INVESTIGACION DE OPERACIONES MODELOS DE LINEAS DE ESPERA 1 Modelos de líneas de espera 1. Estructura del sistema. 2. Un canal con tasa de llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales. 3. Múltiples canales de llegadas de Poisson y tiempos de servicios exponenciales. 4. Análisis económico de las líneas de espera. 5. Aplicaciones. 2 1
INTRODUCCION 3 La Teoría decolas fue formulada por el matemático Agner Krarup Erlang (Dinamarca, 1878-1929). En1909 realizó el análisis de la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones lo llevaron a elaborar una nueva teoría llamada teoría de colas, por la de línea de espera. 4 2
CARACTERISTICAS OPERATIVAS DE LOS SISTEMAS DE COLAS: 1. Probabilidad de que no hayan clientes en el sistema. 2. Cantidad promedio de clientes en la línea de espera. 3. Cantidad promedio de clientes en el sistema (clientes en la cola más clientes que están siendo atendidos) 4. Tiempo promedio que pasa un cliente en la cola. 5. Tiempo promedio de clientes en el sistema (el tiempo de espera más el tiempo de servicio). 6. Probabilidad de que un cliente que llegue, tenga que esperar en la cola. 5 10.1 ESTRUCTURA DEL SISTEMA 6 3
10.1 ESTRUCTURA DEL SISTEMA a. Población o clientes Son las entidades que requieren el Servicio Ejemplos: Máquinas que necesitan mantenimiento Piezas que requieren alguna operación Cargas a ser transportadas Personas por recibir el servicio Objetos por ser procesados/atendidos/despachados Documentos, etc. 7 10.1 ESTRUCTURA DEL SISTEMA b. Llegadas Formalización de reglas que rigen la generación de la necesidad de un servicio. La tasa de llegada del insumo puede ser: Constante (las piezas que se pasan por una línea de montaje) Variable (la llegada de pacientes a una clínica) Por tanto: El número de llegadas puede definirse por una distribución aleatoria. 8 4
Las llegadas pueden modelarse mediante una distribución de Poisson: La probabilidad de que se produzcan n llegadas por unidad de tiempo, viene dada por: P( n) n e n! = Promedio de llegadas por unidad de tiempo. 9 Problema 1: En la farmacia PTL se realizó el análisis sobre los datos de las llegadas de los clientes y se observó que la tasa media de llegada es de 45 clientes por hora. Determine las probabilidades de llegada de 0, 1 y 2 clientes durante 1 minuto. 10 5
c. Cola Cuando el cliente que requiere el servicio llega al sistema, puede ocurrir que la unidad de servicio se encuentre ocupada atendiendo un requerimiento anterior, en este caso el cliente recién llegado tendrá que esperar a que la unidad de servicio quede libre para pasar a ocuparla. La espera se realizará físicamente en lo que estamos denominando cola o fila de espera. 11 Sistemas de colas: modelo básico Sistema de colas Llegadas Cola Disciplina de la cola Unidades de servicio Salidas 12 6
d. Sistema de Selección Criterio seguido para elegir al siguiente cliente que va a recibir el servicio cuando la unidad de servicio se encuentra disponible. El criterio queda definido mediante la especificación de la disciplina de la cola. Los más utilizados son: Primeras Entradas Primeras Salidas (PEPS) (FIFO) Últimas Entradas Primeras Salidas (UEPS) (LIFO) Clientes VIP Modos de emergencia ó urgencia dependiendo de lo crítico de la atención requerida. 13 e. Unidades de Servicio: El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores múltiples. Depende de la estructura física del servicio. El tiempo de servicio varía de cliente a cliente El tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio () El tiempo esperado de servicio equivale a 1/ Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25 clientes por hora, entonces el tiempo esperado de servicio es 1/ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos 14 7
e. Unidades de Servicio: Línea única y canal único de servicio Llegadas Cola Servidor Salidas 15 Varias líneas y canales múltiples de servicios Cola Servidor Salidas Llegadas Cola Servidor Salidas Cola Servidor Salidas 16 8
Una línea servidores secuenciales o etapas múltiples Llegadas Cola Servidor Cola Servidor Salidas 17 Distribución de los tiempos de servicio: Tiempo que un cliente pasa en la unidad de servicio una vez que el servicio se ha iniciado. Los analistas cuantitativos han considerado que puede suponerse que la distribución de probabilidades para el tiempo de servicio sigue una distribución de probabilidad exponencial. Usando la distribución de probabilidad exponencial, la probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual que un tiempo de duración t es: P( tiempo deservicio t) 1e t Donde: µ= la cantidad media de unidades que pueden servirse por período e= 2,718x8 (valor aproximado) 18 9
