Qué es hacer Matemáticas en la Escuela Infantil? Luisa Ruiz Higueras Universidad de Jaén La escuela comercia con ella misma, aprendemos los conocimientos aportados por la escuela solamente para tener éxito en la escuela, no para comprender las situaciones del mundo extraescolar y actuar inteligentemente, justamente, eficazmente en su seno. Yves Chevallard Premio Hans Freudenthal 1 1 El Premio Internacional Hans Freudenthal ha sido concedido a Yves Chevallard, Catedrático de la Universidad de Aix-Marseille (Francia), en reconocimiento a la calidad de sus aportaciones a la investigación en educación matemática durante los últimos 25 años.
1. Introducción Las profesoras y profesores que nos damos cita en estas Jornadas somos los responsables y los gestores, en la institución escolar, de la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas. Desde sus inicios, ponemos las bases que sostendrán todo el edificio matemático que nuestros alumnos/as van construyendo en los diferentes niveles escolares en interacción con el entorno social y cultural donde están inmersos. Las Matemáticas de la escuela, desde sus primeros niveles, son como las aguas de un gran océano, si bien determinan el valor más básico del conocimiento en esta materia, sin embargo son aguas ricas y fecundas. De ellas surgirán los grandes continentes matemáticos, los grandes dominios numéricos, geométricos, algebraicos, las grandes construcciones del análisis matemático, de la estadística, de la lógica matemática, etc. En esta exposición trataremos de contestar, en primer lugar, a la cuestión: Qué es hacer Matemáticas?, para ello, presentaremos brevemente la Teoría de Situaciones Didácticas de Brousseau, lo que nos permitirá identificar y describir la actividad matemática. En segundo lugar, ofreceremos una serie articulada de situacionesproblema aptas para la Escuela Infantil que permitirá a nuestros alumnos/as construir con sentido el conocimiento matemático. 2. Qué es hacer Matemáticas? Cabe señalar, en primer lugar que hacer Matemáticas en cualquier ámbito de realidad (escolar o no) es una actividad eminentemente humana. Debemos construir una concepción de la actividad matemática muy lejos de la concepción platónica de las ideas: la verdad matemática está dada a quien la sabe ver y a quien tiene un poder de abstracción suficiente. Durante siglos ha existido la creencia de que se nacía con una predisposición innata hacia las Matemáticas. Existía un determinismo fatalista para una gran mayoría de personas: Yo, lo tengo claro, yo soy de letras mira, en Matemáticas o lo ves, o no lo ves. 2
La metáfora de la mirada, de la vista, está aún presente en los discursos y prácticas del profesorado. Parece como si las Matemáticas estuviesen pensadas para aquellos que poseyesen un don, una capacidad de abstracción singular para pensar, razonar y ver matemáticamente. Sin embargo, hacer Matemáticas es una actividad eminentemente humana, cercana, necesaria, comprensible. Se trata de una actividad humana personal y colectiva que nos facilita vivir mejor todos juntos. En el ámbito de la Escuela Infantil, hacer Matemáticas es algo tan cercano que se puede hacer con las manos, como contar con los dedos, plegar un papel, hacer una máscara, etc. hacemos matemáticas con nuestros dedos Hacemos Matemáticas con las manos, cuando somos capaces de interpretar, codificar y cuantificar la realidad con nuestros dedos. Hacemos Matemáticas cuando nos comunicamos, cuando hablamos con los demás, cuando somos capaces de transmitir informaciones que permiten resolver problemas. Hacemos Matemáticas cuando escuchamos y entendemos lo que nos dicen otras personas, cuando leemos o escribimos un mensaje con un lenguaje nuevo que, necesariamente, debemos entenderlo todos. 3
Qué es hacer matemáticas en la Escuela Infantil? hacemos matemáticas cuando nos comunicamos con otras personas hacemos matemáticas cuando sabemos interpretar los mensajes que escriben otros niños/as (con una escritura nueva, diferente,)... hacemos matemáticas cuando sabemos dibujar el plano de nuestra clase y somos capaces de interpretarlo 4
hacemos matemáticas cuando recortamos, plegamos, comparamos longitudes, superficies, ángulos,. hacemos matemáticas cuando construimos máscaras y somos capaces de conservar la equidistancia y las regularidades Hacemos Matemáticas cuando debatimos, cuando ponemos en duda la solución que hemos dado a un problema, cuando no compartimos la resolución que nos comunican otras personas. Hacemos Matemáticas cuando somos asertivos y defendemos nuestros propios puntos de vista. Hacemos Matemáticas cuando nos equivocamos y cometemos errores. Es tan humano equivocarse. Cuánta fecundidad tienen los errores matemáticos en los que incurrimos, si sabemos gestionarlos bien!
