Perspectivas. Caballera En este nuevo tema ampliaremos los conceptos y procedimientos sobre la perspectiva caballera, aprendidos en el curso pasado. No obstante, te recomendamos que repases los contenidos desarrollados en el tema 3 (axonometría oblicua: caballera) de la Unidad Didáctica IV, los sistemas de representación. Aprenderás a proyectar las superficies poliédricas y radiadas en posiciones más complejas respecto de los ejes de coordenadas axonométricos. Y a determinar la intersección de un plano sobre dichas superficies. En la imagen superior puedes ver un "trampantojo" realizado en una de las capillas de la catedral de Santa de Cecilia en Albi (Francia), observa cómo la ubicación de cada perspectiva del prisma rectangular concede a la composición una mayor profundidad. Actividad 1 de 45
Archivo no encontrado Firefox no puede encontrar el archivo en /embed /9Dd8DhpyZmI. Antes de empezar te aconsejamos que visualices el vídeo superior, en él puedes ver cómo traza la perspectiva caballera de una figura. 2 de 45
1. Generalidades A diferencia de la axonometría ortogonal (isometría) en la perspectiva caballera es aconsejable aplicar siempre el coeficiente de reducción. Recordarás que este lo hacíamos de dos maneras sobre cada magnitud del dibujo relacionada con el eje Y (profundidades): Matemáticamente: aplicamos el coeficiente (1/2 = 0,5) Gráficamente: construimos el vector dirección de reducción según el coeficiente dado, y mediante paralelas lo aplicamos. Como ya hemos hecho en la perspectiva isométrica, en este tema también aplicaremos un método ya aprendido en el sistema diédrico: el abatimiento; pero solamente los planos XOY e YOZ, ya que el XOZ está en verdadera magnitud. Además aprenderás a determinar la intersección entre recta y plano, y entre planos. Antes de empezar te aconsejamos que repases los contenidos y procedimientos del curso anterior explicados en el tema 3. Axonometría Oblicua: Caballera, de la unidad didáctica IV, los sistemas de representación (II). En la imagen superior puedes ver algunas varias figuras planas representadas en perspectiva caballera, según un determinado coeficiente de reducción. Conocimiento previo 3 de 45
ciudad de Washington (USA) podemos diseñar figuras geométricas quitando cubos (hexaedros) visualizándolas además desde distintos puntos de vista. Pulsa sobre la imagen para acceder a la web. Pregunta Verdadero-Falso 4 de 45
Es la relación entre la proyección de un segmento del eje X, y su longitud real en el espacio. Verdadero Falso Es la relación entre la proyección de un segmento del eje Y, y su longitud real en el espacio. Verdadero Falso Es la relación entre la proyección de un segmento del eje Z, y su longitud real en el espacio. Verdadero Falso 5 de 45
1.1. Coeficiente de Reducción Actividad Podemos determinar el coeficiente de reducción usando cualquier eje (X o Z); pero por comodidad usaremos la prolongación del eje Z (-Z). 6 de 45
Coeficiente de reducción 2/3. En la siguiente animación puedes ver cómo hemos determinado la perspectiva caballera de un triángulo ABC, según los siguientes datos: Lado AC paralelo a un eje axonométrico (X). Ángulo XOY = 135º (perfil derecho). CR = 2/3. 7 de 45
Coeficiente de reducción 1/2. En la siguiente animación te mostramos cómo hemos determinado la perspectiva caballera de un cuadrado ABCD, según los siguientes datos: Lados oblicuos a los ejes axonométricos. Ángulo XOY = 45º (perfil izquierdo). CR = 1/2. Objetivos 8 de 45
Archivo no encontrado Firefox no puede encontrar el archivo en /embed /T06czN5lqM4. 9 de 45
1.2. Intersecciones Para determinar la perspectiva caballera de la intersección entre dos planos, o entre una recta y un plano debemos representar sus proyecciones axonométricas, aplicando el coeficiente de reducción mediante abatimiento. Se entiende que la recta o el punto intersección es la proyección directa. En la imagen superior puedes ver cómo se ha determinado la intersección entre dos planos paralelos a la línea de tierra, lógicamente la recta solución será una recta paralela a dicha línea. 10 de 45
Intersección entre planos. La intersección de las trazas de los planos nos determinará la proyección directa de la recta intersección. En la siguiente animación te mostramos cómo se determina la recta intersección entre dos planos paralelos a la LT. 11 de 45
