5 b) P [figura y oros] = P [figura de oros] = 3 40 = 0 c) P [no sea espadas] = 30 40 = 3 4 3 Lanzamos dos dados y anotamos la puntuación del mayor (si coinciden, la de uno de ellos). a) ompleta la tabla y di las probabilidades de los seis sucesos elementales,, 3, 4, 5 y 6. b) Halla la probabilidad de los sucesos: A: n. par, : n. menor que 4, A». 4 5 6 6 a) 3 4 5 6 3 4 5 6 3 3 3 4 5 6 4 4 4 4 5 6 5 5 5 5 5 6 P [] = 36 ; P[] = 3 36 = ; P[3] = 5 36 P[4] = 7 36 ; P[5] = 9 36 = ; P[6] = 4 36 6 6 6 6 6 6 b) P[A] = 3 36 7 36 36 = 36 = 7 P[] = 36 3 36 5 36 = 9 36 = 4 P[A» ] = P[] = Unidad 0. álculo de probabilidades
0 Soluciones a Ejercicios y problemas Experiencias compuestas Pág. 4 a) Tenemos dos barajas de 40 cartas. Sacamos una carta de cada una. uál es la probabilidad de que ambas sean 7? uál es la probabilidad de que ambas sean figuras (sota, caballo o rey)? b) Tenemos una baraja de 40 cartas. Sacamos dos cartas. uál es la probabilidad de que ambas sean un 7? uál es la probabilidad de que ambas sean figura? a) P [7 y 7] = 4 40 4 40 = 00 P [figura y figura] = 40 40 = 9 00 b) P [7 y 7] = 4 40 3 39 = 560 = 30 P [figura y figura] = 40 39 = 3 560 = 30 5 Lanzamos tres dados. uál es la probabilidad de que las tres puntuaciones sean menores que 5? P [las tres menores que 5] = P [< 5] P [< 5] P [< 5] = 4 6 4 6 4 6 = 8 7 6 Sacamos una bola de cada urna. alcula la probabilidad de que: a) Ambas sean rojas. b) Ambas sean negras. c) Alguna sea verde. a) P [roja y roja] = 3 5 5 = 6 5 b) P[negra y negra] = 5 5 = 4 5 c) P[alguna verde] = P [verde] P [verde] = 0 5 = 5 7 Una urna tiene 3 bolas rojas y verdes. Extraemos dos. alcula P[ rojas] y P[ verdes]. a) P[ rojas] = 3 5 4 = 3 0 b) P[ verdes] = 5 4 = 0 Unidad 0. álculo de probabilidades
0 Soluciones a Ejercicios y problemas Aplica lo aprendido 8 Una urna contiene 00 bolas numeradas así: 00, 0, 0 99 Llamamos x a la cifra de las decenas e y a la cifra de las unidades del número que tiene cada bola. Se extrae una bola al azar. alcula la probabilidad de que: a) x = 3 b) y = 3 c) x? 7 d) x > 5 e) x y = 9 f) x < 3 g) y > 7 h) y < 7 a) P [x = 3] = 0 00 = 0 0 3 4 5 6 7 8 9 b) P [ y = 3] = 0 00 = 0 00 0 0 03 04 05 06 07 08 09 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 c) P [x 7] = 90 00 = 9 0 3 30 3 3 33 34 35 36 37 38 39 d) P [x > 5] = 40 00 = 5 4 40 4 4 43 44 45 46 47 48 49 e) P [x y = 9] = 0 00 = 5 50 5 5 53 54 55 56 57 58 59 0 6 60 6 6 63 64 65 66 67 68 69 7 70 7 7 73 74 75 76 77 78 79 8 80 8 8 83 84 85 86 87 88 89 f ) P [x < 3] = 30 00 = 3 0 g) P [ y > 7] = 0 unidades decenas 9 90 9 9 93 94 95 96 97 98 99 00 = 5 h) P[ y < 7] = 7 00 = 7 0 9 Después de tirar muchas veces un modelo de chinchetas, sabemos que la probabilidad de que una cualquiera caiga con la punta hacia arriba es 0,38. Si tiramos dos chinchetas, cuál será la probabilidad de que las dos caigan de distinta forma? Pág. 4.ª HIHETA.ª HIHETA 0,38 0,6 HAIA ARRIA HAIA OTRO SITIO 0,38 0,6 0,38 0,6 HAIA ARRIA HAIA OTRO SITIO HAIA ARRIA HAIA OTRO SITIO P [distinta forma] = 0,38 0,6 0,6 0,38 = 0,47 0 En un laboratorio se somete un nuevo medicamento a tres controles. La probabilidad de pasar el primero es 0,89, la de pasar el segundo es 0,93 y la de pasar el tercero es 0,85. uál es la probabilidad de que el nuevo producto pase las tres pruebas? Las tres pruebas son independientes una de otra. P [pasar el primer control] = 0,89 P [pasar el segundo control] = 0,93 P [pasar el tercer control] = 0,85 P [pasar los tres controles] = 0,89 0,93 0,85 = 0,703 Unidad 0. álculo de probabilidades
0 Soluciones a Ejercicios y problemas Sacamos una bola de A, la echamos en, removemos y sacamos una de. alcula: Pág. 5 A a) P[. a roja y. a roja] b) P[. a roja y. a verde] c) P[. a roja /. a verde] d) P[. a roja /. a roja] e) P[. a roja] f ) P[. a verde] e) Para calcular esta probabilidad, ten en cuenta el diagrama. 3 5 3 3 5 3 A 5 3 5 3 a) P[. a roja y. a roja] = 3 5 3 = 5 b) P[. a roja y. a verde] = 3 5 3 = 5 c) P[. a roja /. a verde] = 3 d) P[. a roja /. a roja] = 3 e) P[. a roja] = 3 5 3 5 3 = 8 5 f ) P[. a verde] = 3 5 3 5 3 = 7 5 Unidad 0. álculo de probabilidades