Hacemos Matemáticas cuando buscamos la verdad, puede que no la encontremos, hacer Matemáticas es también estar en camino hacia el encuentro con la verdad. Hacemos Matemáticas cuando producimos obras de arte. Hacemos Matemáticas cuando observamos, interpretamos y analizamos las obras de otros artistas. hacemos matemáticas cuando producimos obras de arte tan bonitas como las de Paul Klee... Todas las actividades anteriores son actividades plenamente humanas, no se remontan al universo de las ideas abstractas, no viven en un cosmos etéreo sólo alcanzable por mentes privilegiadas dotadas del don de ver las Matemáticas. Repetimos, hacer Matemáticas es una actividad eminentemente humana. Esgrimir el verbo hacer, en el dominio de las Matemáticas de la Escuela Infantil, para identificar la función del sujeto que aprende, significará para nosotros que dicho sujeto debe producir, crear, construir con sentido el conocimiento matemático. Es decir, llevar a cabo una actividad matemática cargada de interés y significación para él. Estas actividades, para que realmente permitan construir conocimiento matemático significativo, no deben ser sólo unas actividades más o menos espontáneas, divertidas, motivadoras, sino que han de diseñarse bajo un control epistemológico y didáctico riguroso. Debemos saber dar razones del porqué las proponemos en la Escuela Infantil. No basta la buena voluntad del profesorado, ni siquiera el deseo de innovación, si éste no va acompañado de razones didácticas científicas que así lo justifiquen. 6
3. Preguntamos a un experto: Qué es hacer Matemáticas? Nos vamos a acercar brevemente a la respuesta que da a esta cuestión un matemático y didacta muy relevante: Guy Brousseau 2 Qué es hacer Matemáticas? En qué consiste la actividad matemática? Guy Brousseau 3, ante estas preguntas, ha dado respuestas: Hacer Matemáticas no es manejar un sistema conceptual, lógicamente consistente y productor de demostraciones. Hacer Matemáticas es llevar a cabo una actividad que se realiza en una situación concreta y viva y contra un medio (situación-problema). Una verdadera actividad matemática exige que el sujeto se implique profundamente en ella, lo que supone que formule enunciados y pruebe proposiciones, construya modelos, lenguajes, conocimientos, que los ponga a prueba, que los intercambie con otros, que reconozca los que están conformes con la cultura matemática y tome los que le son útiles para continuar su actividad. Saber Matemáticas no es solamente saber definiciones y teoremas para reconocer la ocasión de utilizarlos y de aplicarlos, es resolver problemas, que en un sentido amplio incluye tanto encontrar buenas preguntas como encontrar soluciones. (Brousseau, 1998) Guy Brousseau (1933, ) Hacer matemáticas ticas es resolver problemas. 2 Guy Brousseau ha recibido el primer premio internacional Felix Klein por la calidad de sus aportaciones científicas al ámbito de la Didáctica de las Matemáticas. 3 Brousseau, G. (1998) La Théorie des Situations Didactiques. Grenoble: La Pensée Sauvage. 7
4. Qué es hacer Matemáticas en la Escuela Infantil? De acuerdo con Brousseau (1998), un alumno/a hace realmente Matemáticas cuando, para construir con sentido 4 un conocimiento matemático, debe: ACTUAR: contra un medio (situación-problema) que le provoque un verdadero problema, de tal manera que se implique con todo interés en su resolución. En la búsqueda de una solución, produce acciones que pueden conducirle a la creación de un "saber-hacer". FORMULAR: las exigencias de la situación-problema propuesta hacen necesario que entre los alumnos/as se lleve a cabo un intercambio de informaciones mediante la creación de un lenguaje nuevo (oral o escrito) propio de las Matemáticas. PROBAR: es preciso probar ante un compañero (o en algunos casos ante el propio maestro/a) que la solución dada es válida y se trata de la solución al problema propuesto. El trabajo de profesor/a va a consistir en procurar que los niños/as se enfrenten, vivan, se impliquen en estas verdaderas situaciones-problema 5. La tarea no es fácil: la aplicación inmediata de una reglilla algorítmica es mucho más sencilla y económica que la comprensión y construcción significativa de un conocimiento. Pero la suma de comportamientos económicos puntuales y aislados no produce un proceso globalmente óptimo. (Brousseau, 2006, p. 7) El profesor debe disponer de medios, es decir, de todo un banco de situaciones efectivas, específicas para cada saber, capaces de generar conocimientos matemáticos significativos en los alumnos/as. (Brousseau, 2006, p. 7) Para la TSD un conocimiento matemático está definido por las situaciones que lo determinan, esto es, por un conjunto de situaciones para las que dicho conocimiento 4 Para la TSD el sentido de un conocimiento matemático es un componente inseparable de las actividades matemáticas en las que dicho conocimiento interviene. (Gascón, 2011, p. 30) 5 La Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) pasa de la concepción clásica de problemas a considerar verdaderas situaciones matemáticas. 8
es idóneo porque proporciona la solución óptima en el contexto de una institución determinada. (Gascón, 2011, p. 29). En nuestro caso la institución es la Escuela Infantil. 5. Teoría de situaciones didácticas (TSD) de Brousseau: una respuesta científica al proceso de enseñanza aprendizaje de las Matemáticas. La TSD es una teoría sobre los procesos de enseñanza - aprendizaje del conocimiento matemático con una clara marca constructivista en la cual se considera que el aprendizaje matemático se produce como resultado de la resolución de problemas. Brousseau considera que los conocimientos matemáticos sólo pueden construirse a través de las actividades que ellos permiten realizar y de los problemas que permiten resolver. Así, postula que las Matemáticas no son simplemente un sistema conceptual, lógicamente consistente y productor de demostraciones: son, en primer lugar, una actividad que se realiza en una situación y contra un medio (situación-problema). Se trata, además, de una actividad estructurada, en la que se pueden separar diferentes fases: acción, formulación, validación e institucionalización. Guy Brousseau 6 parte de un modelo general del conocimiento matemático: Saber Matemáticas no es solamente saber definiciones y teoremas para reconocer la ocasión de utilizarlos y de aplicarlos, es resolver problemas, que en un sentido amplio incluye tanto encontrar buenas preguntas como encontrar soluciones. Enseñar un conocimiento matemático concreto es, en una primera aproximación, hacer posible que los alumnos desarrollen con dicho conocimiento una actividad matemática en el sentido anterior. El profesor/a debe imaginar y proponer a los alumnos situaciones matemáticas que ellos puedan vivir, que provoquen la emergencia de genuinos problemas matemáticos y en las cuales el conocimiento en cuestión aparezca como una solución óptima a dichos problemas, con la condición adicional de que dicho conocimiento sea construible por los propios alumnos. Es decir, que no sea el profesor quien dé el conocimiento al alumno para que, posteriormente, 6 Brousseau, G. (1998) La Théorie des Situations Didactiques. Grenoble: La Pensée Sauvage. 9
