Relación de ejercicios. Topología en R N Abraham Rueda Zoca Ejercicio. Sea N un número natural. Demostrar que dados x, y R N se cumple que x y x y. Indicación: Utilizar la desigualdad triangular. Ejercicio 2. Sea N un número natural y x, y, z tres vectores de R N. Demostrar que se cumple:. d(x, y) 0. Además, d(x, y) = 0 si, y sólamente si, x = y. 2. d(x, y) = d(y, x). 3. [Desigualdad triangular] d(x, y) d(x, z) + d(y, z). Ejercicio 3. Sea N un número natural y x, y R N. Demostrar que x+y 2 = x 2 + y 2 si, y sólamente si, x, y = 0. Nótese que, para N = 2, este resultado es el Teorema de Pitágoras. Indicación: Nótese que x + y 2 = x + y, x + y. Ejercicio 4. Sea N un número natural y sean x, y dos vectores de R N.. Demostrar que existe un único θ [0, π] de manera que cos(θ) = x, y x y. A este único θ lo llamaremos el ángulo entre x e y y lo denotaremos por θ(x, y). 2. Demostrar la siguiente identidad x + y 2 = x 2 + y 2 + 2 x y cos(θ(x, y)). Esto generaliza el conocido Teorema del coseno. Indicación: Nótese que x + y 2 = x + y, x + y. Ejercicio 5. Sea N un número natural, x R N y {x n una sucesión de puntos de R N. Demostrar que {x n x si, y sólamente si, todas las sucesiones parciales de {x n convergen hacia x.
Ejercicio 6. Sea A un subconjunto compacto y no vacío de R. Demostrar que A tiene máximo y mínimo. Indicación: Usar la caracterización secuencial del supremo y del ínfimo de un conjunto. Ejercicio 7. Sea N un número natural y {x n una sucesión en R N. Diremos que la sucesión {x n es de Cauchy si dado ε > 0 existe m N de manera que Demostrar: n, p m x n x p < ε.. Las sucesiones de Cauchy están acotadas. 2. Si {x n es una sucesión de Cauchy y tiene una parcial {x σ(n) convergente hacia un punto x, entonces {x n x. 3. (Complitud de R N ) Una sucesión {x n en R N es de Cauchy si, y sólamente si, {x n es convergente. Ejercicio 8. Sea N un número natural, A un subconjunto de R N y B A. Demostrar que:. Un punto x B es interior relativo a A si, y sólamente si, para toda sucesión {x n de puntos de A tal que {x n a se tiene que existe m N de manera que n m implica que x n A para todo n m. 2. Un punto x A es adherente a B relativo a A si, y sólamente si, existe una sucesión {x n B de manera que {x n a. Ejercicio 9. Sean N, M dos números naturales, A un subconjunto no vacío de R N y f : A R M. Se dice que f es Lipschitziana si existe una constante positiva L de manera que f(x) f(y) L x y se cumple para cada x, y A. Se pide:. Demostrar que toda función Lipschitziana es continua en todos los puntos. 2. Demostrar que la norma : R N R es una función Lipschitziana. 3. Encontrar una función continua que no sea Lipschiziana. Indicación: Búsquese f : [0, ] R derivable en ]0, [ de manera que f (x) cuando x 0. Ejercicio 0. [Lema de conservación del signo N-dimensional] Sea N un número natural, A un subconjunto abierto de R N y sea f : A R una función que es continua en un punto a A. Demostrar que si f(a) > 0 entonces existe un número positivo r > 0 de manera que B(x, r) A y tal que f(z) > 0 para todo z B(a, r). Es decir, si f es positiva en un punto de continuidad entonces será positiva en toda una bola que lo contenga. 2