Intersección entre recta y plano. La proyección directa del punto intersección quedará determinada por la intersección entre una de las trazas del plano y la proyección secundaria correspondiente de la recta. En la animación inferior te mostramos cómo se ha determinado la intersección de una recta de perfil con un plano paralelo a la LT. En este caso la intersección de la traza del plano con la proyección secundaria (perfil) nos determina la proyección directa del punto intersección. 12 de 45
1.3. Circunferencia por afinidad Dependiendo de cómo esté dispuesta la circunferencia respecto de los planos del triedro, obtendremos dos tipos de proyecciones: Circunferencia: si la curva está contenida o es paralela al plano XOZ. Elipse: si la curva contenida o es paralela a los planos XOY, YOZ. Así pues para este último caso, podemos aplicar los conceptos y procedimientos aprendidos en los temas de la Unidad Didáctica II: Curvas y transformaciones proyectivas de Dibujo Técnico II, para representar la perspectiva caballera de la circunferencia. En la imagen superior puedes ver cómo se ha obtenido la perspectiva caballera de la circunferencia, contenida en el plano XOY, aplicando dos métodos (abatimiento y afinidad). La elipse proyección se ha obtenido determinado sus diámetros conjugados (abatimiento) y en los ejes (afinidad). Para simplificar su trazado la hemos inscrito en un cuadrado. Actividad 13 de 45
En el siguiente vídeo puedes ver la relación que se establece entre dichos puntos y las distintas perspectivas de la circunferencia. Archivo no encontrado Firefox no puede encontrar el archivo en /embed /DJOQJtVS_ns. 14 de 45
Métodos. En el tema 1, curvas cónicas (I), de la Unidad Didáctica II: Curvas y Transformaciones Proyectivas, vimos varios métodos que nos permitían representar la perspectiva isométrica y caballera de una circunferencia, obteniendo siempre la posición exacta de los ejes de simetría de la elipse, pero no su magnitud; pero en cambio, sí podíamos situar dos de sus diámetros conjugados y las longitudes de ambos. En este tema vamos a estudiar de manera detenida dichos métodos, lo que nos permitirá determinar de manera rápida y sencilla los puntos de la elipse, perspectiva caballera de la circunferencia. Por puntos. Método general similar al usado en isométrico, establecemos una afinidad entre los puntos de la circunferencia del plano ZOX y la elipse del YOX. Por abatimiento. Abatimos el plano YOX sobre el plano del cuadro ZOX, u otro plano paralelo a este. También se establece una relación de afinidad. Por Afinidad. La circunferencia del plano ZOX y la elipse del YOX son afines, siendo el eje X el eje de afinidad, la dirección de afinidad queda determinada por el segmento que uno los centros de las curvas. En la animación inferior puede ver de manera detallada el procedimiento que debes seguir para obtener la perspectiva caballera, mediante afinidad, de una circunferencia contenida en el plano XOY. 15 de 45
Objetivos El trazado de la perspectiva caballera de la circunferencia es parte esencial en la construcción de superficies radiadas como el cono y el cilindro. En el siguiente vídeo puedes ver cómo a partir de la perspectiva caballera de la circunferencia base de un cilindro recto de revolución se obtiene la perspectiva de dicha superficie. Archivo no encontrado Firefox no puede encontrar el archivo en /embed/pt95ad5d5rk. Compruebe que el nombre de archivo no tiene errores de escritura, incluyendo el uso de mayúsculas. Compruebe si el archivo ha sido movido, renombrado o eliminado. 16 de 45
En la imagen superior puedes ver cómo se ha trazado la perspectiva caballera de una circunferencia contenida en el plano XOY, según los parámetros establecidos. Dicha circunferencia es tangente a los plano XOZ e YOZ, por tanto será también tangente a los ejes axonométricos X e Y. Te pedimos que apliques los contenidos y procedimientos adquiridos hasta ahora para trazar la perspectiva caballera mediante las herramientas de dibujo tradicionales. Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf. 17 de 45