lo aplique (aplicacionismo), sino que realmente sea el alumno el que, enfrentándose a un verdadero problema, buscando su solución, lo construya. Desde esta concepción, tiene una particular importancia para la Didáctica de la Matemática, la elaboración y el estudio del medio, es decir, de las situaciones que debemos proponer a los alumnos, que ellos puedan "vivir" y en las cuales los conocimientos matemáticos deberán aparecer como la solución óptima a los problemas propuestos. Serán situaciones donde el alumno desarrolle un trabajo intelectual comparable, en algunos momentos, a la actividad científica, es decir, donde actúe, formule, pruebe y construya modelos de lenguaje, conocimientos que intercambie con los demás, donde reconozca aquellos que están conformes con la cultura y donde recoja aquellos que le son útiles y pertinentes. 5.1. Situación matemática específica de un conocimiento concreto Una situación matemática es específica de un conocimiento matemático concreto si cumple las dos condiciones siguientes: a. Es comunicable sin utilizar dicho conocimiento. b. La estrategia óptima que permite resolver el problema planteado es el conocimiento matemático que se desea que el alumno construya. Situación a-didáctica Una situación a-didáctica es aquella en la que el alumno hace frente, de manera autónoma, a la resolución del problema, construyendo para ello un conocimiento. Las siguientes condiciones son indispensables para que una situación sea a-didáctica: - El alumno debe poder entrever una respuesta (estrategia de base) al problema planteado (no se debe quedar en blanco ante el problema propuesto). - La estrategia de base debe mostrarse rápidamente como insuficiente y antieconómica. - El alumno debe poder validar sus estrategias interactuando con la situación. - Debe existir incertidumbre por parte de los alumnos en las decisiones. - El medio (la situación problema) debe permitir retroacciones que informen al alumno sobre la validez de sus estrategias. 10
- La situación debe ser repetible. - El conocimiento buscado debe aparecer como la estrategia óptima que permita resolver el problema, haciendo, así, que el alumno abandone la estrategia de base. Situación fundamental Se llama situación fundamental a un conjunto mínimo de situaciones a- didácticas que permite engendrar, por manipulación de los valores de sus variables didácticas, un campo de problemas suficientemente extenso como para proporcionar una buena representación de un conocimiento matemático concreto. Cada conocimiento matemático se caracteriza por una familia de situaciones a- didácticas específicas de dicho conocimiento, es decir, para todo saber matemático, existe una familia de situaciones a-didácticas susceptibles de darle un sentido correcto. Esta familia de situaciones a-didácticas constituye lo que se denomina situación fundamental 7. Cada conocimiento matemático tico se caracteriza por una FAMILIA de situaciones a-dida didácticas Situación: LA CASITA Situación: El ROBOT Situación: Poner la MESA específicas de dicho conocimiento, que Número natural: Cardinación de colecciones constituyen lo que se denomina Situación El GARAGE Situación: El AUTOBÚS Situación El Barquito Figura 1: Situación fundamental En este punto, podemos definir qué significa aprender un conocimiento. Diremos que un alumno ha aprendido un conocimiento matemático específico si se ha adaptado a todas las situaciones a-didácticas que constituyen una situación fundamental. Esta adaptación se manifiesta mediante un cambio de estrategia del alumno que le lleva a poner en práctica la estrategia ganadora u óptima de manera estable en el tiempo. 7 En la la TSD un conocimiento matemático está definido por las situaciones que lo determinan. Un conjunto de situaciones para las que dicho conocimiento es idóneo porque proporciona la solución óptima. 11
5.2. El paso de la situación a-didáctica a la situación didáctica Para que un alumno aprenda un conocimiento matemático concreto es necesario que lo haga funcionar en sus relaciones con cierto medio a-didáctico. Pero los conocimientos matemáticos no pueden vivir por sí mismos en la institución escolar, sólo pueden funcionar como tales conocimientos, en la relación didáctica, resultando, por tanto, que la situación a-didáctica es únicamente una parte de la situación más amplia que Brousseau denominó situación didáctica, y que comprende las relaciones establecidas entre los alumnos, el medio y el profesor, con el objetivo de que los alumnos aprendan un conocimiento matemático concreto. Situación n didáctica Profesor/a Alumno/a Medio Situación n a-dida didáctica Figura 2: Situación didáctica. Situación a-didáctica Una situación es didáctica cuando un individuo (en general, el profesor) tiene la intención de enseñar a otro individuo (en general, un alumno) un saber dado. Se llama situación a-didáctica a aquella parte de una situación didáctica en la que la intención del enseñante no es explícita 8 para el alumno. (Briand, 2000, p. 27) La situación didáctica comprende una serie de intervenciones del profesor sobre el par alumno-medio destinadas a hacer funcionar las situaciones a-didácticas y los aprendizajes que ellas provocan. Estas intervenciones son principalmente 8 Es decir, cuando el alumno está trabajando en la resolución de un problema, él juega con una marioneta, o construye un tapiz, o realiza el plano de su clase, pero no conoce explícitamente el conocimiento matemático que está construyendo. El profesor, debe, posteriormente, institucionalizar dichos conocimientos: hemos aprendido a sumar, este signo + se lee más y significa añadir, esta figura es un triángulo, hemos aprendido el nombre de muchas figuras geométricas, etc. 12