0 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGIA 3 Pág. En una clase hay 7 chicos y 8 chicas. Elegimos al azar dos alumnos de esa clase. alcula la probabilidad de que: a) Los dos sean chicos. b) Sean dos chicas. c) Sean un chico y una chica. 7/35 8/35.ª ELEIÓ.ª ELEIÓ 6/34 HIO HIO 8/34 HIA 7/34 HIO HIA 7/34 HIA a) P [dos chicos] = 7 35 6 34 = 8 35 b) P [dos chicas] = 8 35 7 34 = 9 35 c) P [un chico y una chica] = 7 35 8 34 8 35 7 34 = 8 35 3 Tiramos dos dados correctos. Di cuál es la probabilidad de obtener: a) En los dos la misma puntuación. b) Un 6 en alguno de ellos. c) En uno de ellos, mayor puntuación que en el otro. a) P [los dos iguales] = 6 b) P [ningún 6] = 5 6 5 6 = 5 ; P [algún 6] = 5 36 36 = 36 c) P [distinta puntuación] = P [los dos iguales] = 6 = 5 6 4 Se extraen dos bolas de esta bolsa. alcula la probabilidad de que ambas sean del mismo color. 4/7 AZUL AZUL ROJA P [azul y azul] = 4 7 = P [roja y roja] = 3 7 3 = 7 7 3/7 ROJA /3 /3 AZUL ROJA P [ambas del mismo color] = 7 7 = 3 7 Unidad 0. álculo de probabilidades
0 Soluciones a Ejercicios y problemas Resuelve problemas Pág. 5 En una bolsa hay 4 bolas, dos de ellas están marcadas con un y las otras dos con un. Se hacen tres extracciones y se anotan los resultados en orden. alcula la probabilidad de que el número formado sea el, suponiendo que la experiencia sea: a) on reemplazamiento. b) Sin reemplazamiento. a).ª EXTRA..ª EXTRA. 3.ª EXTRA. b).ª EXTRA..ª EXTRA. 3.ª EXTRA. 0 /3 /3 /3 /3 0 a) P [] = = 8 b) P[] = 3 = 6 6 Matías y Elena juegan con una moneda. La lanzan tres veces y si sale dos veces cara y una vez cruz o dos veces cruz y una vez cara, gana Matías. Si sale tres veces cara o tres veces cruz, gana Elena. alcula la probabilidad que tiene cada uno de ganar.. er LAZAMIETO.º LAZAMIETO 3. er LAZAMIETO P [gane matías] = P [,, ] P [,, ] P [,, ] P[,, ] P[,, ] P[,, ]= 6 = 6 8 = 3 4 P [gane elena] = P [,, ] P [,, ] = 8 = 4 Unidad 0. álculo de probabilidades
0 Soluciones a la Autoevaluación PÁGIA 3 Pág. Resuelves problemas de probabilidad de experiencias simples y compuestas? Encima de una mesa tenemos estas cuatro cartas de una baraja española: inco de copas. As de oros. uatro de bastos. Dos de oros. Sacando al azar otra carta del mazo y fijándonos en su número, cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones de las cinco cartas (las cuatro de la mesa y la extraída del mazo) sea 5? Y 6? 5 4 = son los puntos de las que ya hay. Para que la suma sea 5, la nueva carta debe ser un 3. Quedan los 4 treses en las 36 cartas restantes. Por tanto, P [suma 5] = 4 36 = 9 = 0, Para que la suma sea 6, la nueva carta debe ser cuatro. Quedan 3 cuatros entre las 36 cartas sin repartir. Por tanto, P [suma 6] = 3 36 = = 0,083 Lanzamos una moneda y un dado y observamos los resultados obtenidos. a) uál es la probabilidad de obtener RUZ y IO? b) Y la de obtener ARA y ÚMERO PAR? 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6 a) P [cruz y 5] = b) P [cara y par] = 3 = 4 3 Lanzamos dos dados. alcula la probabilidad de que el producto de las puntuaciones: a) Sea 5. b) Sea 6. c) Sea 4. Haz una tabla con todos los casos posibles. a) y 5, 5 y b) y 6, y 3, 3 y, 6 y c) y 4, y, 4 y P [prod. = 5] = 36 = 8 P [prod. = 6] = 4 36 = 9 P [prod. = 4] = 3 36 = 4 Tenemos dos bolsas, A y, con estas bolas: A: 7 blancas y 3 negras : blanca, negras y 7 rojas Tirando un dado, si sale o extraemos una bola de A. Si sale 3, 4, 5 o 6, extraemos una bola de. alcula la probabilidad de extraer la bola roja. P[roja] = 0 P[ o ] 7 0 P[3, 4, 5 o 6] = 7 0 4 6 = 8 60 = 7 5 Unidad 0. álculo de probabilidades
0 Soluciones a la Autoevaluación 5 La urna A tiene 3 bolas rojas y negra, y la, 3 negras y roja. Sacamos una bola de A, la echamos en, removemos y sacamos una bola de. alcula la probabilidad de que ambas bolas sean rojas. Pág. 3/4 /4 R /5 3/5 /5 4/5 R R P[R y R] = 3 4 5 = 6 0 = 3 0 Unidad 0. álculo de probabilidades