B

0 0 CUESTIÓN A: Dadas las matrices A 0 y B 0. 0 0 a) Calcule A B (0,75 puntos) b) Calcule la matriz inversa de B y utilícela para resolver la ecuación X B B A (,75 puntos) JUNIO 008 a) b) 0 0 5 0 A B 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 () () () 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B 0 0 0 0 0 0 0 () (4) Transformaciones elementales utilizadas: () F F () F F ; F F () F : ( ) ; F : (4) F F ; F F 0 0 0 0 X B B A X B AB BB A B I A B 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 7 0 0 0 0 7 7 7 7 6 6 6 6 0 0 0 0 0 0 0 CUESTIÓN A: Un agricultor desea plantar 750 cerezos, 700 perales y 650 manzanos. En el vivero Agro ofrecen un lote de 5 cerezos, 0 perales y 0 manzanos por 700 euros y en el vivero Ceres el lote de 5 cerezos, 0 perales y 0 manzanos cuesta 650 euros. a) Plantee y resuelva un programa lineal para averiguar el número de lotes que ha de comprar en cada vivero para que pueda plantar los árboles que desea y para que el coste total de adquisición sea mínimo. ( puntos) b) Utiliza el agricultor todos los árboles que ha adquirido?, en caso negativo diga cuántos no ha plantado y de qué tipo son. (0,5 puntos) Aunque en el enunciado no se eplicita, debemos entender que el número de árboles de cada clase es el mínimo que el agricultor desea plantar. Organicemos los datos del problema en una tabla: nº de lotes nº cerezos nº perales nº manzanos Precio AGRO 5 0 0 700 CERES y 5y 0y 0y 650y 0 750 700 650 F, y

a) La función objetivo, que en este caso debe ser mínima, es: F, y 700 650y Las restricciones a que deben someterse la solución del problema son: 0 y 0 5 5y 750 0 0y 700 0 0y 650 Dibujemos la región factible: 50 A La recta 0 es el eje de ordenadas y el semiplano solución de 0 es el de la derecha. La recta y 0 es el eje de abscisas y el semiplano solución de y 0 es el superior. 5 B 5 5 5 50 75 + y = 70 + y = 50 + y = 65 origen de coordenadas. La recta 5 5y 750 y 50 pasa por los puntos 50, 0 y 0, 50. La solución de la inecuación 5 5y 750 es el semiplano al que no pertenece el origen de coordenadas. La recta 0 0y 700 y 70 pasa por los puntos 0, 40 y 0, 0. La solución de la inecuación 0 0y 700 es el semiplano al que no pertenece el La recta 0 0y 650 y 65 pasa por los puntos 0 0y 650 es el semiplano al que no pertenece el origen de coordenadas. 65, 0 y 5, 0. La solución de la inecuación Por tanto, la región factible es una región abierta con dos vértices: A y B. Obtengamos sus coordenadas: y 50 y 50 Vértice A: 0 0, y 40 A 0, 40 y 70 y 70 y 50 y 50 Vértice B: y 5, 5 B 5, 5 y 65 y 65 Veamos en cuál de los vértices de la región factible es mínima la función objetivo: F 0, 40 7000 650 40 000 El precio es mínimo con 0 lotes de Agro y 40 de Ceres. F 5, 5 700 5 6505 450 b) El número de cerezos comprados es: 50 5 40 750 luego utiliza todos. El número de perales comprados es: 0 0 0 40 700 luego también utiliza todos los perales comprados. El número de manzanos comprados es: 00 0 40 900 luego deja de utilizar 50 manzanos. CUESTIÓN B: a) Derive las funciones f () ln 8, g (), 8 0t t si t 0, U 8,0 b) La velocidad (en metros/minuto) de un juguete viene dada por V (t) 6 si t, 8 variable t el número de minutos transcurrido desde que se pone en marcha. h () (,5 puntos), siendo la b ) Represente la función velocidad. (0,75 puntos) b ) A la vista de la gráfica, diga cuál es la velocidad máima y en qué momento o momentos se alcanza. (0,5 puntos)