devoluciones e institucionalizaciones, conceptos que explicaremos posteriormente. La evolución de una situación didáctica requiere la intervención constante, la acción mantenida y la vigilancia del profesor. Hipótesis de aprendizaje Profesor Acción Alum no Gestión Control Medio Situación Retroacción Variables didácticas Figura 3: Relaciones que se establecen en el sistema didáctico Como se ha podido leer anteriormente, en una situación didáctica participan al menos dos actores: el alumno y el profesor, en la que uno de ellos, el profesor, busca que el otro, el alumno, se apropie, se responsabilice o haga suya la situación a- didáctica (se debe enfrentar al problema de forma autónoma). Este primer paso se denomina la devolución del problema al alumno. Es necesario que la situación devuelta al alumno provoque en éste una interacción con el conocimiento lo más fecunda posible en lo que respecta a la construcción por parte del alumno de dicho conocimiento. De esta forma podemos definir, dentro de la teoría de las situaciones, una noción básica que aún no ha sido introducida. Enseñar un conocimiento matemático consiste en hacer devolución al alumno de una situación a-didáctica específica de dicho conocimiento. La devolución de una situación a-didáctica consiste no sólo en presentar al alumno el problema y las reglas del juego, es decir, la situación como tal, sino, además, en hacer que el alumno se sienta responsable, (en el sentido matemático de la palabra), del resultado que debe buscar, es decir, de la resolución del problema planteado. 13
En la didáctica actual, la enseñanza es la devolución a un alumno de una situación a-didáctica correcta, el aprendizaje es una adaptación a esta situación. (Brousseau, 1998, p. 60). TEORÍA A DE SITUACIONES DIDÁ CTIC AS APRENDER un conocimiento matemático Adaptarse a una situación específica de dicho co nocim iento. Siem pre se corresponde con un cambio de estrategia. Todo conocimiento surge asociado a una nueva estrategia capaz de resolver un problem a que la estrategia de base se había mostrado incapaz de resolver. (Chevallard, Bosch, Gascón, 1998, p. 218-225) Figura 4: Aprender un conocimiento matemático en la TSD TEORÍA A DE SITUACIONES DIDÁ CTICAS ENSEÑ AR un conocimiento matemático Llevar a cabo un proceso de DEVOLUCIÓN al alumno de una situación a-didáctica específica de dicho conocimiento Figura 5: Enseñar un conocimiento matemático en la TSD 14
5.3. Tipos de situaciones a-didácticas Brousseau (1998) plantea una serie de situaciones a-didácticas que permiten al alumno construir el conocimiento matemático, respetando a la vez todos los principios anteriormente propuestos. Estas situaciones a-didácticas son: Situaciones de acción. Situaciones de formulación. Situaciones de validación. Situaciones de institucionalización. 5.3.1. Situaciones a-didácticas de acción Toda situación a-didáctica de acción propone al alumno un problema en unas condiciones tales que la mejor solución se obtiene mediante el conocimiento a enseñar y, de tal forma, que el alumno puede actuar sobre la situación y hacer elecciones durante esta acción, al tiempo que la situación le devuelve información sobre las consecuencias de su acción. Dialéctica de la ACCIÓN Situación información acción Alumno sanciones o retroacciones Figura 6. Dialéctica de la acción Si el alumno no cuenta con una estrategia inicial asegurada, se verá inmerso en una dialéctica de ensayo-error en búsqueda de la solución, que le ofrecerá mucha y variada información. De esta forma puede llegar un momento en que construya una nueva estrategia que contenga nociones, relaciones y propiedades subyacentes que serán 15
utilizadas y de las cuales el alumno no es consciente, a pesar de que su acción se descubra como exitosa. El objetivo de estas situaciones es facilitar y favorecer un cierto tipo de interacciones entre el sujeto y el medio, siendo en todo momento una situación que permita el feedback para que el alumno pueda juzgar el resultado de su acción, permitiendo el ajuste de estas a los resultados obtenidos, de forma que el docente no tenga que intervenir en el desarrollo y transcurso de dicha situación. No se trata de una situación de manipulación libre o según un orden preestablecido: una buena situación de acción debe permitir al alumno juzgar el resultado de su acción y ajustarla, sin la intervención del profesor, gracias a la retroalimentación por parte del medio. En una buena situación de acción el alumno debe percibir informaciones que han de servirle como sanciones o refuerzos. En una situación de acción se produce un diálogo entre el alumno y la situación. Esta dialéctica de la acción, (figura 6), le permite mejorar su modelo implícito, es decir, tener reacciones que no puede todavía formular, probar ni, mucho menos, organizar en una teoría. En todo caso la situación a-didáctica provoca un aprendizaje por adaptación. 5.3.2. Situaciones a-didácticas de formulación En esta fase se diseñan situaciones en las que las estrategias que ha puesto en funcionamiento el alumno en la fase anterior tengan necesariamente que hacerse explícitas, que formularse (oralmente o por escrito). Así, en las situaciones de formulación el alumno debe intercambiar sus informaciones con otras personas, comunicando al interlocutor (o interlocutores) los resultados obtenidos en la etapa anterior. A su vez el receptor hace lo mismo, y le comunica sus observaciones. 16
mensaje Qué es hacer matemáticas en la Escuela Infantil? Esta comunicación entre emisor y receptor puede hacerse efectiva a través de mensajes orales o escritos, empleando, según las posibilidades del emisor, un lenguaje matemático. Permite al alumno comunicar su modelo implícito (la estrategia empleada en la resolución del problema). Como resultado de esta dialéctica el alumno creará un modelo explícito, que puede formularse con ayuda de signos y reglas (conocidas o nuevas). Dialéctica de la formulación información Emisor acción Situación sanciones o retroacciones acción Receptor Figura 7. Dialéctica de la formulación 5.3.3. Situaciones a-didácticas de validación En Matemáticas decir que algo es verdadero implica tener medios para poder probarlo. Desde los niveles escolares más iniciales y elementales, el hacer Matemáticas debe permitir el desarrollo de la personalidad racional del alumno y enseñarle comportamientos sociales relativos a la toma de decisiones y al establecimiento de la verdad. El aprendizaje más fundamental que los niños/as pueden encontrar en las Matemáticas, desde la escuela infantil, es el de la gestión personal y social de la verdad. Las Matemáticas no tienen el monopolio de la búsqueda de la verdad pero constituyen el dominio donde los niños la encuentran más precozmente y donde comienzan a tratarla con el menor número de saberes previos. (Brousseau, 2006, p. 6) 17
