Sistema de Control de un péndulo Simple Profesor: Gerardo Bonilla Mota Materia: Teoría de control Alumno: Hans Alexander Luna Eisermann Id: 00012332
Sistema de Control de un péndulo Simple Introducción: En este trabajo analizaremos un péndulo simple, de manera que con su análisis podamos controlarlo utilizando un control PID (Proporcional Integral Derivativo). El péndulo simple lo podemos representar como en la figura 1.1 Marco Teórico: Para este proyecto es muy importante saber que es un control PID y como es su funcionamiento. Los miembros de la familia de controladores PID, incluyen tres acciones: proporcional (P), integral (I) y derivativa (D). Estos controladores son los denominados P, I, PI, PD y PID y su representación en diagrama de bloques es como la que se muestra en la figura 1.2
PID: acción de control proporcional-integral-derivativa, esta acción combinada reúne las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante: Donde su función de transferencia está definida por la siguiente ecuación: 1 1 (2) Segundo método de sintonización Ziegler-Nichols: Este método nos dice que a partir de la función de transferencia del PID, tomamos y 0, usando solo la parte proporcional, se incrementa de 0 hasta un valor crítico en el cual la salida exhiba por primera vez las oscilaciones sostenidas. Donde en nuestro diagrama de bloques como se muestra en la figura 2.1 En donde: 1 1 Y nuestra planta es nuestra función de transferencia de nuestro sistema. En donde tomamos y 0 y nuestra ecuación (2) se simplifica a: Y nos queda nuestro diagrama de bloques como indica la figura 2.2
Y con este diagrama de bloques tenemos que simplificar para sacar nuestra función de transferencia (figura 2.3) y sacar el valor de, en donde el denominador (figura 2.4) de esta función de transferencia lo analizaremos utilizando el criterio de estabilidad de ROUTH. Función de transferencia: Denominador: El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s (raíces positivas) sin tener que factorizar el polinomio. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos. El criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que el número de raíces de la ecuación con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo. La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuación sean positivos y que todos los términos de la primera columna del arreglo tengan signo positivo. Una vez aplicando el criterio de ROUTH y sacando las regiones para las cuales es válido, definimos que es el valor grande o máximo que puede tener. Una vez conociendo el valor de, sustituimos en el denominador de nuestra función de transferencia y con esto es posible obtener nuestro polinomio característico de nuestra función. Una vez obtenido el polinomio característico de nuestra función, nos percatamos que nos queda en función del operador s y que sabemos que s=ω*ј, por lo que es necesario sustituir nuestros valores para sacar nuestra frecuencia. Una vez que se obtuvo nuestro valor de ω, despejamos nuestro periodo de la siguiente fórmula: 2f En donde: f1/t
Por lo tanto: Despejando el Periodo: 2 2 Y con esta última ecuación obtenemos nuestro periodo que es igual a. Una vez obteniendo este periodo, sabemos que el segundo método de sintonización Ziegler-Nichols, nos indican la siguiente tabla: CONTROLADOR P.5* 0 PI.45* 1/1.2*. 0 PID.6*.5*.125* Tabla 1.1 Y como ya conocemos los valores de y de, sustituimos en la ecuación (2): 1+ 1 + Y esto nos da nuestra función de transferencia de nuestro control. APLICANDO AL PENDULO SIMPLE Antes de que nada es necesario sacar el comportamiento del péndulo de la siguiente forma: Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange: L En donde K representa la energía cinética y V la energía potencial. l Cosϴ Simplificando: 1 2 l cos + 1 2 l sin = 1 2 l
Uniendo: Sabemos que: En donde: L= 1 2 l + l Cosϴ L L L l Por lo tanto: L l sin Modelo matemático: Despejando : L L l l sin Representando en variables de estado: l l sin 1 l l sin = = = 1 l l sin Sustituyendo y : = 1 = l l sin
Linealizando mediante series de Taylor: Función 1: Función 2:,,, =0,,, =1,,, = Entrada:,,, =0,,,=0,,,= 1 Para linealizar tenemos las siguientes ecuaciones: Sustituyendo nuestros valores en las ecuaciones anteriores tenemos: 0 1 = 0 l 0 + 1 =1 0 Sabemos que nuestra función de transferencia está dada por: En donde: =
1 = det = 1 1 + l l = 1 1 + l l + l = l + l 1 + l + l Una vez resolviendo todo nos queda nuestra función de transferencia de la siguiente manera: = + l Representando en diagrama de bloques: = y =0 nuestro diagrama de bloques se simplifica a:
Aplicando Algebra de Bloques: Haciendo la retroalimentación nos queda: Donde la función de transferencia es: = + l + El siguiente paso es aplicar el criterio de estabilidad de Routh, pero primero necesitamos simplifcar nuestra denominador dándole valores a las constantes: Suponiendo: l=1; m=1;
Nuestro polinomio se ve de la manera: + + 981 100 Ya al tener este polinomio aplicamos el criterio de estabilidad de Routh: 1 981 100 0 981/100 Para que el sistema sea estable debe ser mayor a 0 >0 Por lo que le damos un valor superior a 0 en este caso le damos el valor de 1 =1 Por lo tanto decimos que: =1 Volviendo al polinomio y sustituyendo = + + 981 100 Sustituyendo s=ω*ј = +1+ 981 100 Separando parte real y parte imaginaria: 1+ 981 100 Real: Imaginaria: + 981 100 =0 1=0 Tenemos que:
Simplificando: = 981 100 = 3 10 (109) Sabemos que: Y Sustituyendo: Despejando el periodo T Sustituyendo el valor de ω: Simplificando: =2 = = 1 = 2 = 2 2 3 10 (109) == 20 (327) (109) Sustituyendo y en la tabla 1.1 y utilizando el controlador PID: CONTROLADOR PID.6*.5*.125* Tenemos que: =.6(1)=6 =.5 20 (327) (109) =1.00303
=.125 20 (327) (109) =.250758 Por lo que nuestra función de transferencia del controlador nos queda: =61 =6 1 1.00303.250758 6 1.00303 1.504548 = 1.509106 6.019196 1.00303 Grafica de la función de transferencia sin control Utilizando la función step en MATLAB Utilizando el siguiente arreglo en simulink
Utilizando Simulink con un tiempo de 100 Grafica de la función de transferencia con control
Sistema con control Sistema sin control Conclusiones: Al hacer el modelado de un péndulo y aplicarle un control nos dimos cuenta que sin el control el péndulo estará oscilando hasta que las condiciones del ambiente lo frenen, en cambio con el mismo sistema aplicándole un control PID, nos dimos cuenta que el péndulo va a poder ser controlado en un tiempo muy rápido el cual nos sirve para poder manipularlo. Bibliografía Escuela de ingenieria electronica. (s.f.). Recuperado el 28 de marzo de 2011, de http://www.eie.fceia.unr.edu.ar/~con2/capituloiii_parte2.pdf mazzone, V. (Marzo de 2002). Control Automático. Controladores PID. Quilmes, Argentina. Mota, G. B. (28 de Marzo de 2011). Apuntes de la clase de teoría de control. Segundo metodo de Ziegel-Nichols. D.F., México.
Ogata. (1998). ingenieria de control moderna. En k. ogata, ingenieria de control moderna.