2. Poliedros Como hicimos en el tema anterior, perspectiva isométrica, también vamos a estudiar solamente los siguientes poliedros: tetraedro, hexaedro y octaedro. En la imagen superior puedes ver la perspectiva caballera de estos poliedros. Actividad Para representar cualquier poliedro primero debemos representar su proyección sobre el plano en el que está apoyado y finalmente levantaremos sus alturas. 18 de 45
2.1. Tetraedro La perspectiva caballera del tetraedro no presenta dificultad alguna, salvo la determinación de su altura. Podemos aplicar lo aprendido en su representación para obtener la perspectiva caballera de las pirámides regulares. En la imagen superior puedes ver cómo se ha determinado la perspectiva caballera de un tetraedro cuyas aristas básicas son oblicuas a los ejes de coordenadas axonométricos. Actividad Recuerda que para obtener las proyecciones diédricas de un tetraedro solamente necesitamos conocer la longitud de su arista, ya que altura la podemos determinar mediante el abatimiento de su sección principal. 19 de 45
Arista base paralela a un eje axonométrico. En este caso una de las aristas base está contenida en uno de los ejes de coordenadas axonométrico. En la siguiente animación puedes ver cómo se ha trazado la perspectiva caballera de dicho poliedro según un coeficiente de reducción dado. 20 de 45
Aristas bases oblicuas a los ejes axonométricos. En este caso particular hemos dispuesto una de las aristas base con un ángulo de 15º grados respecto del eje de coordenadas axonométrico X. En la animación inferior te mostramos cómo se determina la perspectiva de dicho poliedro. Caso práctico 21 de 45
En la imagen superior puedes ver cómo se ha trazado la perspectiva caballera de un tetraedro ABC en el triedro XOY, según los parámetros establecidos. Conocemos las proyecciones diédricas del poliedro. Te pedimos que apliques los contenidos y procedimientos adquiridos hasta ahora para trazar la mediante las herramientas de dibujo tradicionales. Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf. 22 de 45
2.2. Hexaedro Como ya vimos en el tema anterior la representación de la perspectiva del Hexaedro es la más sencilla de representar ya que su altura se corresponde con la longitud de su arista. Podemos aplicar lo aprendido en su representación para obtener la perspectiva caballera de los prismas regulares. En la imagen superior te mostramos cómo se ha determinado la perspectiva caballera de un hexaedro cuyas aristas básicas son oblicuas a los ejes de coordenadas axonométricos. 23 de 45
Arista base paralela a un eje axonométrico. Como la base es un cuadrado si una arista base es paralela a uno de los ejes de coordenadas axonométricos, las otras lo serán al otro correspondiente. En este caso particular la arista está contenida en el eje X. En la animación inferior te mostramos el procedimiento a seguir para trazar la perspectiva de dicho poliedro. 24 de 45
Aristas bases oblicuas a los ejes axonométricos. En este caso particular hemos dispuesto una de las aristas base con un ángulo de 30º grados respecto del eje de coordenadas axonométrico X. En la animación inferior te mostramos cómo se determina la perspectiva de dicho poliedro. Objetivos 25 de 45
Archivo no encontrado Firefox no puede encontrar el archivo en /embed /WtpVv2YNMy8. Caso práctico 26 de 45
En la imagen superior te mostramos cómo se ha trazado la perspectiva caballera de un hex apoyado sobre el triedro XOY por una de sus caras (ABCD), siendo las secciones principales per al plano XOZ. Conocemos las proyecciones diédricas de dicho poliedro. Te pedimos que apliques los contenidos y procedimientos adquiridos hasta ahora para su reso herramientas de dibujo tradicionales. Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf. 27 de 45
