120 10. ESPACIOS CONEXOS Tema 3. Conexión por caminos Definiciones 10.3.1. Sea X un espacio topológico. Un camino en X es una aplicación continua α : [0, 1] X (donde [0, 1] se considera como subespacio de R con la topología usual). Diremos que α(0) es el origen de α y que α(1) es su final (de ambos diremos que son los extremos de α). Generalmente diremos que α va del origen al final, o que los une. El camino se dirá constante si α(t) = x 0 t [0, 1] para cierto x 0 X, y cerrado si α(0) = α(1). Sean x, y X, denotaremos por Γ(X, x, y) el conjunto de caminos en X con origen en x y final en y. Supongamos que (α : [0, 1] X) Γ(X, x, y) y que (β : [0, 1] X) Γ(X, y, z) con α(1) = β(0), entonces definimos la suma de caminos como el camino (α β : [0, 1] X) Γ(X, x, z) tal que α β(t) = { α(2t) si t [0, 1] 2 β(2t 1) si t [ 1, 1]. 2 Definimos el camino inverso de α como el camino (α : [0, 1] X) Γ(X, z, x) tal que α (t) := α(1 t). Diremos que β es una reparametrización de α si existe un homeomorfismo creciente h : [0, 1] [0, 1] tal que β = α h. Ejercicio 10.5. Demuestra que α β es efectivamente un camino, es decir, que es una aplicación continua. Observaciones 10.3.2. 1. Si α : [0, 1] X es un camino, entonces el camino α α es un camino cerrado. 2. Si Y X es un subespacio, entonces Γ(Y, x, y) Γ(X, x, y). 3. En ocasiones nos puede interesar extender la definición de camino como aplicaciones continuas de un intervalo cerrado cualquiera, es decir, α : [a, b] X. Si α : [a, b] X es continua, entonces considerando f : [0, 1] [a, b] definida por f(x) := a + x(b a) se tiene que α f es un camino que une α(a) con α(b), y viceversa, si α : [0, 1] X es continua y tomamos g : [a, b] [0, 1] definida por g(x) := x a se tiene b a que α := α g : [a, b] X cumpliendo que α(a) = α(0) y α(b) = α(1).
TEMA 3. CONEXIÓN POR CAMINOS 121 4. Dado que [0, 1] es conexo y compacto, si α : [0, 1] X es un camino, entonces im(α) = α([0, 1]) X es conexo y compacto en X. Consideremos en X la siguiente relación: x c,x y Γ(X, x, y) Ejercicio 10.6. Demuestra que c,x es una relación de equivalencia. Definición 10.3.3. A cada clase de equivalencia de la relación c,x le denominamos componente conexa por caminos de X. c,x Un espacio topológico se denomina conexo por caminos si sólo tiene una clase de equivalencia, es decir, si x, y X, se tiene que Γ(X, x, y). Observación 10.3.4. Obsérvese que si f : X Y es aplicación continua, entonces Γ(X, x 1, x 2 ) implica que Γ(Y, f(x 1 ), f(x 2 )). El motivo es el siguiente: si α Γ(X, x 1, x 2 ), entonces tomando f α : [0, 1] Y se tiene un camino cuyo origen es (f α)(0) = f(α(0)) = f(x 1 ) y cuyo final es (f α)(1) = f(α(1)) = f(x 2 ), es decir, tal que f α Γ(Y, f(x 1 ), f(x 2 )). En otras palabras, c,x six 1 x 2 f(x 1 ) c,y f(x 2 ). Por lo tanto, si f : X Y es homeomorfismo, Γ(X, x 1, x 2 ) es equivalente a que Γ(Y, y 1, y 2 ), donde f(x i ) = y i. Así pues, el número de componentes conexas por caminos de un espacio topológico es una propiedad topológica, en particular, ser conexo por caminos es propiedad topológica. Observación 10.3.5. Si X, observa que X es conexo por caminos si y sólo si existe x 0 X de forma que Γ(X, x 0, x) para cualquier x X. El motivo es que c,x tiene una clase de equivalencia si y sólo si todo punto x X es equivalente a uno dado x 0, o bien si cualquiera dos puntos x, y X son equivalentes. Ejemplos 10.3.6. 1. Recordemos que un subconjunto I R es un intervalo si cumple la siguiente propiedad: x, y I son dos puntos de I, (supongamos que x < y) entonces [x, y] I (Teorema 1.2.11), es decir, si x z y se tiene que z I. Esto es equivalente a que x + t(y x) I para cualquier t [0, 1]. Así pues, la aplicación α : [0, 1] I definida por α(t) = x+t(y x) es un camino que une x con y, y por tanto I es conexo por caminos (de hecho la Proposición 10.3.8 y el Ejemplo 10.1.8(1) probarán que este resultado es un si y sólo si).
