C A B rgc

Transcripción

1 SOLUCIÓN. a) F F 4 F : F F F : F F A Comprobación: A A b) X B 3A X 3A B I B B B 3A B X c) F 3 9 F F 3 C A B rgc

2 SOLUCIÓN. a) Para que f() sea continua en 3 debe ser: a 3 3a 3 57 lím f() lím f() lím 3 lím 6 3a 3 60 a b) En el entorno de 0, la función derivada es: Para que f() sea derivable en 0 debe ser: b b 3 si, 0 f'() si 0, 3 b 3 f' 0 f' 0 b c) Obtengamos una primitiva de la función: 3 d e e 8 d 3 e 5d 8 d 3ln Por tanto: e e e e e e 8d 3ln 4 3ln 6 3ln 4 3ln SOLUCIÓN. Sea A el suceso el estudiante tiene teléfono inteligente y B el suceso el estudiante tiene ordenador portátil. Para un total de 00 estudiantes, la distribución es: A B 80 p A B 0,8 00 a) También: p A B p A p B p A B 0,7 0,5 0,4 0, p B / A 0, b) También: p B A 0,4 4 p B / A 0,57 p A 0, p A B 0,4 ; p A 0,7 ; p (B) 0, c) Como p A B p Ap B los sucesos no son independientes. También: A y B son independientes si p B / A p B Como p B / A 0,57 y p B 0,5., los sucesos no son independientes.

3 SOLUCIÓN. Se trata de un problema de Programación Lineal. Organicemos los datos en una tabla para facilitar su uso: TIPO DE CULTIVO Nº DE HECTÁREAS HM 3 DE AGUA BENEFICIO Cebada 5 00 Maíz y 0y 60y 0, y 0 y 40 y 5 0y 5 y y y 50 0y 000 La función objetivo (beneficio que se obtiene) es: F, y 50 0y 000 donde representa el número de hectáreas de cebada e y el de maíz plantadas. Las restricciones a que debe estar sometida la solución son: 0, y 0, y 40, y, y 45. Obtengamos la región factible, conjunto de puntos del plano, y que verifican las restricciones O La recta 0 es el eje de ordenadas y la solución de la inecuación 0 es el semiplano de la derecha. La recta y 0 es el eje de abscisas y la solución de y 0 es el semiplano superior. La recta y 40 pasa por los puntos 40, 0 y 0, 40. La solución de la inecuación y 40 es el semiplano al que pertenece el origen de coordenadas. La recta y es la bisectriz del primer cuadrante. La inecuación y tiene por solución el semiplano al que pertenece el punto 0, 0. La recta 5 0y 5 o y 45 pasa por los puntos 45, 0 y 5, 0. La solución de la inecuación y 45 es el semiplano al que pertenece el origen de coordenadas. C REGIÓN FACTIBLE 0 A 50 + y = y = 5 El conjunto de puntos del plano que verifican las restricciones es el cuadrilátero OABC (en blanco en la figura). La función objetivo se optimiza en alguno o algunos de los vértices de la región factible. Obtengamos entonces las coordenadas de los vértices y el valor de la función objetivo en los mismos para observar en cuál de ellos es máima. Vértice O 0, 0 F 0, Vértice A 40, 0 F 40, B y = 3

4 y 40 Vértice B: y 5, 35 B 35, 5 F 35, y 45 y Vértice C : y 5 C 5,5 F 5, y 45 La función objetivo se maimiza en el vértice C. Para obtener el máimo beneficio, que será de 4400 euros, deben sembrarse 5 ha de cebada, 5 ha de maíz y dejar 0 ha sin sembrar. SOLUCIÓN. a) Se trata de una función racional cuyo dominio está formado por todos los números reales ecepto los que anulan el Dom f,. denominador. En este caso: b) , 5,, 4 0,, , 5 4 0, Por lo tanto, la función es positiva para,, c) No hay soluciones comunes f'() f''() (valores críticos) NOTA: Se trata ahora de sustituir los valores críticos en f y observar el signo del valor que obtenemos. Para facilitar la tarea debe tenerse en cuenta que el denominador es siempre positivo y que en el numerador, el primer factor del segundo sumando es 0 y con él todo ese segundo sumando. Que el segundo factor del primer sumando es positivo. El signo de f depende entonces del signo que tenga el primer factor del primer sumando. En este caso: 4 0. f'' 4 0 En 4 la función tiene un mínimo relativo: f'' 0 En 4, 4, la función tiene un máimo relativo: d) Asíntotas verticales: al tratarse de una función racional, las posibles asíntotas verticales están en los valores de que anulan el denominador. En este caso: y. 5 es asíntota vertical de la función porque lím. 4 5 es asíntota vertical de la función porque lím. 4 4

5 4 Asíntota horizontal: y 0 pues lím 0 4 SOLUCIÓN. a) Si la amplitud del intervalo de confianza debe ser menor o igual que 3 kilos, el radio del intervalo (error máimo admisible) es de,5 kilos. Se tiene: σ σ E zα n zα n E Calculemos el valor crítico z correspondiente al nivel de confianza del 96%: 0,96 0,96 0,04 0,0 0,0 0,98 Buscamos en la tabla el valor más aproimado a 0,98 y se corresponde con un valor crítico z, ,96 z / 0,0 Se tiene entonces:,05 5 n 46,7,5 Debe tomarse una muestra de 46 naranjos. 5

6 b) Calculemos la media de la muestra: X 83,5 kilos 0 0 Aunque la muestra sea pequeña, como la población de partida es normal también lo es la distribución de las medias muestrales cualquiera que sea su tamaño. El radio del intervalo de confianza es: σ 6 E zα,05 3,4 n 0 El intervalo de confianza para la media de la población es entonces: X E, X E 80,6, 86,74 6

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