Cinemática en una dimensión

Capítulo 2. Cinemática en una dimensión La meánica, la más antiüa de las ciencias físicas es el estudio del movimiento de los cuerpos. 1. Distinción entre cinemática y dinámica Cuando describimos el mvimiento nos ocupamos de la parte de la mecánica que llamamos cinemática. Cuando relacionamos el movimiento con las fuerzas que intervienen en él y con las propiedades de los cuerposen movimiento, nos ocupamos de la dinámica. 2. Concepto de partícula Matemáticamente una partícula se considera como un punto, como un objeto sin tamaño de manera que no hay que hacer consideraciones de rotación o vibración. En realidad no existe en la naturaleza nada que pueda llamarse un objeto sin extensión. Sin embaro, los objetos reales a menudo se comportan, con ran aproximación como partículas. Un cuerpo no necesita ser realmente pequeño para poder ser tratado como partícula. Por ejemplo, con respecto a la distancia tierra sol, el sol y la tierra pueden ser tratados ordinariamente como partículas: R T 3. Espacio y tiempo D 106 10 11 = 10 5 Vamos a tratar estos dos conceptos no desde un punto de vista filosófico ( Qué son?) sino en su relación con el movimiento de los cuerpos. 17

18 Capítulo 2 3..1 Movimiento A un cuerpo le asinaremos una posición en el espacio en un instante de tiempo. Como varie una en función del otro nos proporcionará su movimiento. 3..2 Medida Intuitivamente estamos introduciendo la observación cuantitativa, es decir la medición. Con un patrón de lonitud podemos medir la distacia recorrida y con un patrón de tiempo el tiempo empleado. El hecho de que Galileo se plantease tales medidas dió luar al nacimieto de la Física como ciencia, separándose así de la filosofía para la cual los razonamientos sobre los hechos naturales eran suficiente prueba de los mismos. 3..3 Homoeneidad del tiempo En lo que hemos dicho hasta ahora es imprescindible hacer una suposición de partida: el patrón de tiempo no varía con el transcurso del mismo. Como no podemos contrastarlo experimentalmente consideramos la homoeneidad del tiempo como una hipótesis necesaria. 4. Movimiento en una dimensión 4..1 Posición Puesto que el movimiento se realiza en una recta, llamaremos i al vector unitario en la dirección positiva, de manera que la posición de la partícula e un instante dado será: r(t) = x(t) i (4.1) Podemos representar la curva x(t) que denominaremos trayectoria de la partícula 4..2 Velocidad Da cuenta de la rapidez con que varía la posición con el tiempo y se define como: v(t) = dr(t) r(t) = = ẋ i (4.2) dt

Cinemática en una dimensión 19 t 1 4..3 Aceleración Fiura 2..1: Posición,velocidad y tiempo Da cuenta de la rapidez con que varía la velocidad con el tiempo y se define como: 4..4 Ejemplos Ejemplo 1 a(t) = v(t) = d2 r(t) = ẍ i (4.3) dt 2 Es posible que una persona camine a través de una habitación con velocidad neativa y aceleración positiva?. Poner un ejemplo y hacer un ráfico. Suponamos que inicialmente su velocidad es v = v 0 i donde v 0 > 0 y que acelera con una aceleración constante a = a 0 i con a 0 > 0. El movimiento será: x = ( v 0 t + a 0 t 2 /2) i de forma que v = ( v 0 + a 0 t) i que está diriida en la dirección neativa del eje x en el intervalo temporal 0 < t < v 0 / mientras que la aceleración está siempre diriida en la dirección positiva del eje x

20 Capítulo 2 5. Condiciones iniciales Conocida la aceleración que tiene una partícula en una dimensión a = a(t) i (5.4) podemos determinar su velocidad y posición mediante dos interaciones sucesivas. En cada interación hay que introducir una constante arbitraria. Ello sinifica que hay infinitas trayectorias posibles con la misma aceleración, tantas como los diferentes valosres de las constantes arbitrarias. El movimiento concreto de una partícula dada dependerá de los valores particulares que tomen estas constantes. Para fijarlas hay que conocer la posición y la velocidad inicial 5..1 Posición inicial 5..2 Velocidad inicial 6. Movimiento uniformemente acelerado 6..1 Caída libre (Resnick 3-10, 3-11)