pruebas Qué es hacer matemáticas en la Escuela Infantil? En la dialéctica de la validación, el alumno debe demostrar por qué la estrategia que ha creado para resolver el problema es válida, es verdadera. Debe convencer a otro, debe probar la exactitud y la pertinencia de su modelo. Pero para que el alumno construya una demostración y ésta tenga sentido para él es necesario que la construya en una situación, llamada de validación, en la que debe convencer a otra persona. Una situación a-didáctica de validación proporciona la ocasión para que un alumno (proponente) pruebe la exactitud y la pertinencia de su modelo, el alumno oponente puede pedir explicaciones suplementarias, rechazar las que no comprende o aquellas con las que no está de acuerdo, siempre y cuando justifique su desacuerdo. Dialéctica de la validación información Proponente sanciones o retroacciones Situación información - sanción Oponente Figura 8. Dialéctica de la validación 5.3.4. Situaciones de institucionalización de los conocimientos matemáticos Las situaciones de institucionalización tienen como misión dotar de un cierto estatuto oficial al nuevo conocimiento que ha sido construido y validado. El profesor/a es el responsable de informar a los alumnos de que el conocimiento que acaban de construir en las fases anteriores forma parte de un conocimiento social (contar, sumar, restar, nombrar figuras geométricas, medir de longitudes, medir 18
superficies, etc.) y del patrimonio de la institución matemática. De este modo, el conocimiento es etiquetado (recibe un nombre oficial ) y pasa a ser algo que los alumnos deben saber y pueden nombrar y aplicar en lo sucesivo. Dialéctica de la institucionalización Conocimiento cultural Estatuto Profesor/a Información Control oficial Sujeto SITUACIÓN Figura 9. Situación de institucionalización La institucionalización supone un doble reconocimiento social: el alumno reconoce como oficial el objeto de conocimiento que acaba de construir y el maestro reconoce como oficial el aprendizaje del alumno. Se trata de un trabajo cultural e histórico que difiere totalmente del que puede dejarse a cargo del alumno y es responsabilidad del profesor. Inversamente a la devolución, la institucionalización consiste en dar un estatuto cultural a las producciones de los alumnos: actividades, lenguajes y conocimientos. Constituye, junto a la devolución, una de las actividades principales del profesor. 19
6. Cuál es la tarea del maestro/a de la Escuela Infantil para que el alumno/a construya el conocimiento matemático con sentido? Como se ha señalado anteriormente, la tarea del maestro/a, para dar respuesta a la cuestión que formulamos al comienzo: qué es hacer Matemáticas en la Escuela Infantil? debe ser diseñar situaciones de enseñanza-aprendizaje que provoquen realmente una construcción auténtica y significativa del conocimiento matemático por los propios los niños/as. Precisamente todo el amplio desarrollo de la ingeniería didáctica en Didáctica de las Matemáticas ha tenido este fin. La ingeniería didáctica permite construir situaciones que provoquen la génesis artificial de un saber en el medio escolar, para que los alumnos/as se enfrenten a problemas cargados de sentido y significación matemática y, cuya resolución les permita construir el conocimiento matemático deseado. La TSD pretende desarrollar y fundamentar teóricamente una ingeniería didáctica que permita diseñar, gestionar y analizar situaciones didácticas que posibiliten que los alumnos realicen una actividad matemática con sentido. (Gascón, 2011, p. 32) En la actualidad podemos afirmar que disponemos de todo un dominio de ingenierías didácticas, producto de numerosas tesis doctorales y trabajos de investigación, que permiten diseñar y articular el currículum matemático de los primeros niveles educativos (Educación Infantil y Educación Primaria). En el curso de esta exposición, no podemos abordar todo este ingente campo, pero nos vamos a aproximar al dominio de la construcción del número natural y la numeración en el nivel de la Escuela Infantil. 20
Situación de aprendizaje matemático Una situación de aprendizaje es una situación donde lo que se hace tiene carácter de necesidad, independientemente de la voluntad del maestro. La resolución del problema se vuelve entonces responsabilidad del alumno, que debe hacerse cargo de obtener un resultado. Desde esta perspectiva, el alumno aprenderá Matemáticas, si: entra en el problema, haciéndolo suyo, pone en funcionamiento una estrategia de base (que puede ser pesada, costosa, defectuosa,...), cuando la estrategia de base se hace insuficiente, el alumno trata de superar el desequilibrio y anticipa y emite hipótesis que le permitan: o elaborar procedimientos, ponerlos en funcionamiento, y según los efectos producidos, adoptarlos o modificarlos,... o automatizar aquellos que sean solicitados con más frecuencia, o ejercer un control sobre los resultados, o construir con sentido un conocimiento matemático. El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo ha hecho la sociedad humana. Este saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son la prueba del aprendizaje. (Brousseau, 1998, p.59). 21
6. La construcción del número natural y de la numeración en la Escuela Infantil 9 Con objeto de facilitar al profesorado la comprensión del proceso de enseñanza-aprendizaje de conocimientos matemáticos, bajo una hipótesis constructivista por adaptación al medio, vamos a presentar a continuación una serie de situaciones que permiten a los alumnos de este nivel educativo construir con sentido el número natural y la numeración. Estas situaciones, y otras muchas derivadas de ellas, gestionadas por los maestros/as a través de sus diferentes variables didácticas, permitirán a los alumnos crear todo un universo de sentido en la construcción de los primeros conocimientos numéricos, es decir, hacer Matemáticas significativamente. 6.1. Consideraciones didácticas en relación con la enseñanza y el aprendizaje de los primeros conocimientos numéricos. I. El número y la numeración son objetos culturales, utilizados cotidianamente en el medio familiar y social. Es ingenuo no tener esto en cuenta en la enseñanza y hacer como si el niño no conociera absolutamente nada relacionado con el dominio numérico al llegar a la escuela. Debemos tener en cuenta los saberes previos de los alumnos, enriquecer sus prácticas iniciales y sus procedimientos primitivos en torno al número y a su designación (la numeración). II. Para diseñar el proceso de enseñanza, no podemos servirnos únicamente de la definición matemática de número natural y de las reglas del algoritmo de "contar", tenemos necesidad de determinar un conjunto de situaciones que permita a los niños, desde la Educación Infantil, encontrar las razones de ser del número y la numeración. III. Si bien, en Matemáticas, número y numeración son objetos bien distintos (el número no depende del modo como lo designamos), creemos, sin embargo, que esta distinción no es suficiente para considerar las funciones específicas de cada uno de ellos en la enseñanza de modo aislado. No podemos pensar que el 9 Para profundizar y ampliar conocimientos didácticos en este dominio, recomendamos la lectura de Ruiz Higueras, L. (2011) La construcción de los primeros conocimientos numéricos. En Chamorro, C. (Ed.) Didáctica de las Matemáticas Infantil. Madrid : Pearson. 22
