TEMA 5 Variables aleatòries: Generalitats

TEMA 5 Variables aleatòries: Generalitats Dep. Estadística i Inv. Operativa Univ. de València

Definició de variable aleatòria Una variable aleatòria (v.a.) és una funció que a cada element de l espai mostral li fa correspondre un número real. X : ( ) Eemples Llancem tres daus i X = suma de les tres puntuacions. - Obtenim el resultat 25 aleshores X = 8. Mesurem l alçada H en metres d una persona i també la pesem P en kg definim Y = Índe de massa corporal = P/H 2. - Obtenim el resultat H =,85m i P = 78kg aleshores Y = 22,8 Seleccionem un número a l atzar de l al 0 definim X = número seleccionat - Ei el 4 aleshores X = 4. També H i P són v.a. X Totes les v.a. es representen per lletres llatines grans.

Tipus de variables aleatòries Les variables aleatòries poden ser discretes o contínues depenent de si X( ) és un conjunt discret o continu, respectivament. Eemples Llancem tres daus i X = suma de les tres puntuacions. X( )={3,4,5,...,8} és finit i per tant discret per tant X és discreta. Mesurem l alçada H en metres d una persona i també la pesem P en kg definim Y = Índe de massa corporal = P/H 2. X( ) = (0, ) és infinit continu per tant Y és contínua. Seleccionem un número a l atzar de l al 0 definim X = número seleccionat. X( ) = {,2,...,0} és discret per tant X és discreta.

Hem definit una v.a. com una funció Distribucions de probabilitat X : X ( ) és l espai mostral de cert eperiment aleatori que té definida una distribució de probabilitat digam. Aquesta distribució de probabilitat induei de forma natural una distribució de probabilitat de X. Eemple 5. Llancem tres daus i siga X = suma de les tres puntuacions. = {, 2, 3,...,666} = 6 3 = resultats equiprobables (distribució de probabilitat original). X pot prendre els valors 3, 4, 5,...,8. La distribució de probabilitat de X és la que permet determinar la probabilitat de cadascun dels valors possibles de X.

Distribucions de probabilitat (cont.) X= P(X=) 3 / 4 2 2 2 3/ 5 3 3 3 22 22 22 6/ 6 4 4 4 23 23 23 32 32 32 222 0/ 7 5 5 5 24 24 24 42 42 42 33 33 33 223 232 322 5/ 8 6 6 6 25 25 25 52 52 52 34 34 34 43 43 43 224 242 422 233 323 332 2/ 9 26 26 62 62 62 35 35 35 53 53 53 44 44 44 234 324 342 432 423 243 225 252 522 333 25/ 0 36 36 36 63 63 63 45 45 45 54 54 54 226 262 622 235 325 352 532 523 253 244 424 442 334 343 433 27/ 64 46 46 46 64 64 632 362 326 236 263 623 55 55 55 542 452 425 245 254 524 533 353 335 443 434 344 27/ 2 65 56 56 56 65 65 642 462 426 246 264 624 633 363 336 543 453 435 345 354 534 552 525 255 444 25/ 3 66 66 66 652 562 526 625 265 256 643 463 436 346 364 634 553 535 355 544 454 445 2/ 4 662 626 266 653 563 536 635 365 356 644 464 446 554 545 455 5/ 5 663 636 366 654 564 546 645 465 456 555 0/ 6 664 646 466 655 565 556 6/ 7 665 656 566 3/ 8 666 /

Distribucions de probabilitat (cont.) La distribució de probabilitat de X = suma de les tres puntuacions, seria: P(X=) P(X=3)= P(X=8) = / P(X=4)= P(X=7) = 3/ P(X=5)= P(X=6) = 6/ P(X=6)= P(X=5) = 0/ P(X=7)= P(X=4) = 5/ P(X=8)= P(X=3) = 2/ P(X=9)= P(X=2) = 25/ P(X=0)= P(X=) = 27/ 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 X LA SUMA DE TOTES HA DE VALDRE. Què es més probable traure un 7 ó traure un 5? Clarament traure un 7 és més probable [p(7) = 5/)]que traure un 5 [p(5)=6/]. Quina és la probabilitat de traure un número par? P( par ) = 0,5 (per simetria de les probabilitats entre pars i senars) Quina és la probabilitat de traure un número primer? P( primer ) = / + 6/ + 5/ + 27/ + 2/ + 3/ = 73/ = 0,338 Quina és la probabilitat de traure un 7 ó un? 42/ = 0,94.

