Departamento de Matemáticas Fundamentos en Matemática y Matemáticas Fundamentales EJE TEMÁTICO: Familia de Funciones ACTIVIDAD No. 7 SISTEMA INSTITUCIONAL DE EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE (SIEA) CASO MATEMÁTICAS Temas: Sistemas de ecuaciones lineales. Funciones inversa, exponencial y logarítmica. Actividades para antes de la clase Con el propósito de iniciar el estudio de este tema, revise el siguiente video como motivación para el aprendizaje sobre la importancia de la función exponencial y su aplicación: https://www.youtube.com/watch?v=5joetb4bewy A continuación, responda cada pregunta con sus propias palabras. Seguramente será necesario que realice una búsqueda de algunos de los conceptos planteados en internet o en libros que encontrará en la biblioteca. a. Cómo se identifica un sistema de ecuaciones? b. Qué es una solución de un sistema de ecuaciones lineales? c. En qué consisten los métodos de reducción, sustitución e igualación? d. Cuándo una función es inyectiva? e. Cuándo existe la inversa de una función f? f. Cuál es el dominio y el rango de una función exponencial? g. Cuál es el dominio y el rango de una función logarítmica? h. Para qué se utilizan las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas? 1
Actividades durante la clase 1. Un campo rectangular de futbol puede tener un ancho entre 50 y 100 metros, y una longitud entre 50 y 100 metros. Suponga que un campo determinado tiene un perímetro de 320 metros. Su largo mide 40 metros más que su ancho. Cuáles son las dimensiones de este campo? 2. Un ejecutivo invierte 100000 dólares en un portafolio de inversiones formado por una cuenta maestra y una inversión en CDT. La cuenta maestra le paga el 6 % anual, mientras que el CDT le genera un 10 % anual. Si al paso de un año el ingreso por el portafolio de inversiones es de 9000 dólares, cuánto invirtió en cada inversión? 3. Durante su vuelo, un avión avanza con una rapidez de 600 millas por hora con el viento a favor, tiempo después por un cambio en las condiciones meteorológicas cambia su rapidez a 560 millas por hora por tener el viento en contra. Calcule la rapidez del viento y la del avión durante el vuelo. (Tomado de: Algebra. Autor: Juan Antonio Cuellar). 4. Un metalurgista tiene dos aleaciones de acero inoxidable. La aleación I tiene 14% de cromo y 6% de níquel, y la aleación II tiene 18% de cromo y 8% de níquel. Cuántos kilogramos de cada aleación debe utilizar el metalurgista para elaborar un compuesto nuevo de acero inoxidable que contiene 23 kg de cromo y 10 kg de níquel? 5. Steve es propietario de un edificio de apartamentos que tiene 60 apartamentos. Él puede rentar todos los apartamentos si cobra una renta de $180 dólares mensuales. A una renta mayor, algunos de los apartamentos permanecerán vacíos; en promedio, por cada incremento de $5 en la renta, un apartamento quedara vacante sin posibilidad de rentarlo. Encuentre la renta que debe cobrar por cada apartamento para obtener un ingreso total de $11.475 dólares. (Tomado de Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. Autor: Arya-Lardner) 6. El consumo de combustible de automóvil de Pedro es de 30 millas/galón en carretera y de 25 millas/galón en ciudad. En un viaje de vacaciones de 400 millas utilizó 14 galones de gasolina. Cuántas millas de carretera recorrió en este viaje? 7. La ventilación es una forma eficiente de mejorar la calidad del aire en interiores. En restaurantes donde no se permite fumar, las necesidades de circulación de aire (en /) están dadas por la función ()= 35, donde x es el número de personas en el área de comedor. a. Determine las necesidades de ventilación para 23 personas. 2
b. Encuentre (). Explique el significado de. c. Use para determinar el número máximo de personas que deben estar en un restaurante que tenga capacidad de ventilación de 2350 /. 8. Un paracaidista salta desde una altura razonable sobre el suelo. La resistencia del aire que experimenta es proporcional a su velocidad, y la constante de proporcional es 0,2. Se puede demostrar que la velocidad de descenso del paracaidista en el tiempo t se expresa como: ()=80(1 ) Donde se mide en segundos y () se mide en pies por segundo (/ ) a. Encuentre la velocidad inicial del paracaidista. b. Calcule la velocidad después de 5 seg y de 10 seg c. Use Geogebra para realizar la gráfica de la función de velocidad () d. La velocidad máxima de un objeto que cae con resistencia del viento se llama! "!. Utilice la gráfica del inciso anterior para encontrar la velocidad terminal de este paracaidista. 9. Un modelo de la cantidad de bacterias en un cultivo, después de t horas, es ()=# $ %. Después de 3 horas, se observa que hay 400 bacterias. Luego de 10 horas desde el inicio, hay 2000 bacterias. Cuál era la cantidad inicial de bacterias? 10. Los médicos emplean el yodo radiactivo como trazador para diagnosticar ciertos trastornos de las glándulas tiroides. Este tipo de yodo se desintegra de tal manera que la masa restante después de t días se determina mediante la función: Donde () se mide en gramos. ()=6.() a. Encuentre la masa en el tiempo =0 b. Cuánta masa queda después de 20 días? c. En cuantos días se desintegrara de la cantidad inicial. 11. La ley del enfriamiento de Newton se emplea en investigaciones de homicidios para determinar la hora de la muerte. La temperatura corporal normal es de 98.6ºF. 3