122 10. ESPACIOS CONEXOS 2. Sea x 0 = (0, 0,..., 0) R n y tomemos un punto cualquiera x = (x 1, x 2,..., x n ) R n. La aplicación α : [0, 1] R n α(t) = x 0 + tx es claramente un camino de x 0 a x. Por lo tanto R n es conexo por caminos. 3. Como la conexión por caminos es una propiedad topológica (Observación 10.3.4), sabemos que S n \ {P } ( R n por el Ejemplo 8.5.5) es conexo por caminos (ya que R n lo es por el apartado (2)), es decir, que Γ(S n \ {P }, x, y). Ahora bien, tomando Q = (0, 0,..., 1) el polo sur de S n, obtenemos que S n \{Q} ( R n ) es conexo por caminos, y por tanto Γ(S n \ {Q}, x, y). Fijemos x 0 S n \ {P, Q}, como consecuencia de la Observación 10.3.2(2) sabemos que Γ(S n \ {P }, x 0, y 1 ) Γ(S n, x 0, y) (si y 1 S n \ {P }) y que Γ(S n \ {Q}, x 0, y 2 ) Γ(S n, x 0, y) (si y 2 S n \ {Q}). Por tanto, Γ(S n, x 0, y) para cualquier y (S n \ {P }) (S n \ {Q}) = S n. 4. Este razonamiento se puede generalizar de manera análoga para obtener el siguiente resultado: Sea X e.t. y sean {X λ } λ Λ una familia de subespacios de X de manera que: a) X λ es conexo por caminos, b) λ Λ X λ = X, y c) λ Λ X λ, entonces X es conexo por caminos. A continuación recogemos este y otros resultados análogos a los de conexión. Propiedades 10.3.7 (Conexión por caminos). Sean X e Y e.t, y entonces se tienen las siguientes propiedades: (1) Si K X conexo por caminos y f : X Y continua, entonces f(k) Y es conexo por caminos. (2) Sea {X λ } una familia no vacía de subespacios conexos por caminos de X, se tiene que λ Λ X λ X es conexo por caminos si se cumple una de las propiedades siguientes: (a) λ Λ X λ (b) Λ = N y X n X n+1, n N. (c) Λ = {0, 1,..., k} y X n X n+1, n N \ {k}. (3) X Y es conexo por caminos si y sólo si X e Y son conexos por caminos. Ejercicio 10.7. Sea f : X Y aplicación continua y X e.t. conexo por caminos. Demuestra que Γ f := {(x, f(x)) x X} es conexo por caminos. Proposición 10.3.8. Todo espacio conexo por caminos es conexo. Ejemplos 10.3.9.
TEMA 3. CONEXIÓN POR CAMINOS 123 1. Un subconjunto de R es conexo por caminos si y sólo si es un intervalo. Por el Ejemplo 10.3.6(1) sabemos que todo intervalo es conexo por caminos. Recíprocamente, si un subconjunto de I R es conexo por caminos, entonces por la Proposición 10.3.8, es conexo y esto implica (Ejemplo 10.1.8(1)) que I es un intervalo. 2. El recíproco de la Proposición 10.3.8 no es cierto. Para probarlo, utilizaremos el seno del topólogo, definido en el Ejemplo 10.2.12. Consideremos un camino γ : [0, 1] X tal que γ(0) = (0, y 0 ) X 2. Sea A := γ 1 (X 2 ) [0, 1]. Sabemos que A es no vacío ya que 0 A; además es cerrado ya que X 2 es cerrado y γ es continua. Veamos que A es además abierto. Para ello, sea t A. Fijemos un entorno abierto de γ(t) = (x, y) de la forma U := (x ε, x+ε) (y ε, y+ε) (ε suficientemente pequeño como en el Ejemplo 10.2.12) y V un entorno de t de la forma V := (t δ, t + δ) en [0, 1] tal que γ(v ) U. Por tanto, γ(v ) es conexo y está contenido en la componente conexa de U X que contiene a γ(t) X 2, es decir en U X 2. Así pues, V A, y por tanto A es abierto. Como [0, 1] es conexo, A = [0, 1]. Por lo tanto el punto (0, y 0 ) no puede unirse por ningún camino a un punto de X 1, y por tanto X no es conexa por caminos. A continuación estudiaremos las propiedades de la descomposición de X en componentes conexas: Lema 10.3.10. Sea A una clase de equivalencia de la relación c,x. Entonces, (1) Si B es conexo por caminos y A B, entonces B A. (2) A es conexo por caminos. Propiedades 10.3.11 (Componentes conexas por caminos). Sea (X, T ) e.t, entonces se tiene que (1) X es unión disjunta de sus componentes conexas por caminos. (2) Sea x X y sea K x la componente conexa por caminos que contiene a x, entonces K x es el mayor conexo por caminos que contiene a x (por la relación de orden ). (3) Si A X es un conexo por caminos no vacío, entonces existe una única componente conexa por caminos K tal que A K. (4) Sea K X el espacio cociente de X por la relación c,x. Entonces K X admite una estructura de e.t. cociente y cumple que si X Y entonces K X K Y. En particular, el cardinal de K X es un invariante de X por homeomorfismo.
124 10. ESPACIOS CONEXOS (5) X es conexo por caminos si y sólo si posee una sola componente conexa por caminos. (6) Toda componente conexa por caminos de X está contenida en una única componente conexa de X. (7) Toda componente conexa de X es unión disjunta de componentes conexas por caminos de X. Ejemplo 10.3.12. La demostración de que el seno del topólogo no es conexo por caminos (Ejemplo 10.3.9) demuestra precisamente que X 2 es componente conexa por caminos de X. Por otra parte, X 1 es el grafo de la aplicación continua f : (0, 1] R, definida por f(x) = sen ( 1 x). Como (0, 1] es conexo por caminos (Ejemplo 10.3.6(1)), entonces X 1 también es conexo por caminos (Ejercicio 10.7). Por lo tanto X tiene exactamente dos componentes conexas por caminos: X 1 y X 2, mientras que sólo una componente conexa (Ejemplo 10.2.12). Obsérvese además que X 1 es componente conexa por caminos, pero no es cerrado en X.