CORRELACIONES EN FINANZAS Juan Carlos García Césedes E-mail jcgarcia@gruobbva.com SEMINARIO E MATEMATICAS FINANCIERAS Instituto MEFF - UAM Enero.00 OBJETIVOS! iscutir el conceto de correlación! Exoner algunas limitaciones.! Presentar algunas herramientas y concetos utiles.! Todo ello en relación con las finanzas (riesgo de mercado y riesgo de crédito.
CORRELACION! Conceto absolutamente extendido y a la vez mal entendido! En general or correlación se entiende cualquier tio de deendencia/relación entre variables aleatorias.! Sin embargo, la correlación es tan sólo una medida entre muchas otras de la relación que existe entre variables aleatorias.! Es la medida base en el universo de las distribuciones normales (gaussianas, mas genéricamente en el universo de las distribuciones esféricas y elíticas.! Se ha extendido or extraolación la utilidad de la correlación lineal al resto de distribuciones ALGUNOS PROBLEMAS CON LA CORRELACIÓN: " Para que exista correlación, las varianza de X e Y deben existir, esto es, las variables aleatorias con distribuciones de colas gruesas no tienen correlación " Indeendencia imlica correlación cero, ero no al revés. Ejemlo YX, donde X es normal (0,. Y X
ALGUNOS PROBLEMAS MÁS CON LA CORRELACIÓN: " Solo en el entorno de las normales multivariantes odemos interretar correlación cero igual a indeendencia. " Sin embargo, dos normales correlacionadas cero no imlica necesariamente indeendencia Existe alguna contradicción???? NO, orque... "Que las distribuciones marginales sean Normales no imlica que la distribución conjunta sea una normal multivariante, "Existen infinitas distribuciones bivariantes con una correlación dada y con marginales gaussianas. Veamos un ejemlo... CUESTIÓN Uno de estos conjuntos de untos sigue una distribución normal bivariante. Cuál? 3
Vamos a quedarnos con las distribuciones y Estos untos se han generado a artir de dos distribuciones normales correlacionadas (ρ 0,7
Estos otros untos... También se han generado a artir de dos distribuciones normales correlacionadas (ρ 0,7!? Las diferencias entre los dos conjuntos de untos son evidentes......no siguen la misma distribución y sin embargo sus distribuciones marginales son normales con la misma correlación.
Las diferencias entre los dos conjuntos de untos son evidentes......no siguen la misma distribución y sin embargo sus distribuciones marginales son normales con la misma correlación. qué conclusiones odemos sacar en términos de riesgo de mercado?... Aunque los factores de riesgo sean individualmente normales, el riesgo de la cartera uede ser mayor de lo que creemos.
Lo sorrendente es que, como vemos, las distribuciones marginales de los ejemlos son erfectamente normales LAS CÓPULAS (en estadística Una cóula es una distribución multivariante cuyas distribuciones marginales son uniformes (0,. ( u u C,...,, u n Sean x,x,...,x n variables aleatorias con distribuciones acumuladas marginales F (x, F (x,...,f n (x n. Entonces: ( x x,..., x C ( F ( x, F ( x,..., F ( x, n n n F define una distribución conjunta acumulada cuyas marginales son recisamente F (, F (,...,F n (.
LAS CÓPULAS (en estadística Es osible maear las variables aleatorias en variables uniformes a través de su distribución acumulada. La estructura de deendencia vendrá determinada or relaciones entre distribuciones uniformes. Si se le da la vuelta al argumento, una cóula es un instrumento magnífico ara la simulación de variables aleatorias con distribuciones marginales dadas, solo habremos de simular variables uniformes con estructuras de correlaciones determinadas. Teorema de Sklar Sea F(x,x,...,x n una función de distribución acumulada, entonces existe una n-cóula tal que, ( x x,..., x C ( F ( x, F ( x,..., F ( x, n n n F Las coulas ermiten searar la estructura de deendencia multivariante de la estructura de distribuciones marginales univariantes. Veamos que sucede si maeamos las distribuciones anteriores a uniformes... 3
El gráfico 3 se ha generado a artir de la llamada cóula de Frank. A continuación odemos ver su distribución acumulada y su densidad. C( u, v α u α v ( e ( e - < < ln + α α α e Cuanto mayor es el arámetro α, en valor absoluto, mayor es la relación entre las dos variables. El gráfico se ha generado a artir de la llamada cóula de Clayton. A continuación odemos ver su distribución acumulada y su densidad. C( u, v α α ( u + v α α > Nuevamente, cuanto mayor es el arámetro α, mayor es la relación entre las dos variables.