Cinemática en una dimensión 21 Problemas el Tema II (5-10-2008) 1.) La posición de una partícula que se mueve a lo laro del eje de las x depende del tiempo de acuerdo con la ecuación x = a 0 t 2 b 0 t 3 en donde x está en cm y t en seundos a) Que dimensiones y unidades deben tener a 0 y b 0? b) Suponamos que en dichas unidades los valores de a 0 y b 0 son 3 y 1 respectivamente.si parte del arien, Cuanto tarda la partícula en recorrer la máxima distancia posible hacia la derecha? c) En que posición se encuentra al cabo de los primeros 4 seundos?. Con que velocidad?. Con que aceleración?. 2.) Una partícula que parte del reposo desde el orien, tiene una aceleración que aumenta linealmente con el tiempo a = kt siendo el cambio de la aceleración k = 1, 5 m/s 3 a) Hacer una ráfica de a en función de t durante el primer intervalo de 10s b) Hacer la ráfica de v en función de t en el mismo período y calcular la velocidad a los 5s de empezar el movimiento c) Hacer la ráfica correspondiente de x en función de t y determinar lo que ha avanzado la partícula en los primeros 5 s y en los siuientes 5 3.) La posición de una partícula que se mueve a lo laro del eje x varía con el tiempo seún la ecuación x = v 0 k (1 e kt ) en la cual v 0 y k son constantes a) Hacer una ráfica de x en función de t b) Determinar la distancia total que recorre la partícula c) Demostrar que la aceleración está diriida en sentido contrario a la velocidad d) Razonar como se puede requerir un tiempo infinito para recorrer una distancia finita 4.) Un coche sale de una ciudad a 70km/h. Al cabo de 15 minutos otro coche sale del mismo luar a 80Km/H. Cuanto tiempo tarda el seundo coche en alcanzar al primero y a qué distancia de la ciudad ocurre? 5.) Una ciudad A se encuentra 54Km al norte de otra ciudad B. Si un coche sale de A hacia el sur a 60Km/h y al mismo tiempo otro sale de B hacia A a 75Km/h, determinar a que distancia de A se cruzan y cuanto tiempo después de haber salido 6.) Una partícula siue un movimiento rectilíneo dado por ẍ = 6at bω 3 sen(ωt). En t = 0 su velocidad y posición son cero. Determinar la posición y velocidad en cualquier instante

22 Capítulo 2 7.) Una partícula siue un movimiento rectilíneo con una velocidad dada por v = k/x donde k es una constante positiva. Si para t = 0 se encuentra en x = 2, determinar posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo 8.) Una partícula se mueve en en el seno de un líquido con una aceleración opuesta a la velocidad en forma a = kv 2. Determinar la velocidad en función del tiempo y de la posición si las condiciones iniciales son x = 0 y v = v 0 cuando t = 0. 9.) Si un cuerpo recorre la mitad de su distancia total de caida libre durante el último seundo de su movimiento a partir del reposo, calcular el tiempo y la altura desde la cual cae. 10.) Un lobo va subiendo a razón de 12 m/se. Cuando se encuentra a 80 m sobre el suelo suelta un paquete. Cuanto tiempo tarda el paquete en llear al suelo? 11.) Un paracaidista después de saltar, cae sin rozamiento durante 50 m hasta que se abre el paracaidas que le frena a razón de 2 m/s 2. LLea al suelo con una velocidad de 3 m/s a) Cuanto tiempo ha estado en el aire? b) Desde que altura saltó? 12.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v 0. Demostrar que la altura que alcanza es la mitad de la que alcanzaría en el mismo tiempo si no hubiese ravedad. 13.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v 0. En cada rebote pierde 2/3 de la velocidad. Calcular el tiempo que tarda en pararse y el espacio recorrido durante ese tiempo. Determinar cual sería la velocidad equivalente a la que se hubiera tenido que mover un cuerpo con movimiento uniforme para recorrer la misma distancia en el mismo tiempo. 14.) Se suelta una moneda al borde de un acantilado de 105 m de altura. Con qué velocidad debe lanzarse una piedra 1 seundo después para que alcance a la moneda a 15 m del suelo?