número pueda aprenderse en los primeros niveles escolares independientemente de la numeración. IV. Estudios de epistemología y de Didáctica de las Matemáticas como los pioneros de El Bouazzaoui 10 (1985), o Quevedo 11 (1986), dirigidos por Brousseau, ponen de manifiesto, cómo las nociones de número y numeración están íntimamente ligadas. Las relaciones entre números y numeración son dialécticas. La numeración nos permite hablar de los números y representarlos, en consecuencia, debe hacerlo de una forma cómoda, eficaz y económica. Su función es designar (enunciar y escribir) los números y modelizar las propiedades de los números. V. Así pues, no consideramos adecuado hablar "a priori" de funciones de la numeración y del número de forma independiente. Por ello, consideramos necesario crear situaciones que permitan describir el funcionamiento adecuado e idóneo del número junto con su designación (la numeración). Las situaciones que pueden dar significación al número y la numeración serán aquellas que den respuesta a la pregunta: Para qué tenemos necesidad del número y de su designación? 6.2. Para qué tenemos necesidad del número y de su designación (numeración)? Desde la Escuela Infantil, consideraremos fundamental proponer a los alumnos situaciones que les permitan construir con sentido las funciones 12 del número y de la numeración. Las funciones esenciales del número en este nivel educativo son: medir una colección: asignar un número natural a una colección, producir una colección: operación inversa a la anterior (es decir, dado un número, construir una colección cuyo cardinal sea dicho número), ordenar una colección: asignar y localizar la posición de los diferentes elementos de una colección. 10 El Bouazzaoui, H. (1985) Étude de situations scolaires des premiers enseignements des nombres et de la numeration. Thèse. Université de Bordeaux. 11 Quevedo de Villegas, B. (1986) Les situations et le processus dans l apprentissage des nombres. D.E.A. Université de Bordeaux. 12 Nos hemos apoyado en los trabajos de El Bouazzaoui y Quevedo de Villegas antes mencionados. 23
6.3. Situación fundamental para la cardinación de una colección mediante la actividad de contar El conocimiento de los primeros números naturales se manifiesta por el conteo. En la vida diaria, todo el mundo sabe lo que es contar: se trata de una actividad totalmente naturalizada, que conocemos y dominamos sin ninguna dificultad. Socialmente, el contar es algo que se hace, no es algo que se explica. Vamos a determinar un modelo de situación-problema que nos permita realizar con sentido las actividades de cardinar y contar en la escuela. Construir una situación fundamental, 13 para que a través de la actividad de contar determinemos el cardinal de una colección, supone definir una clase de situaciones con un cierto número de variables didácticas que, al tomar distintos valores, permita generar un conjunto de problemas característicos del contar. Serán problemas donde el contar constituya su solución óptima y que debe resolver alguien que no posee este conocimiento: que no sabe contar. Esta situación fundamental se puede modelizar con el siguiente juego: dada una cierta cantidad de objetos (por ejemplo, botes de pintura), pedimos a un niño que vaya a otro lugar, desde el que no ve los objetos anteriores, a buscar otro tipo de objetos (por ejemplo, pinceles) y que, en un sólo viaje, traiga aquellos que necesite para poner un sólo pincel en cada bote sin que sobre ni falte ninguno. Diremos que alguien sabe contar en el sentido de la teoría de situaciones cuando es capaz de realizar correctamente esta tarea y, aún más, cuando es capaz de pedirle a alguien la cantidad exacta de pinceles que necesita y controlar si ha llevado a cabo estas acciones correctamente. (Brousseau 14, 1995, p. 12) Esta situación fundamental describe una actividad humana concreta, no un método de enseñanza. Está claro que, en cuanto modelo de actividad, también puede ser utilizado en la enseñanza. Pero su función principal es dar cuenta de las distintas actuaciones 13 La noción de situación fundamental se ha definido anteriormente, en la p de este trabajo. 14 Brousseau, G. (1995) Didactique des sciences et formation des professeurs, En Comiti, C. (Ed.) Didactique des disciplines scientifiques et formation des enseignants. Grenoble: IUFM de Grenoble. 24
que designamos culturalmente como acciones de contar, y de las condiciones que se requiere para realizar dichas actuaciones. Por ejemplo, cuando alguien recita la serie numérica uno, dos, tres,... no está resolviendo el problema de la situación fundamental, sólo está realizando uno de los pasos posibles. Si además de recitar señala con el dedo cada uno de los botes de pintura, estará más cerca de la estrategia ganadora. Si también sabe detenerse en el último número enunciado se habrá acercado aún más, etc. Para generar los distintos tipos de problemas que designamos habitualmente como problemas de contar, basta con modificar el valor de las variables de la situación: podemos considerar, por ejemplo, que hay un número muy reducido de botes (4 o 5) o, al contrario, un número muy alto (alrededor de 25.000); podemos suponer que los pinceles están al lado de los botes o muy alejados; que no tenemos acceso a ellos, sino que se venden por paquetes de 50; que en lugar de botes y pinceles, se trata de pollitos (en continuo movimiento) y anillas (para colocárselas), que la colección está formada por objetos muy distintos o tan iguales como los lados de un dodecaedro regular; que la colección se ubica en un macroespacio: los árboles de un bosque, o por el contrario, en un microespacio: glóbulos rojos, plaquetas, etc. Situación fundamental que permite movilizar el número natural - cardinal. Una persona debe ir a buscar, en una sóla vez, una colección C 2 coordinable 15 con una colección de referencia C 1. Las colecciones C 1 y C 2 están visibles y disponibles simultáneamente en el momento de la validación, pero no en el momento de la construcción. Es decir, mientras la persona construye C 2 no puede visibilizar C 1. 15 Una colección A se dice que es coordinable con otra colección B si entre ambas se puede establecer una aplicación biyectiva, es decir, si a todos y cada uno de los elementos de A se le puede asociar uno y solo un elemento de B. Por ejemplo, la colección de dedos de nuestra mano izquierda es coordinable con la colección de dedos de nuestra mano derecha. 25