Qué está asando? Qué conclusión odemos sacar? El conceto de correlación hace aguas, sólo tiene sentido en determinados entornos, en otros hay que interretarlo con sumo cuidado. En resumen: La correlación no caracteriza la estructura de relaciones entre las variables aleatorias, estas estructuras en general son muy ricas y difícilmente se ueden caturar con un solo arámetro. Existen otras medidas de correlación, o mejor dicho, de relación entre variables aleatorias, mencionemos dos: La correlación de Searman La Tau de Kendall Recordemos el conceto tradicional de correlación, que llamaremos correlación lineal: ρ l ( X, Y Cov( X, Y Var( X Var( Y La correlación de searman se define como: ρ ( X, Y ρ ( F ( X, F ( Y s l X Y Cov( F Var( F X X ( X, F ( X Y ( Y Var( F Y ( Y La correlación de searman no es más que la correlación lineal ero en el mundo de las distribuciones uniformes, esto es, las variables aleatorias reviamente se transforman en uniformes.
La Tau de Kendall se define como: ρ τ [ X X ( Y Y > 0] Ρ[ ( X X ( Y 0] ( < Ρ Y Puntos concordantes Puntos discordantes Y Y Correlación ositiva indica que hay más untos concordantes que discordantes y viceversa X X Existe una relación entre la correlación lineal y la Tau de Kendall ρ τ ( X, Y arcsin l Y π ( ρ ( X, Para estimar emíricamente la Tau de Kendall se recomienda la fórmula siguiente τˆ c + d + e c d c + d + X e Y correlación lineal se ve muy afectada or los datos atíicos... ato atíico...sin embargo la Tau de Kendall es mucho mas robusta
Riesgo de crédito, correlaciones y la robabilidad conjunta de incumlimiento Para dos réstamos existen cuatro osibles escenarios: Sólo incumle (, 0 Ninguna incumle ( 0, 0 Incumlen ambas (, Sólo incumle ( 0, : Probabilidad de incumlimiento de la comañía. P( : Probabilidad de incumlimiento de la comañía. P( & : Probabilidad de incumlimiento conjunto. P( Nótese que or definición & Min(,! En el entorno de las variables aleatorias bernouilli, las correlaciones son algo diferentes: atos : E( E( corr( cov( + & & corr(,, (, ( ρ cov(, σ σ (, & σ σ ( + ( ( ( ( (0 & ( + + ( & (0 ( & (0 (0 (... La correlación vemos que es función de las robabilidades individuales de incumlimiento y de la conjunta. +
corr(, ρ, ( & ( Vamos a analizar la función anterior, un rimer caso, sencillo, es corr(, ρ, ( & ( & ( & + ρ, ( ( Como 0 & entonces ( < ρ, < La correlación no uede ser - salvo que 0,5! Límites a las correlaciones de default entre dos contraartidas cuando las dos robabilidades de incumlimiento son iguales 00% 80% 60% 40% min rho max rho 0% 0% -0% -40% -60% -80% -00% 0% 5% 0% 5% 0% 5% 30% 35% 40% 45% 50% Si las robabilidades de default son bajas, que es lo habitual, las correlaciones no ueden muy negativas y la cobertura del riesgo deberá hacerse mediante diversificación.