Cinemática en una dimensión 23 7. Problemas 1.) La posición de una partícula que se mueve a lo laro del eje de las x depende del tiempo de acuerdo con la ecuación x = a 0 t 2 b 0 t 3 en donde x está en cm y t en seundos a) Que dimensiones y unidades deben tener a 0 y b 0? b) Suponamos que en dichas unidades los valores de a 0 y b 0 son 3 y 1 respectivamente.si parte del arien, Cuanto tarda la partícula en recorrer la máxima distancia posible hacia la derecha? c) En que posición se encuentra al cabo de los primeros 4 seundos?. Con que velocidad?. Con que aceleración?. a) [a 0 ] = LT 2 [b 0 ] = LT 3 b) dx dt = 0 = 2a 0t 3b 0 t 2 = 0 = t = 2a 0 3b 0 = 2s x(t = 2s) = 4cm c) x(t = 4s) = 16cm v = 2a 0 t 3b 0 t 2 = v(t = 4s) = 24cm/s a = 2a 0 6b 0 t = a(t = 4s) = 18cm/s 2

24 Capítulo 2 5 0 t 1 2 3 4 5 10 15 20 Problema 1: Posición, velocidad y aceleración

Cinemática en una dimensión 25 2.) Una partícula que parte del reposo desde el orien, tiene una aceleración que aumenta linealmente con el tiempo a = kt siendo el cambio de la aceleración k = 1, 5 m/s 3 a) Hacer una ráfica de a en función de t durante el primer intervalo de 10s b) Hacer la ráfica de v en función de t en el mismo período y calcular la velocidad a los 5s de empezar el movimiento c) Hacer la ráfica correspondiente de x en función de t y determinar lo que ha avanzado la partícula en los primeros 5 s y en los siuientes 5 100 50 0 5 t Problema 2: Posición, velocidad y aceleración

26 Capítulo 2 3.) La posición de una partícula que se mueve a lo laro del eje x varía con el tiempo seún la ecuación x = v 0 k (1 e kt ) en la cual v 0 y k son constantes a) Hacer una ráfica de x en función de t b) Determinar la distancia total que recorre la partícula c) Demostrar que la aceleración está diriida en sentido contrario a la velocidad d) Razonar como se puede requerir un tiempo infinito para recorrer una distancia finita a) 1 0 5 t 1 Problema 3: Posición, velocidad y aceleración b) el máximo de x se alcanza cuando lueo dx dt = 0 = 0 = v 0e kt = t = x m = x(t = ) = v 0 k

Cinemática en una dimensión 27 c) d) Iual que Aquiles y la tortua v = dx dt = v 0e kt a = dv dt = kv 0e kt = kv

28 Capítulo 2 4.) Un coche sale de una ciudad a 70km/h. Al cabo de 15 minutos otro coche sale del mismo luar a 80Km/H. Cuanto tiempo tarda el seundo coche en alcanzar al primero y a qué distancia de la ciudad ocurre? Sea v 1 = 70km/h = 70.10 3 /3600m/s = 700m/36/s v 2 = 80km/h = 800m/36s t 0 = 15s 200 150 100 50 0 1 1.5 2 t Problema 4: Posición de los dos coches El movimiento del primer coche será x 1 = v 1 t el del seundo x 2 = v 2 (t t 0 ) Por tanto coinciden al cabo de un tiempo T despues de la salida del primer coche tal que v 1 T = v 2 (T t 0 ) T = v 2 t 0 = 1 v 2 v 1 1 v t 1 0 v 2 T = 15s1 7/8 = 120s = 2h. En este periodo han recorrido un espacio x 1 (T ) = 70km/h.2h = 140Km