6.4. Tipos de situaciones. Tomando como base la situación fundamental definida anteriormente, el profesor/a de la Escuela Infantil puede diseñar toda una serie de situaciones a-didácticas mediante una gestión adecuada de sus variables didácticas, apoyándose en un modelo de aprendizaje constructivista por adaptación al medio 16. A continuación se proponen varios tipos: Situaciones de autocomunicación: El propio niño/a dispone de la colección de referencia C 1 y va a buscar en una sola vez una colección coordinable C 2. Situaciones de comunicación oral: El profesor dispone de una colección de referencia C 1 y pide oralmente a un niño A 1 que vaya a buscar justo los objetos necesarios de otra colección C 2 para construir una colección coordinable con C 1. ( Quiero que me traigas en un solo viaje las canicas necesarias para que en cada uno de los vasos de esta bandeja haya una y sólo una.) La comunicación también se puede llevar a cabo entre dos niños (A 1 y A 2 ). El recurso al conteo se considera como el procedimiento óptimo para que el niño resuelva este problema. Como, normalmente, no surge de modo espontáneo en los niños, supone un aprendizaje muy importante en este nivel educativo. Situaciones de comunicación escrita: Un niño A 1 dispone de una colección de referencia C 1 y pide por escrito a otro niño A 2 que vaya a buscar justo los objetos necesarios de otra colección C 2 para construir una colección que tenga tantos elemento como C 1. La resolución de este problema necesita: a. Que A 1 formule un mensaje en el que pueden figurar: Marcas tales como: 16 Este modelo de aprendizaje se estudia en Ruiz-Higueras, L. (2011) Aprendizaje y Matemáticas. En Chamorro, C. (Ed.) Didáctica de las Matemáticas en Infantil. Madrid: Pearson 26
Quiero tantas pegatinas como he dibujado, lo que muestran la puesta en funcionamiento de la propiedad de invariancia de la cantidad: la coordinabilidad entre dos colecciones no depende de la naturaleza de los objetos (principio de abstracción). Escritura del dígito que represente el cardinal de la colección C 1 : por ejemplo: 7. Escritura sucesiva de los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Otras b. Que A 2 sepa interpretar el mensaje que ha escrito A 1 y sea capaz de producir una colección, tomando los elementos necesarios de C 2, a partir de una escritura codificada. 6.5. Familia de situaciones a-didácticas que constituyen la situación fundamental del número natural en su aspecto cardinal Presentamos a continuación toda una familia de situaciones, diseñadas para que puedan vivir en la Escuela Infantil, que verifican las condiciones exigidas por la situación fundamental del número natural en su aspecto cardinal. En consecuencia, todas ellas tienen la misma estructura, aunque para los niños/as suponga resolver problemas diferentes, por las características del material, del contexto, de las consignas, etc. Para solucionarlas necesariamente deben cardinar colecciones movilizando como estrategia óptima el conteo, junto con la designación oral y escrita de los números (la numeración). S itu a ció n : L A C A S IT A S itu a ció n : E l R O B O T S itu a ció n : P o n e r la M E S A N ú m e ro n a tu ra l: C a rd in a c ió n d e c o le c c io n e s S itu a ció n E l G A R A G E S itu a ció n : E l A U T O B Ú S S itu a ció n E l B a rq u ito Figura 10: Familia de situaciones a-didácticas que configuran la situación fundamental 27
EL AUTOBÚS (Educación Infantil 4/ 5 años) Situación didáctica para la actividad de contar: el número como memoria de la cantidad Objetivos: Utilizar el número para medir una cantidad y producir una cantidad. Utilizar los números como instrumentos eficaces para memorizar una cantidad. Construir diferentes procedimientos de "cardinación de colecciones. Utilizar la actividad de contar como el procedimiento más eficaz y económico para la cardinación de colecciones. Construir mensajes para designar los números en una actividad de comunicación (iniciar la construcción con sentido de la numeración oral y escrita) 17 Material: Un soporte formado por dos partes, una parte libre sobre la que se pondrán, en un primer momento, los "pasajeros" y otra parte sobre la que están dibujadas las plazas del autobús (con asientos libres y ocupados). Pequeños muñecos o fichas (serán los pasajeros del autobús). Hojas recambiables que representan la distribución de las plazas del autobús. (En esta actividad es necesario que, en la clase, el lugar donde se encuentran los "pasajeros" esté suficientemente alejado del lugar de los "autobuses", para que, en el momento en el que los niños estén tomando los "pasajeros" no puedan ver las plazas del autobús.) 17 Adaptación de la situación propuesta en Ermel (1999, p.90) Aprentissages numeriques, París: Hatier. 28
EL AUTOBÚS (continuación) Consignas: 1ª fase: Debéis de ir a buscar justo los "pasajeros" necesarios, sólo los necesarios, ni más ni menos, para completar las plazas libres del autobús. 2ª fase: Debéis de ir a buscar, en una sola vez, justo los "pasajeros" necesarios, sólo los necesarios, ni más ni menos, para completar las plazas libres del autobús. 3ª fase: Debéis pedirme por escrito, en un mensaje, los pasajeros que necesita vuestro autobús. Situación fundamental que permite movilizar el número natural - cardinal. Una persona debe ir a buscar, en una sóla vez, una colección C 2 coordinable 18 con una colección de referencia C 1. Las colecciones C 1 y C 2 están visibles y disponibles simultáneamente en el momento de la validación, pero no en el momento de la construcción. Es decir, mientras la persona construye C 2 no puede visibilizar C 1. Situación de EL AUTOBÚS En relación con la situación fundamental: - La colección C1 está formada por el conjunto de plazas libres del autobús. Esta colección la determina la maestra/a en función de los aprendizajes que quiera que los alumnos construyan. Ella selecciona la base del autobús. - La colección C2 la deben construir los niños/as. Cada uno debe formar la colección C2 determinando el número de pasajeros necesario para ocupar todas las plazas libres del autobús. 18 Una colección A se dice que es coordinable con otra colección B si entre ambas se puede establecer una aplicación biyectiva, es decir, si a todos y cada uno de los elementos de A se le puede asociar uno y solo un elemento de B. Por ejemplo, la colección de dedos de nuestra mano izquierda es coordinable con la colección de dedos de nuestra mano derecha. 29