b ) Calcule la velocidad del juguete pasados 0 segundos desde su puesta en marcha. Hay algún otro momento en el que lleva la misma velocidad?, en caso afirmativo, diga en cuál. (0,75 puntos) 6 g () 8 g '() 6 8 4 4 h '() ln a) f '() ln ( ) ln b) La función tiempo velocidad es una función definida a trozos formada por una parábola y una función constante. b ) Representemos la función V (t) 0t t en los intervalos en que está definida. V '(t) 0 t 0 t 5 y como V ''(t) En t 5 Como además pasa por los puntos 0, 0 y 0, 0, la gráfica es: 5, 5. la función tiene un máimo en 6 Considerando la parábola en los intervalos 0, y 8, 0 y la función constante V (t) 6 en, 8 : 0 0 0 0 5 0 5 0 b ) La velocidad máima es de 6 m/min y se alcanza entre los minutos y 8. t 0,5 min V 0,5 0 0,5 (0,5) 4,75 m/min b ) A los 0 segundos,. Dada la simetría de la parábola, volverá a tener la misma velocidad a los 9 min. 0 seg. CUESTIÓN B: a) Derive las funciones f () 7, g () e 9, h () 0 (,5 puntos) b) Razone a qué es igual el dominio de la función f () del apartado anterior, y diga los puntos en los que alcanza máimo o mínimo relativo. ( puntos) 9 a) f '() 7 g '() ( ) e e e e e 0 0 h () h '() 0

b) El dominio de f () es 0 porque para 0 no es calculable el sumando 9 y por tanto no eiste f (0). Calculemos los puntos de máimo o de mínimo de la función f () : 9 f '() 7 0 7 9 0 7 9 0. Busquemos la primera raíz por la regla de Ruffini: 7 0 9 9 9 9 9 0 luego es una primera solución de la ecuación f '() 0. Otras posibles soluciones son: 9 8 7 9 9 9 0 4 4 Tenemos entonces tres puntos críticos. Comprobemos si se trata de máimos o de mínimos: 9 8 f ''() 4 f ''( ) 8 0 En la función tiene un máimo relativo. 8 f ''() 0 7 En la función tiene un máimo relativo. 8 44 f '' 0 En tiene un mínimo relativo. 7 7 8 CUESTIÓN C: Se tienen dos urnas A y B. En la primera hay bolas blancas, negras y roja y en la segunda hay bolas blancas, negra y verde. a) Se etrae una bola de cada urna, calcule la probabilidad de que ambas sean del mismo color. (,5 puntos) b) Se lanza una moneda, si se obtiene cara se etraen dos bolas de la urna A y si se obtiene cruz se etraen dos bolas de la urna B, calcule la probabilidad de que ambas bolas sean blancas. (,5 puntos) a) Sean los sucesos: B = la bola etraída de la urna A es blanca, B = la bola etraída de la urna B es blanca, N = la bola etraída de la urna A es negra y N = la bola etraída de la urna B es negra. Se tiene: p B I B UN I N p B I B p N I N p B p B p N p N 6 9 0, 6 5 6 5 0 0 0 0 b) Organicemos los casos que pueden presentarse en un diagrama en árbol: URNA /6 BOLA /5 B BOLA B Se tiene: I p B B I I p A p B / A p B / A B p B p B / B p B / B B / A /4 B 0,8 6 5 5 4 0 0 60 / B /5 B 4

CUESTIÓN C: La vida media de un determinado modelo de bombilla sigue una distribución normal con desviación típica igual a 60 días. Elegida una muestra y con un nivel de confianza del 98% se obtiene el intervalo 88'68, 407 ' para la vida media. Calcule la media y el tamaño de la muestra elegida. Detalle los pasos realizados para obtener los resultados. ( puntos) NOTA: En la tabla figuran los valores de P z k para una distribución normal de media 0 y desviación típica. Si no encuentra el valor en la tabla, elija el más próimo y en caso de que los valores por eceso o por defecto sean iguales considere la media aritmética de los valores correspondientes. 88' 68 407' La vida media en la muestra ocupa el centro del intervalo de confianza: X 98 horas El error máimo admisible es E 407 ' 98 9, y la desviación típica poblacional 60 horas. Obtengamos el valor crítico correspondiente a un nivel de confianza del 98%: 0,98 0,0 / 0,0 = 98% z / / P z z 0, 0 0, 99 y buscando en la tabla de la normal N 0, el valor más próimo que encontramos es 0,990 al que corresponde un valor crítico: z /, Tenemos entonces: 5 bombillas. z /,60 E z / n 5 n E 9, luego la muestra elegida ha sido de 5