P(t) Distribución exponencial 0 Media Tiempo 19 f. Salidas Etiquetas para distintos modelos: Notación de Kendall: A/B/s A: Distribución de tiempos entre llegadas B: Distribución de tiempos determinísticos M: distribución Poisson o exponencial D: distribución determinada (Conocida) G: distribución de probabilidad general, con media y varianza conocida s: Número de servidores 20 10
Ejemplo: M/M/1: Entradas distribuídas exponencialmente, servicio distribuído exponencialmente y un servidor único. M/M/3 o simplemente M/M/s : Entradas distribuídas exponencialmente, servicio distribuído exponencialmente una sola cola y 3 servidores disponibles. 21 Datos claves en la Teoría de Colas : Tasa media de llegada de los clientes (ejm.: 4 clientes/min) 1/: Tiempo entre llegada de un cliente y otro cliente : Tasa media de servicio (ejm.: 5 clientes/min) 1/: Tiempo medio de servicio (ejm.: 0.2 min/cliente) s: cantidad de servidores. Algunos textos lo representan por k r=/s = factor de utilización del servicio Necesariamente r<1, sino, el sistema colapsa. 22 11
Medidas del desempeño del sistema de colas 1. Número esperado de clientes en la cola: L q 2. Número esperado de clientes en el sistema: L 3. Tiempo esperado de espera en la cola: W q 4. Tiempo esperado de espera en el sistema: W 23 MODELO M/M/1 1. Probabilidad de que no hayan unidades en el sistema: P 0 1 2. Cantidad promedio de unidades en la línea de espera: L q 2 ( ) 3. Cantidad promedio de unidades en el sistema: L L q 24 12
4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera: Lq Wq 5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema: W W q 1 6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio (probabilidad de que esté ocupado el servidor): P W 25 7. Probabilidad de n unidades en el sistema: n Pn ( ) P0 NOTA: Con frecuencia a λ/μ se le conoce como el factor de utilización del servicio. 26 13
Problema 1 En una estación de gasolina llegan, a una cola, en promedio 45 clientes por hora. La capacidad de atención en promedio es de 60 clientes por hora. Considere que se trata de un modelo M/M/1 Determine: a. La tasa media de llegadas y la tasa media de servicio. b. Tiempo esperado de espera en la cola W q c. Tiempo esperado de espera en el sistema W d. Número esperado de clientes en la cola L q e. Número esperado de clientes en el sistema L f. Factor de utilización del sistema. 27 Problema 2 La aduana terrestre ha considerado que una manera de controlar la evasión de impuestos es controlar el peso de los vehículos de carga que ingresan a Lima y los compara con los pesos de los vehículos a la salida de la ciudad de origen. La administración desea mejorar la calidad del servicio de control de pesado y ha seleccionado las instalaciones de Pucusana como modelo a estudiar, antes de realizar los cambios. La administración desea analizar y entender el desempeño del sistema actual durante las horas pico; es decir, cuando llega a la báscula el mayor número de camiones. Suponiendo que el sistema puede desempeñarse bien durante este período, el servicio en cualquier otro momento será aún mejor. Después de recopilar la información correspondiente se concluye que la cantidad promedio de camiones que llegan por hora es 40 y que la cantidad promedio de camiones que pueden ser pesados por hora es de 50. Considere que se trata de un modelo M/M/1 28 14
Identifique las tasas del sistema. a) Calcule el porcentaje de utilización del sistema b) Cantidad promedio de camiones haciendo cola c) El tiempo promedio de espera en cola d) El tiempo promedio en el sistema e) La cantidad promedio de camiones en el sistema f) Cuál es la probabilidad de que un camión que acaba de llegar, suba a la báscula inmediatamente? g) Calcule la probabilidad que un camión que llega tenga que esperar h) Calcule la probabilidad que hayan cinco camiones en el sistema. i) Cuál es la probabilidad que haya menos de tres camiones en cola? 29 Problema 3 En un estacionamiento un lavador de autos puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1 Además obtenga la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes. 30 15
Problema 4 En un restaurant de comidas rápidas llega en promedio 100 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora. Considere que es un sistema M/M/1. Calcule las medidas de desempeño del sistema. 31 Problema 5 En un supermercado que cuenta con 5 cajas para la atención de sus clientes llegan en promedio 80 clientes por hora. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Determine: a. Las medidas de desempeño. b. La probabilidad de tener 2 clientes en el sistema. c. La probabilidad de tener una cola de más de 4 clientes. d. La probabilidad de esperar más de 10 min. en la cola. 32 16