EL AUTOBÚS: mensajes escritos por los niños/as: Base del autobús: Casillas negras: plazas ocupadas Casillas blancas: plazas libres María Elena Juan José Juan Isabel María Pedro María Elena: reproduce icónicamente todos los asientos (libres y ocupados). A cada columna de asientos le asigna su cardinal. Escribe 11 = 1 + 1, intentado expresar (en este caso, erróneamente) la descomposición aditiva del número. La escritura del once para ella es realmente un 1 y un 1. Este error, que lo manifiestan muchos niños en este nivel, es debido a la total falta de significación del aprendizaje de las escrituras algebraicas (a = b+c). Es el indicador de un obstáculo didáctico. Juan: dibuja todos y cada uno de los pasajeros (numeración icónico primitiva), junto con el numeral 11. Juan José: formula su petición correctamente. Expresa el cardinal de la colección en el sistema de numeración indoarábigo de base diez. Pedro: manifiesta un error en la cardinación de la colección (10 pasajeros, en lugar de 11). Expresa el numeral (10) con un error disléxico. Isabel María: necesita formular el cardinal de la colección (11 pasajeros) mediante la presencia de los once primeros numerales de la secuencia numérica, cada pasajero lo representa con un numeral. Para Isabel María, el numeral 11 no es representativo de todos los pasajeros, sólo representa al último. Esta producción nos muestra la existencia de un obstáculo ontogenético: falta de maduración en la inclusión jerárquica de clases. 30
PONER LA MESA (Educación Infantil 3 años) Situación didáctica para el aprendizaje del número como memoria de la cantidad Objetivos: - Dotar de funcionalidad y sentido al número y a su designación (la numeración). - Construir el número natural como memoria de la cantidad: permite evocar una cantidad sin que esté presente. Material: - Menaje de mesa: platos, vasos, cucharas, tenedores, cuchillos de plástico. - Mesas (rectangulares o redondas) donde se sentarán los comensales. Consigna: Vamos a jugar a los camareros. Unos niños se sentarán en la mesa de un restaurante y otros serán los camareros/as. En cada mesa se nombra a un niño como responsable de hacer las peticiones al camarero. El responsable debe pedir por escrito al camarero los platos 19 que se necesitan para que cada niño de la mesa tenga uno y sólo uno. Debéis pedir los platos necesarios, repito, justo los precisos, ni más ni menos. El lugar donde se ubica el almacén del menaje debe estar suficientemente alejado de las mesas, de tal manera, que los camareros no puedan ver a los comensales mientras cogen los utensilios. Cada camarero tiene que tomar del almacén tantos platos como le han indicado por escrito. Producciones escritas de los niños/as: Nota: en relación con la situación fundamental definida anteriormente, la colección C1 está formada por los niños que hay sentados en una mesa. La colección C2 la produce cada camarero y estará configurada por los platos necesarios para que cada niño de esa mesa tenga uno y sólo uno. 19 O en su caso los vasos, los tenedores, los cuchillos, las cucharas, las servilletas, etc. 31
LA CASITA (Educación Infantil 4/5 años) Situación didáctica para el aprendizaje del número como memoria de la cantidad y como memoria de la posición. Objetivos: Dotar de funcionalidad y sentido al número y a su designación (la numeración). - Construir los aspectos relativos a número y la numeración como: - memoria de la cantidad: permite evocar una cantidad sin que esté presente (aspecto cardinal), - memoria de la posición: permite evocar el lugar de un objeto en una sucesión ordenada (aspecto ordinal). Material: - Un cartel con una casita decorada, según el modelo adjunto. - Una ficha con una casita, cuya cuadrícula estará sin decorar, para cada niño/a. - Cajas que contienen pegatinas de colores. Consigna: Voy a poner en vuestra mesa una ficha que tiene una casita, cada niño/a debe decorarla de modo que quede exactamente igual que el modelo. En la mesa del profesor tenéis cajas que contienen pegatinas de colores. Debéis pedirme por escrito en un papel las pegatinas que necesitéis para completar vuestra casita, repito, justo las precisas, ni más ni menos. Los niños necesariamente deben desplazarse para ver el cartel-modelo de la casita y poder construir sus mensajes, pero una vez que están en su mesa, no le es accesible a la vista. Los niños/as, observan el cartel de la casita, formulan su mensaje, lo muestran a la maestra, ésta lo lee y les da las pegatinas que piden. NOTA: en relación con la situación fundamental definida anteriormente, la colección C1 está formada por las pegatinas que decoran el cartel-modelo. La colección C2 la produce cada niño/a cuando pide las pegatinas que necesita para construir su casita. 32
Análisis de los mensajes producidos por los niño/as A. Mensajes formulados por los niños/as para pedir las pegatinas que necesitan para producir cada uno de ellos su casita de acuerdo con el modelo propuesto por la maestra. Raquel María Fátima Producciones escritas de los niños: Como podemos observar, los niños emplean diferentes tipos de códigos, desde numeraciones primitivas icónicas, que tratan de reproducir la forma y el color de las pegatinas, hasta los signos correctos de las cifras de nuestro sistema de numeración. Jesús Pedro - Raquel reproduce analógicamente las pegatinas, su petición es correcta. - Fátima reproduce analógicamente las pegatinas y añade correctamente el cardinal de cada una de las colecciones usando las cifras de nuestro sistema de numeración. - María expresa el cardinal de cada una de las colecciones de pegatinas usando las cifras de nuestro sistema de numeración. Indica, además, con toda precisión la propiedad característica de cada colección (su color). - Jesús emplea correctamente las cifras de nuestro sistema de numeración y expresa la propiedad característica de cada colección escribiendo en castellano su color. - Pedro emplea gráficos icónicos, pero no llega a cardinar correctamente las colecciones. 33