Inmediatamente después de la muerte el cuerpo comienza a enfriarse. Se ha determinado de manera experimental que la constante en la ley de Newton del enfriamiento es aproximadamente * = 0.1947, asumiendo que el tiempo se mide en horas. Suponga que la temperatura del entorno es de 60ºF. a. Encuentre la función que modela la temperatura t horas después de la muerte. b. Si la temperatura del cuerpo es de 72ºF, hace cuánto tiempo fue la hora de la muerte? 12. Una investigación de mercado indica que los fabricantes ofertarán unidades de un artículo particular en el mercado cuando el precio es =.() dólares por unidad, y que el mismo número de unidades será demandado (comprado) por los consumidores cuando el precio es =/() dólares por unidad, donde las funciones de oferta y demanda están dadas por:.()= +14 y /()=174 6 a. En qué nivel de producción el mercado alcanzará el equilibrio? Cuál es el precio unitario en el equilibrio? b. Dibuje las curvas de oferta y demanda en el mismo plano cartesiano e identifique las regiones de abundancia y escasez. 4
Actividades después de la clase 1. En las desafiantes condiciones de una tormenta de nieve en el planeta Hoth, Luke Skywalker parte a gran velocidad en su moto para nieve hacia una base rebelde llevando provisiones para su lucha en contra del Imperio, que se encuentra a 3600 millas. Viaja en contra de un viento constante, y realiza el viaje en 2 horas. De regreso, se da cuenta de que el viaje, aun a gran velocidad pero no en contra del viento, le toma solo 1.5 horas. Cuál era la velocidad de velocidad del moto de Luke y la velocidad del viento. 2. Una caja rectangular sin tapa de 6000cm 3 se ha construido a partir de una lámina cuadrada de cartón a la cual se le han recortado en sus esquinas cuadrados de 15cm de lado. Halle la longitud de los lados de la lámina de cartón que se utilizó y el área de la superficie exterior de la caja, incluida su base. 3. El jefe de una estación de servicio compro 15000 galones de gasolina corriente y de primera calidad por US$8500. Si el precio mayorista fue de 55 centavos por galón para gasolina corriente y 60 centavos por galón para la gasolina de primera calidad, determine cuantos galones de cada clase de gasolina se compraron. 4. Una semana Isabel promete a su hijo Mario $5 por cada problema de algebra que resuelva correctamente. Por otra parte ella le cobrará $2 por cada solución incorrecta. Al final de la semana Mario ha resuelto 70 problemas, pero no recibe dinero ni tiene que pagar. Cuantos problemas resolvió correctamente Mario 3 5. Considere la función 1() = + 1, cuya gráfica se aprecia en la figura. 5
Determine: a. El dominio de la función 1 b. Si la función 1 es inyectiva c. La inversa de 1 y llámela d. Si existe un / 5 tal que 1() = 0 e. Use Geogebra para verificar el grafico de la figura f. Geométricamente el punto de corte de las funciones,1 y 7 g. La relación que tiene la recta 7 con las funciones y 1. 6. La tabla siguiente es una lista de números totales de radioemisoras en Estados Unidos para ciertos años Año Número 1950 2773 1960 4133 1970 6760 1980 8566 1990 10770 2000 12717 Tomado de: Álgebra y trigonometría con geometría analítica, 13va Edición - Earl W. Swokowski a. Grafique los datos b. Determine una función lineal ()=!+8 que modele estos datos, donde es el año. Grafique y los datos en los mismos ejes de coordenadas. c. Encuentre (). Explique el significado de. d. Use para predecir el año en el que hubo 11,987 radioemisoras. Compárelo con el verdadero valor, que es 1995. 7. En 1938 se promulgó una ley federal que establecía un salario mínimo y éste fue de $0.25 por hora; el salario había subido a $5.15 por hora en 1997. Encuentre una función exponencial sencilla de la forma 9 =!8 que modele el salario mínimo federal para 1938-1997. 6
8. Según la ley de Newton del enfriamiento, la rapidez a la que un cuerpo se enfría es directamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio que lo rodea. La cara de una plancha doméstica se enfría de 125 a 100 en 30 minutos en un cuarto que permanece a una temperatura constante de 75. De acuerdo con cálculo integral, la temperatura f (t) de la cara después de t horas de enfriamiento está dada por ()=50(2) +75. a. Suponiendo que =0 corresponde a la 1:00 p.m., aproxime al décimo de grado más cercano, la temperatura de la cara a las 2:00 p.m., 3:30 p.m. y 4:00 p.m. b. Trace la gráfica de para 0 10. Interprete su comportamiento. Como se evidencia esto en la naturaleza. Tomado de: Álgebra y trigonometría con geometría analítica, 13va Edición - Earl W. Swokowski 9. La acidez (ph) de una solución es una medida de la concentración de ion de hidrogeno [H + ] (medido en moles de hidrógeno por litro) y está dado por la expresión: < = log@< A B Calcule el [H + ] para una solución en la que el ph es 3.2 7