Ejercicio. Sea f : R N R una función continua y sea r un número real. Demostrar que el conjunto {x R N : f(x) r es cerrado, mientras que es abierto. {x R N : f(x) < r Ejercicio 2. Sea N un número natural. Una función f : R N R se dice coerciva si se cumple que, para cada K > 0, existe M > 0 de manera que si x > M entonces f(x) > K (intuitivamente, si en valores alejados del origen la función f toma valores cada vez mayores). Demostrar que si f : R N R es continua y coerciva, entonces alcanza su mínimo absoluto. Aplíquese el resultado anterior para demostrar que f : R 2 R dada por f(x, y) = + (x2 + y 2 ) 2 + x 2 + y 2 alcanza su mínimo absoluto. Indicación: Tanto para comprobar la acotación por abajo de f como para demostrar la existencia de mínimo, la coercividad implica que nos podemos restringir a trabajar en una bola (cerrada) centrada en el origen. {( ) x Ejercicio 3. Sea K := 2 +8, x 2 + y 3 : (x, y) B(0, ) R 2 y f : K R dada e por x+y2 f(x, y) := y sen(xy) (x, y) K. Demostrar que f alcanza su máximo y su mínimo absoluto. Ejercicio 4. Sea N un número natural y A un subconjunto no vacío de R N. Demostrar que A es conexo si, y sólamente si, A cumple que si una función f : A {0, es continua entonces f es constante. Ejercicio 5. Sea N >. Demostrar que S(0, ) es conexa. Indicación: Considérese f : R N \ {0 R definida por f(x) = x x. Ejercicio 6 (Caracterización ε δ de límite). Sea N un número natural, A R N un conjunto no vacío, x 0 A y f : A R una función. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:. f tiene límite en x 0 y vale L. 2. Para todo ε > 0 existe δ > 0 de manera que x A f(x) L < ε. 0 < x x 0 < δ Ejercicio 7. Estudiar el límite lím f(x, y) en los siguientes casos: (x,y) (0,0) 3
. f(x, y) = xy (x, y) (0, 0). x 2 +y 2 ( ) 2. f(x, y) = xsen (x, y) R R \ {0. y 3. f(x, y) := xy x2 y 2 (x, y) (0, 0). x 2 +y 2 { Ejercicio 8. Sea A := (x, y) R 2 : x2 + y2 y f : A R la función definida 2 3 por { (x + y)cos(xy) si (x, y) (0, 0), f(x, y) := 0 si (x, y) = (0, 0). Demostrar que f alcanza su máximo y su mínimo absoluto. Ejercicio 9. Sea N un número natural, K un subconjunto compacto y no vacío de R N y x un punto de R N tal que x / K. Demostrar que existe un elemento de K a distancia mínima de x, es decir, existe y K de manera que d(x, y) d(x, z) z K. Como consecuencia, demostrar que existe un punto del trozo de parábola P := {(x, y) R 2 : 0 x, y = x 2 a distancia mínima del punto (, 0). Ejercicio 20. Calcular el límite, si existe, de las siguientes sucesiones:. ( e n n, sen ( ) n 2, n 2 n k= ). 2 k n N 2. ( ) log(n) n, n 3 + 3. 3n 3 + n 2 + n N Ejercicio 2. Sea f : B(0, ) R 2 R dada por f(x, y) :=. Demostrar que f es continua. { (e x+y ) sen(xy) xy si (x, y) (0, 0), 0 si (x, y) = (0, 0). 2. Usando el apartado anterior, demostrar que f está acotada. Indicación: Véase que f admite una extensión continua a B(0, ). Ejercicio 22.. Sean N y M dos números naturales y consideramos dos conjuntos compactos A R N, B R M. Demostrar que el conjunto es compacto. A B := {(a, b) R N+M : a A, b B 4
2. Sean α, β : [0, ] R 2 dos funciones continuas. Demostrar que existen t, s [0, ] de manera que d(α(t), β(s)) d(α(x), β(y)) x, y [0, ], es decir, existen dos puntos de las curvas α y β a distancia mínima. Indicación: Considerar Φ : [0, ] [0, ] R dada por Φ(t, s) := d(α(t), β(s)) = α(t) β(s). 5