10.3 MODELO DE LINEA DE ESPERA CON CANALES MULTIPLES, LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES En este caso, se denominará k a la cantidad de canales 1. Probabilidad de que no haya clientes en el sistema: 2. Cantidad promedio de clientes en la línea de espera: 33 3. Cantidad promedio de clientes en el sistema: L L q 4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera: Lq Wq 5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema: W W q 1 34 17
6. Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio: 1 k k PW ( ) ( ) P0 k! k 7. Probabilidad de n unidades en el sistema: n ( ) Para n k Pn P0 n! n ( ) Pn k! k ( nk ) P 0 Para n > k 35 Con los parámetros del ejemplo anterior, calcule los siguientes parámetros para los modelos M/M/s: M/M/s S=2 S=3 S=4 Porcentaje de utilización: r L L q W W q P 0 36 18
10.4 ANALISIS ECONOMICO DE LA LINEA DE ESPERA 1. Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio y es más sencillo de determinar. Está relacionado a la operación de cada servidor. Podría incluir el salario, prestaciones de los servidores y cualquier otro costo directo asociado a los servidores. 2. Costo de espera: Representa el costo de oportunidad por el tiempo perdido del cliente. No es un costo directo para quien brinda el servicio, sin embargo, si se ignora y se permiten colas largas, los clientes se irán a otra parte, inclusive darán malas referencias del servicio, lo cual, en realidad, será costoso para quien brinda el servicio. Objetivo : Minimizar el costo total 37 Costos de Servicio y Costos de Espera Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio Costo COSTO TOTAL ESPERADO Costo Total Mínimo Costo por proporcionar el SERVICIO Costo por TIEMPO DE ESPERA Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio 19
Costo total = Costo del servicio + costo de espera Costo total = C s *s + C w *L Considerando: C s = Costo de servicio por período de tiempo de cada servidor (service cost) s = Cantidad de servidores C w = Costo de esperar por período de tiempo de cada cliente (wait cost) L = Cantidad promedio de clientes en el sistema Nota: C w es evaluado a priori por el analista. 39 Problema 6: Una pastelería que opera bajo el modelo M/M/1 analizó los datos sobre llegadas de clientes y concluyó que la tasa de llegadas es de 45 clientes por hora. Además, revisando el proceso de toma y entrega de pedido encontró que un despachador puede procesar un promedio de 60 pedidos por hora. La pastelería paga al despachador $6 por hora. Se han analizado los costos de hacer esperar al cliente y se asignó un costo de $10 por hora de espera de un cliente. Mediante un análisis económico de colas, la pastelería desea evaluar la cantidad óptima de despachadores, bajo modelos M/M/s. 40 20
Problema 7 : Una empresa de alquiler de camiones de carga subcontrata el mantenimiento de sus vehículos, pero debido a los retrasos, se encuentra evaluando si brindar ellos el servicio de limpieza y mantenimiento en su taller. El taller opera 42 horas por semana. Actualmente se encuentra evaluando las siguientes alternativas: i) Un operario que cobra 100 dólares a la semana y utiliza un equipo especial a un costo de 60 dólares a la semana. El tiempo necesario para dar servicio a un camión tiene una distribución exponencial con media de 3 horas. ii) Contratar a dos operarios, cada uno cobra 100 dólares a la semana (sin equipo especial) y atiende cada uno a un vehículo por separado. El tiempo necesario para dar servicio a un camión tiene una distribución exponencial con media de 5 horas. Los camiones llegan según proceso Poisson con tasa media de llegada de 0.3 camiones por hora. La empresa considera que si un camión no se encuentra disponible, representa un costo de 2.5 dólares por hora. Evalúe cuál es la mejor alternativa. 41 Problema 8 Una empresa manufacturera utiliza un grupo de seis máquinas idénticas; cada una de las cuales opera un promedio de 20 horas entre fallas (la tasa media de llegada o solicitud de servicio de reparación para cada máquina es l = 1/20 = 0.05 por hora) Las fallas ocurren al azar y se utiliza la distribución de probabilidad de Poisson para describir el proceso de llegada de las fallas de las máquinas. El Departamento de mantenimiento, a través de un operario, proporciona el servicio de reparación de un solo canal para las seis máquinas. Los tiempos de servicio distribuidos de manera exponencial tienen una media de dos horas por máquina o una tasa media de servicio de μ = ½ = 0.50 máquinas por hora. Determine las características del servicio. 42 21