2.3. Octaedro Como ya vimos en el tema anterior, dada la complejidad de este poliedro solamente vamos a determinar la perspectiva caballera a partir de una posición particular: apoyado en el plano YOX por un vértice de la arista principal, perpendicular a dicho plano. Recuerda que cuando un octaedro está apoyado en el plano de proyección por una de sus diagonales principales, perpendicular a dicho plano, cuatro de sus aristas tienen la misma cota, por lo que estarán contenidas en un plano horizontal. En la imagen superior puedes ver cómo hemos determinado la perspectiva caballera de un octaedro siendo sus aristas horizontales oblicuas a los ejes de coordenadas axonométricos. Actividad Recuerda que para poder representar la perspectiva de un octaedro necesitamos conocer, como mínimo, la medida de su arista, ya que su altura vendrá dada por su diagonal principal. 28 de 45
Aristas horizontales paralelas y perpendiculares a los ejes axonométricos. En este caso dos de las aristas horizontales están en planos del triedro (XOZ e YOZ). En la siguiente animación te mostramos el procedimiento a seguir. 29 de 45
Aristas horizontales oblicuas a los ejes axonométricos. En este caso particular hemos dispuesto una de las aristas horizontales con un ángulo de 30º grados respecto del eje de coordenadas axonométrico X. En la animación inferior te mostramos cómo se determina, mediante abatimiento de la planta sobre el plano XOZ, la perspectiva de dicho poliedro. Caso de estudio 30 de 45
En la imagen superior te mostramos cómo se ha trazado la perspectiva caballera de un octaedro sobre el triedro XOY por una de sus diagonales principales (AF), siendo una de las diagonales p paralela a la LT. Conocemos las proyecciones diédricas de dicho poliedro. Te pedimos que apliques los contenidos y procedimientos adquiridos hasta ahora para su reso herramientas de dibujo tradicionales. Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf. 31 de 45
3. Superficies radiadas La realización de la perspectiva caballera de las superficies radiadas nos permitirá acometer el trazado de figuras más complejas. En la imagen superior te mostramos la perspectiva caballera de un prisma y una pirámide regulares; y de un cilindro y un cono rectos de revolución. 32 de 45
3.1. Pirámides Como vimos en el tema anterior, el trazado de su perspectiva es similar al del Tetraedro, salvo por la determinación de su altura que siempre nos vendrá dada. Dado que la base de estas superficies debe ser un polígono regular (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono, hexágono, etc..) la resolución de cualquier perspectiva caballera debe pasar primero por la de dicha figura plana. Así pues, siempre comenzaremos dibujando la perspectiva de la planta y luego determinaremos el vértice de la altura. En la imagen superior te mostramos la perspectiva de una pirámide regular de base cuadrangular, según sus vistas diédricas dadas. Actividad Vuelve a repasar los conceptos y procedimientos sobre polígonos regulares. 33 de 45
Aristas bases oblicuas a los ejes axonométricos (base triangular). Como la pirámide es regular la base debe ser un triángulo equilátero, por lo que tendrá cierta similitud con el trazado del Tetraedro. En este caso particular uno de los vértices está contenido el centro O del triedro. En la animación inferior te mostramos el procedimiento a seguir para trazar la perspectiva caballera de dicha pirámide. 34 de 45
Aristas bases oblicuas a los ejes axonométricos (base cuadrangular). En este caso particular hemos dispuesto una de las aristas base con un ángulo de 30º grados respecto del eje de coordenadas axonométrico X. En la animación inferior te mostramos cómo se determina, mediante abatimiento de la planta sobre el plano XOZ, la perspectiva de dicho poliedro. Caso de estudio 35 de 45
En la imagen superior te mostramos cómo se ha trazado la perspectiva caballera de una pirámide de base hexagonal apoyada en el triedro XOY por su base ABCDEF. Conocemos sus proyecciones diédricas, siendo sus aristas bases oblicuas a los ejes axonométric Te pedimos que apliques los contenidos y procedimientos adquiridos hasta ahora para su reso herramientas de dibujo tradicionales. Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf. 36 de 45