Cinemática en una dimensión 29 5.) Una ciudad A se encuentra 54Km al norte de otra ciudad B. Si un coche sale de A hacia el sur a 60Km/h y al mismo tiempo otro sale de B hacia A a 75Km/h, determinar a que distancia de A se cruzan y cuanto tiempo después de haber salido Sea v 1 = 60km/h = 60.10 3 /3600m/s = 600m/36/s v 2 = 75km/h = 7500m/36s x 0 = 54km 40 20 0 0.2 0.4 t Problema 5: Posición de los dos coches Tomando el orien en A El movimiento del primer coche será x 1 = v 1 t el del seundo x 2 = x0 v 2 t Por tanto coinciden al cabo de un tiempo T despues de la salida del primer coche tal que v 1 T = x0 v 2 T T = x 0 v 2 + v 1 = En este periodo han recorrido un espacio 54km 135km/h = 0.4h x 1 (T ) = 60km/h.(0.4h) = 24Km

30 Capítulo 2 6.) Una partícula siue un movimiento rectilíneo dado por ẍ = 6at bω 3 sen(ωt). En t = 0 su velocidad y posición son cero. Determinar la posición y velocidad en cualquier instante Interando ẍ = 6at bω 3 sen(ωt) ẋ = 3at 2 + bω 2 cos(ωt) + c 1 con las condiciones iniciales dadas c 1 = bω 2 Interando la velocidad v = 3at 2 + bω 2 cos(ωt) bω 2 x = at 3 + bω sin(ωt) + c 2 donde c 2 = 0 de acuerdo con las condiciones iniciales

Cinemática en una dimensión 31 7.) Una partícula siue un movimiento rectilíneo con una velocidad dada por v = k/x donde k es una constante positiva. Si para t = 0 se encuentra en x = 2, determinar posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo Problema 7: Posición, velocidad y aceleración Interando dx dt = k/x 1/2x 2 kt + c 1 = 0 con las condiciones iniciales dadas c 1 = 2 x = 2kt + 4 derivando v = k 2kt + 4 k 2 a = ( 2kt + 4) 3

32 Capítulo 2 8.) Una partícula se mueve en en el seno de un líquido con una aceleración opuesta a la velocidad en forma a = kv 2. Determinar la velocidad en función del tiempo y de la posición si las condiciones iniciales son x = 0 y v = v 0 cuando t = 0. interando interando de nuevo o bien, eliminando el tiempo Problema 8: Gráfica de v en función de x a = kv 2 dv v 2 = kdt 1 v = kt + 1 v 0 = v = x = 1 k ln v 0 v v = v 0 e kx v 0 1 + v 0 kt

Cinemática en una dimensión 33 9.) Si un cuerpo recorre la mitad de su distancia total de caida libre durante el último seundo de su movimiento a partir del reposo, calcular el tiempo y la altura desde la cual cae. Las condiciones iniciales son y por tanto z(0) = h ż(0) = 0 z = h 1 2 t2 v = t El tiempo total T de caida corresponde a z(t ) = 0 = h 1 2 T 2 = T = + 2h (1) Sea t 0 = 1s, entonces en T t 0 recorre h 2 z(t t 0 ) = h 2 = h 1 2 (T t 0) 2 h = T t 0 = + (2) Combinando (1) y (2) 2h h = ( h 2 1) = 1 ( h 2 + 1) = t 0 Despejando h: h = ( 2 + 1) 2 t 2 0 = 57.1 m T = (2 + 2)t 0 = 3.4 s

34 Capítulo 2 10.) Un lobo va subiendo a razón de 12 m/se. Cuando se encuentra a 80 m sobre el suelo suelta un paquete. Cuanto tiempo tarda el paquete en llear al suelo? La altura inicial es: Su velocidad inicial es lueo h = 80 m v 0 = 12 m/s z = h + v 0 t 1 2 t2 El tiempo que tarda en llear al suelo es: z(t ) = 0 = h + v 0 T 1 2 T 2 = 0 T = v 0 [ 1 + 1 + 2h v 2 0 ] = 5.4 s