corr(, ρ, ( & ( El caso general es ara : suongamos sin érdida de generalidad que < & + ρ, ( ( Como 0 & min(, entonces ( ( < ρ, < ( ( Salvo que la correlación no uede ser igual a! Por tanto, las contraartidas con diferente calidad crediticia no odrán tener correlación erfecta. Límite suerior de las correlaciones de default en el caso general en el que las robabilidades de incumlimiento no son iguales Correlación máxima 0.8 0.6 0.4 0. 0 0.% 4% 8% % 6% 0% 4% 8% 3% 36% 40% 44% 48% % % 0.% 44% 33%
Límite inferior a las correlaciones de default en el caso general en el que las robabilidades de incumlimiento no son iguales - Correlación mínima -0.8-0.6-0.4-0. 0 0.% 4% 8% % 6% 0% 4% 8% 3% 36% 40% 44% 48% 0.% 7% 4% % 8% 35% 4% 49% Cómo se estima la robabilidad de incumlimiento conjunto? Veamos el modelo de Merton ara dos contraartidas con correlación de activos ositiva Sólo incumle la comañía Las dos comañías incumlen COMPAÑÍA Ninguna comañía incumle Sólo incumle la comañía COMPAÑÍA
El modelo de Merton ara dos contraartidas con correlación de activos cercana a Sólo incumle la comañía Las dos comañías incumlen COMPAÑÍA Ninguna comañía incumle Sólo incumle la comañía COMPAÑÍA El modelo de Merton ara dos contraartidas con correlación de activos negativa Sólo incumle la comañía Las dos comañías incumlen COMPAÑÍA Ninguna comañía incumle Sólo incumle la comañía COMPAÑÍA
Cómo se estima la robabilidad de incumlimiento conjunto? Para ello tan sólo hay que calcular el volumen de camana que cae or encima de la región de incumlimiento conjunto, dicho volumen deenderá de 3 factores: Las robabilidades individuales de incumlimiento La correlación de activos Finalmente, vemos que la correlación de default es también una función de los mismos 3 factores: Las robabilidades individuales de incumlimiento La correlación de activos corr ( g (,,, ρ (, Activos ρ ( ( & f (,, ρ ( Activos El modelo de Merton es un modelo de cóulas semejante a los que antes hemos visto, en este caso se determina la estructura de deendencia entre variables aleatorias bernouilli a través de variables ocultas gaussianas. Es lo que se denomina una coula gaussiana. C Ω ( u, u,..., u Φ ( Φ ( u, Φ ( u,..., Φ ( u n Ω n ( onde, Φ Ω es una distribución normal estandar multivariante con estructura de correlaciones Ω y Φ ( son normales univariantes estandar inversas
RESUMEN Y CONCLUSIONES Hemos visto que la correlación es un conceto articular ara medir la relación entre variables aleatorias y que las distribuciones marginales más la estructura de correlaciones no definen las distribuciones conjuntas Hemos definido el conceto de cóula que nos odrá ser util ara simular variables aleatorias con distribuciones marginales determinadas, además hemos visto algunos ejemlos Hemos visto algunas medidas nuevas de la relación entre variables aleatorias, la rho de Searman y la Tau de Kendall, en articular hemos visto otra forma de estimar la correlación lineal. En relación al riesgo de crédito hemos visto el modelo de Merton como un caso articular de cóula, además hemos visto que las correlaciones de default son muy diferentes de las correlaciones con las que habitualmente trabajamos. BIBLIOGRAFÍA:. Linear Correlation Estimation, Fili Lindskog - htt://www.math.ethz.ch/~lindskog. Modelling eendence with Coulas and Alications to Risk Management, Master Thesis by Fili Lindskog 3. Understanding Relationshis Using Coulas, Edward W. Frees and Emiliano A. Valdez 4. Correlation And eendence In Risk Management: Proerties and Pitfalls, Paul Embrechts, Alexander McNeil, and aniel Straumann 5. Correlation: Pitfalls and Alternatives, Paul Embrechts, Alexander McNeil, and aniel Straumann 6. Coulas for Finance: A Reading Guide and Some Alications, Eric Bouyé, Valdo urrleman, Ashkan Nikeghbali, Gaël Riboulet and Thierry Roncalli 7. On efault Correlation: A Coula Function Aroach, avid X. Li