La funció de probabilitat La funció de probabilitat és una funció que ens permet determinar la probabilitat de qualsevol valor possible d una v.a. discreta. En l eemple anterior p(3) p(8) p(4) p(7) 3 p(5) p(6) 6 p(6) p(5) 0 p(7) p(4) 5 p(8) p(3) 2 p(9) p(2) 25 p(0) p() 27 Per definició la funció de probabilitat d una v.a. discreta X és p() = P(X=) per a qualsevol valor possible de X. Per als valors impossibles de X, p() val zero. Eercici Considera l eperiment de llançar una moneda tres vegades. Si X = nombre de cares obtingudes a. Determina la seua funció de probabilitat i representa-la. b. Comprova que la suma de tots els valors de la funció de probabilitat val. c. Calcula la probabilitat de traure almenys una cara? I la de traure eactament una cara? d. Calcula la probabilitat de traure més d una cara.

La funció de densitat de probabilitat Quan la variable aleatòria és continua no és possible definir probabilitats punt a punt, com feiem amb les v.a. discretes. Si una v.a. X: R és contínua, el rang de possibles valors X( ) conté a un interval dels nombres reals, el qual té una quantitat infinita no numerable de valors..temps que funcionarà un component electrònic. X( ) = (0, ) 2. Distància des d un punt aleatori d un cercle al seu centre. X( ) = [0,r],on r > 0 és el radi del cercle 3.Temps que ha d esperar un client en la cúa d un hipermercat fins que el servisquen. X( ) = [0,L] on L > 0 és un límit superior. 4. Pes, alçada, pressió sistòlica, etc..d una persona seleccionada a l atzar d una població. Necessitem una ferramenta capaç de definir una distribució de probabilitat associada a una v.a. contínua X. Eia ferramenta rep el nom de funció de densitat de probabilitat (abreviadament funció de densitat).

La funció de densitat Siga una v.a. contínua X. Una funció de densitat de X és una funció f : R R f ( ) i) f ( ) 0 R complint ii) f ( ) d iii ) P( a X b) b f ( ) d [ a, b]interval en R a

Propietat Si X és una v.a. contínua, aleshores P(X=)=0 per a qualsevol punt real. Propietat 2 La funció de densitat (propietats) P( X ) f ( t) dt P( a X b) P( a X b) P( a X b) P( a X b) Ja que totes aquestes probabilitats es diferencien només en un punt. Dos esdeveniments que es diferencien només en un conjunt finit o infinit numerable de punts tindran idèntica probabilitat. 0 Àrea tancada per un segment és zero.

b) c) f ( ) f ( ) k( ke Eemples Eemple 5.2: Calcular el valor de la constant k per a que les següents funcions siguen funcions de densitat (cal saber integrar una mica per a respondre). 2 a) f ( ) k si 0 4 ( 0 en altre cas) 2) si si 0 0 ( 2 ( 0 en altre 0 en altre cas) a) L únic valor de k és 3/64, per a que l àrea tancada siga. b) L únic valor de k és /6, per a que l àrea tancada siga. c) L únic valor de k és, per a que l àrea tancada siga. A més a més totes aquestes funcions són no-negatives. Eemple 5.3: Quin valor constant k pot convertir a la funció f ( ) k si en una funció de densitat? 3 0 en altre cas) cas) Com 3 és positiva quan > 0 i negativa quan < 0 no pot haver una constant que puga transformar-la en una funció no negativa. (

Càlculs amb funcions de densitat Aií com amb les funcions de probabilitat només havíem de sumar per a calcular probabilitats amb les funcions de densitat hem de saber integrar per a calcular probabilitats, en realitat el que hem de calcular són àrees sota la corba de densitat. Eemple 5.4: Si X és una v.a. amb funció de densitat f() = 3/64 2 si 0 < < 4, f() = 0 en altre cas, quina és la probabilitat de [X 2]? 2 3 2 3 3 3 8 P( X 2) 0 0,25 64 64 3 64 3 8 0 0 2 Eemple 5.5: Si X és una v.a. amb funció de densitat f() = si 0 < <, f() = 0 en altre cas, quina és la probabilitat de [X>0,25]? P( X 0, 25) 0, 25 0, 75 0,25 0,25 f() Àrea 0,75 0 0,25

Paràmetres d una v.a. Qualsevol v.a. té característiques interessants que, de vegades, poden determinar la seua distribució de probabilitat, eies característiques reben el nom de paràmetres. Els paràmetres d una v.a. es representen per lletres gregues (igual que en les poblacions). Els més interessants són la mitjana µ i la variància σ 2 i la interpretació és idèntica, la mitjana és el centre de gravetat de la funció de probabilitat o de densitat (depenent del cas) i la variància / desviació típica és una mesura de la dispersió de la distribució respecte de la mitjana. Per a una variable discreta X p( ) 2 2 2 2 p( ) p( ) Per a una variable contínua X f ( ) ( ) f ( ) f ( ) 2 2 2 2 L analogia és total, només hem de canviar sumatori per integral i funció de probabilitat p() per funció de densitat f().