Cinemática en una dimensión 35 11.) Un paracaidista después de saltar, cae sin rozamiento durante 50 m hasta que se abre el paracaidas que le frena a razón de 2 m/s 2. LLea al suelo con una velocidad de 3 m/s a) Cuanto tiempo ha estado en el aire? b) Desde que altura saltó? Sea h 1 = 50m Es la composición de dos movimientos acelerados Hasta que se abre el paracaidas h > z > h 2 = h h 1, 0 < t < T 1 Caída con acelración, posición inicial h y velocidad inicial cero z = h 1 2 t2 v = t Este movimiento termina en el momento que se abre el paracaidas, lo que ocurrirá en el instante t = T 1 tal que z = h h 1 = h 2. Por lo tanto: h 1 = 1 2 T 1 2 2h 1 = T 1 = = 3.2 s La velocidad en ese instante será v 1 = v(t 1 ) = 2h 1 = 31.3 m/s Al abrirse al paracaidas h 2 > z > 0, T 1 < t < T 2 Caída con aceleración a, posición inicial h 2 = h(t 1 ) y velocidad inicial v 1 = v(t 1 ) z = h 2 + v 1 (t T 1 ) + 1 2 a(t T 1) 2 v = v 1 + a(t T 1 ) Lleará al suelo en el instante t = T 2 tal que z(t 2 ) = 0 yv 2 = v(t 2 ) donde v 2 = 3m/s. Por tanto 0 = z(t 2 ) = h 2 + v 1 (T 2 T 1 ) + 1 2 a(t 2 T 1 ) 2 Por tanto T 2 T 1 = v 2 v 1 a v 2 = v(t 2 ) = v 1 + a(t 2 T 1 ) = 14.15 s = T 2 = 17.34 s h 2 = v2 1 v 2 2 2a = 242.6 m

36 Capítulo 2 12.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v 0. Demostrar que la altura que alcanza es la mitad de la que alcanzaría en el mismo tiempo si no hubiese ravedad. La ecuación del ovimiento es z = v 0 t 1 2 t2 v = v 0 t La altura que alcanza corresponde al instante T en que v = 0. Por tanto: T = v 0 lueo h = z(t ) = v2 0 2 h = v 0 T 2

Cinemática en una dimensión 37 13.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v 0. En cada rebote pierde 2/3 de la velocidad. Calcular el tiempo que tarda en pararse y el espacio recorrido durante ese tiempo. Determinar cual sería la velocidad equivalente a la que se hubiera tenido que mover un cuerpo con movimiento uniforme para recorrer la misma distancia en el mismo tiempo. Como hemos visto en el problema anterior En el primer rebote (subida y bajada) emplearía un tiempo T 1 = 2v 0 y recorrería una distancia h 1 = v2 0 En el seundo la velocidad inicial es v 0 q donde q = 1 : Por tanto: 3 y recorrería una distancia En el rebote n ésimo: y recorrería una distancia Lueo el tiempo total será T 2 = 2v 0q h 1 = v2 0q 2 T n = 2v 0q n h n = v2 0q 2n T = = lim k k n=0 Como q < 1, q k 0 y por tanto T n = n=0 n=0 2v 0 qn 2v 0 2v 0 qn = lim k ( ) 1 q k+1 1 q

38 Capítulo 2 En cuanto a h Es decir y por tanto T = 2v 0 h = = lim k k n=0 ( ) 1 = 3v 0 1 q h n = n=0 n=0 v 2 0 q2n v0 2 v q2n 0 2 = lim k h = v2 0 lueo la velocidad equivalente es ( ) 1 = 9v2 0 1 q 2 8 h = v 0 1 + q T V = v 0 1 + q = 3v 0 4 ( ) 1 q 2k+2 1 q 2

Cinemática en una dimensión 39 14.) Se suelta una moneda al borde de un acantilado de 105 m de altura. Con qué velocidad debe lanzarse una piedra 1 seundo después para que alcance a la moneda a 15 m del suelo? x m = h 1/2t 2 x p = h v 0 (t t 0 ) 1/2(t t 0 ) 2 lueo t = 2(h h 0 )/ = 4.3s v 0 (t t 0 ) = 1/2(t) 2 1/2(t t 0 ) 2 v = t 0 2 2t t 0 t t 0 = 11.3m/s