3.2. Prismas La determinación de su perspectiva es similar al del Hexaedro, excepto por la altura que siempre nos vendrá dada. Como la base de estas superficies debe ser un polígono regular (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono, hexágono, etc..) la resolución de cualquier perspectiva caballera debe pasar primero por la de dicha figura plana. Por tanto, debemos comenzar trazando la perspectiva de la planta, aplicando el coeficiente de reducción dado, y finalmente dibujar las aristas laterales. En la imagen superior puedes ver la perspectiva de un prisma regular de base triangular, dibujada según sus vistas diédricas dadas. Actividad Nosotros solamente vamos a estudiar los cilindros rectos de revolución y los prismas regulares. 37 de 45
Arista base paralela a un eje axonométrico. Como las bases del prisma son pentágonos regulares solamente puede tener una arista paralela a uno de los ejes de coordenadas axonométrico. En este caso particular la arista está contenida en el eje X. En la animación inferior te mostramos el procedimiento a seguir para trazar la perspectiva caballera de dicho prisma. 38 de 45
Aristas bases oblicuas a los ejes axonométricos. En este caso particular hemos dispuesto una de las aristas bases con un ángulo de 30º respecto del eje de coordenadas axonométrico X, además un vértice de la base está contenido en el centro O del triedro. En la animación inferior puedes ver cómo se ha determinado la perspectiva de dicho prisma. Caso práctico 39 de 45
En la imagen superior te mostramos cómo se trazado la perspectiva caballera de un prisma regula de base hexagonal apoyado el triedro XOY. Conocemos sus proyecciones diédricas, siendo sus aristas bases oblicuas a los ejes axonométric Te pedimos que apliques los contenidos y procedimientos adquiridos hasta ahora para su reso herramientas de dibujo tradicionales. Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf. 40 de 45
4. QCAD. Ejercicios En esta unidad didáctica continuamos aplicando los conceptos y procedimientos aprendidos sobre el manejo de la aplicación QCAD para resolver ejercicios, en este caso el trazado de perspectivas caballeras de superficies poliédricas y radiadas. Debes crear en cada archivos dxf una capa llamada trazado para realizar en ella los trazados. Recuerda que no pretendemos que aprendas nuevas herramientas o comandos, solamente te pedimos que repases las prácticas que has realizado hasta ahora. 41 de 45
4.1. Poliedros Aplicando los conceptos y procedimientos aprendidos sobre el programa QCAD realiza los siguientes ejercicios: Caso de estudio En la imagen superior puedes ver cómo se ha trazado la perspectiva caballera de un tetraedro plano P paralelo a la LT (paralelo al eje X). Para su dibujo conocemos las proyecciones del poliedro y de las trazas del plano secante P. Te pedimos que, mediante las herramientas de la aplicación QCAD, determines la perspectiva ca seccionado, según los parámetros establecidos. Para realizar este ejercicio debes descargar este archivo dxf. Caso práctico 42 de 45
En la imagen superior te mostramos cómo hemos determinado la perspectiva caballera de un h por un plano P proyectante vertical (de canto). Para su dibujo conocemos las proyecciones del poliedro y las trazas del plano P. Te pedimos que, mediante las herramientas de la aplicación QCAD, determines la perspe seccionado, según los parámetros establecidos. Para realizar este ejercicio debes descargar este archivo dxf. 43 de 45
4.2. Superficies radiadas Aplicando los conceptos y procedimientos aprendidos sobre el programa QCAD realiza los siguientes ejercicios: Caso práctico En la imagen superior puedes ver cómo se ha trazado la perspectiva caballera de una pirám pentagonal seccionada por un plano P proyectante vertical (plano de canto). Para su dibujo conocemos las proyecciones de la pirámide y la perspectiva caballera del plano sec Te pedimos que, mediante las herramientas de la aplicación QCAD, determines la perspec pirámide seccionada, según los parámetros establecidos. Para realizar este ejercicio debes descargar este archivo dxf. Caso práctico 44 de 45
En la imagen superior te mostramos cómo se ha trazado la perspectiva caballera de un pris hexagonal seccionado por un plano P plano paralelo a la LT (eje isométrico X). Para su dibujo conocemos las proyecciones del prisma y de las trazas del plano P. Te pedimos que, mediante las herramientas de la aplicación QCAD, determines la perspectiva seccionado, según los parámetros establecidos. Para realizar este ejercicio debes descargar este archivo dxf. 45 de 45