Càlculs: eemples Eemple 5.6: Calcular la mitjana, variància i desviació típica de la variable X = suma de tres llançaments d un dau. Ja sabem que la funció de probabilitat p() és: p(3) p(8) p(4) p(7) p(5) p(6) p(6) p(5) p(7) p(4) p(8) p(3) p(9) p(2) p(0) p() 3 6 0 5 2 25 27 3 6 2 p( ) 3 4 5 8 0,5 6 2 2 2 2 2 p( ) p( ) 2 2 2 3 2 2 3 4 8 9 0, 25 8, 75 2 2 8, 75 2,96 ERA D ESPERAR QUE LA MITJANA VALGA 0,5. PER QUÈ?

Càlculs: eemples (cont.) Eemple 5.7: Calcular la mitjana, variància i desviació típica de la variable X que té la funció de densitat f() = 3/64 2 si 0 < < 4, f() = 0 en altre cas. 0,75 f() 4 4 4 4 4 3 2 3 3 3 3 4 64 64 64 4 64 4 0 0 0 3 4 4 2 2 3 2 3 4 9 9 64 64 0 0 0 4 X 5 4 5 3 3 4 48 9 9 9 0, 60 64 5 64 5 5 0 0,6 0,77 En aquest cas no és tan obvi que la mitjana valga 3.

La funció de distribució Una manera d unificar la forma de descriure una distribució de probabilitat és mitjançant una nova funció: La funció de distribució. La funció de distribució d una v.a. X (siga discreta o contínua) es definei com F() = P(X ) per a qualsevol valor. Es tracta d una funció monòtona no decreient ja que com més augmenta el valor, més val F(). Eemple 5.8: Considerem l eperiment de llançar tres vegades una moneda i siga X = nombre de cares. És fàcil comprovar que la funció de probabilitat de X és p(0) = P(X = 0) = /8; p() = P(X = ) = 3/8; p(2) = P(X = 2) = 3/8 i p(3) = P(X = 3) = /8. Per definició, la funció de distribució F() acumula tota la probabilitat des de - fins a (incloent-lo). Per tant F() = 0 si < 0 (no acumula res), F() = /8 si 0 < (només acumula p(0)), F() = 4/8 si < 2 (acumula p(0)+p()), F() = 7/8 si 2 < 3 (acumula p(0)+p()+p(2)) i F() = si 3 (ja que acumula tota la probabilitat). Si representem gràficament a F() observem que és una funció en forma d escala.

Eemple 5.8 (cont): La funció de distribució (cont) F() Funció de distribució del nombre de cares al llançar 3 vegades una moneda 0,875 Notem que F(2) = P(X 2) = 0,875 però que F(,99) = P(X,99) = 0,50 0,50 0,25 0 2 3 X LA FUNCIÓ DE DISTRIBUCIÓ TAMBÉ S ANOMENA FUNCIÓ ACUMULATIVA DE PROBABILITAT.

La funció de distribució (cont.) Si la variable aleatòria X és contínua, la funció de distribució F() també ho és. Com ja s ha dit la definició no canvia és a dir F() = P(X ) per a qualsevol valor. Amb l ajuda de F() és senzill calcular probabilitats d intervals: P(a < X b) = P(X b) P(X a) = F(b) F(a). P(X > a) = P(X a) = F(a). P(X < a) = P(X a) P(X = a) = F(a) 0 = F(a). Recordem que si la variable és contínua la probabilitat en un punt és zero. Eemple 5.9: Considerem la funció de distribució F() = 0 si 0, F() = e - Si > 0. Calcular les probabilitats següents: P(X<), P( X 2), P(X > -), P(X > 5). Solució: P(X < ) = - e - = 0,632 P( X 2) = F(2) F() = e - - e -2 = 0,233 P(X > -) = - F(-) = - 0 = P(X > 5) = - F(5) = - ( - e -5 ) = e -5 = 0,007