Simulaciones probabilísticas

Simulaciones probabilísticas Algebra fx 2.0 plus Prof. Jean-Pierre Marcaillou INTRODUCCIÓN La calculadora CASIO algebra fx 2.0 plus permite, a través de la combinación de los comandos Int y Ran# pertenecientes a los submenús NUM y PROB, situados en los menús RUN-MAT y STAT, generar números pseudo aleatorios con la finalidad de modelar simulaciones probabilísticas. La simulación es un recurso didáctico que puede ayudar a comprender la diferencia entre modelo y realidad y a mejorar nuestras intuiciones sobre aleatoriedad. CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS Modelo: Interpretación abstracta, simplificada e idealizada de un objeto del mundo real, de un sistema de relaciones o de un proceso evolutivo que surge de una descripción de la realidad. Números aleatorios: Son números que tienen la propiedad de ser elegidos al azar, es decir, son el resultado de un proceso en el cual su resultado no es predecible ya que todo número tiene la misma probabilidad de ser elegido, y la elección de uno no depende de la elección del otro. Números pseudo aleatorios: Son números generados mediante algoritmos determinísticos, es decir aquellos en que se obtiene el mismo resultado bajo las mismas condiciones iniciales, por lo cual requieren parámetros de arranque. Ran#: Comando que genera números pseudo aleatorios en el intervalo (0,1) de 10 dígitos, es decir números que son mayores que 0 y menores que 1. Int: Comando que extrae la parte entera de un número decimal. Frac: Comando que extrae la parte decimal de un número decimal. Int (NRan#): Comando que genera extracciones aleatorias de números enteros comprendidos entre 0 y N 1. Por ejemplo: Int (2Ran#) genera los números enteros 0 y 1 en el lanzamiento de una moneda donde 0 corresponde a Cruz y 1 a Cara. ( 1)^ Int (2Ran#) genera los números enteros relativos 1 y 1. Int (NRan#+1): Comando que genera extracciones aleatorias de números enteros comprendidos entre 1 y N. Por ejemplo: Int (6Ran#+1) genera los números enteros 1, 2, 3, 4, 5 y 6 en el lanzamiento de un dado, donde el número que aparece representa el número de la cara del dado. MODELACIÓN PROBABILÍSTICA La modelación probabilística consta de los cinco pasos: 1.- Observación de la realidad. 2.- Descripción simplificada de la realidad. 3.- Construcción de un modelo. 4.- Trabajo matemático con el modelo. 5.- Interpretación de resultados en la realidad. 1

SIMULACIÓN DE NÚMEROS PSEUDO ALEATORIOS CON LA CALCULADORA (1) Presione las teclas [AC /ON ] / [MENU], seleccione el menú RUN.MAT a través la tecla elíptica [REPLAY] (,,, ) y presione la tecla [EXE] para abrir dicho menú. (2) Presione la tecla [AC /ON ] para borrar toda la pantalla. (3) Presione las teclas [CTRL] / [F3] (SET UP) / / [F1] (Fix) / [9] / [EXE] / [ESC] con la finalidad de que los números pseudo aleatorios aparezcan con nueve cifras decimales. (4) Presione las teclas [OPTN] / [F6] ( ) / [F1] (PROB) / / / y resalta el comando Ran# (Random) que genera números pseudo aleatorios entre 0 y 1 con diez dígitos. (5) Presione la tecla [EXE] y se aficha en pantalla el comando Ran#; presione nuevamente la tecla [EXE] y aparece el primer número pseudo aleatorio; presione [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] y aparecen los siguientes cinco números pseudo aleatorios. A cada presión de la tecla [EXE] se genera un nuevo número pseudo aleatorio. (6) Presione las teclas [CTRL] / [F3] (SET UP) / / [F1] (Fix) / [0] / [EXE] / [ESC] con la finalidad de que los números pseudo aleatorios aparezcan con ninguna cifra decimal. (7) Presione las teclas [F6] ( ) / [F6] ( ) / [F6] ( ) / [F5] (NUM) / [2] (Int) / [(] / [2] / [F6] ( ) / [F1] (PROB) / [4] (Ran#) / [)] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] y aparecen en la pantalla los números pseudo aleatorios enteros 0 y 1 los cuales pueden simular perfectamente el lanzamiento de una moneda, donde 0 corresponde a Cruz y 1 a Cara. (8) Presione las teclas [F6] ( ) / [F6] ( ) / [F6] ( ) / [F5] (NUM) / [2] (Int) / [(] / [6] / [F6] ( ) / [F1] (PROB) / [4] (Ran#) / [+] / [1] / [)] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] y aparecen en la pantalla los números pseudo aleatorios enteros del 1 al 6 los cuales pueden simular perfectamente el lanzamiento de un dado, donde el número que aparece representa el número de la cara del dado. (9) Presione las teclas [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] y aparecen en la pantalla los siguientes números pseudo aleatorios enteros del 1 al 6. (10) Presione las teclas [(] / [(-)] / [1] / [)] / [^] / [F6] ( ) / [F6] ( ) / [F6] ( ) / [F5] (NUM) / [2] (Int) / [(] / [2] / [F6] ( ) / [F1] (PROB) / [4] (Ran#) / [)] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] / [EXE] y aparecen en la pantalla los números pseudo aleatorios enteros relativos 1 y 1 los cuales pueden simular respectivamente desplazamiento a la izquierda y a la derecha. EJERCICIO Se tiene una rueda dividida en tres secciones idénticas y numeradas 1, 2 y 3. Se supone que al final de una rotación, la rueda se para en uno de los tres sectores de manera equiprobable. Se hace girar la rueda tres veces seguidas en el sentido de las agujas del reloj suponiendo que cada resultado es independiente de los restantes. Sea S la variable aleatoria que representa la suma de los tres números obtenidos. Sea D la variable aleatoria que representa el número obtenido en la segunda rotación de la rueda. 1.- Simular esta experiencia 100 veces. 2.- Determinar para esa simulación la repartición de las frecuencias de la variable aleatoria S. 3.- Determinar las leyes de probabilidades de las variables aleatorias S y D. 4.- Existe coherencia entre los resultados teóricos y los obtenidos en la parte experimental? 5.- Los eventos S 3 y D 1 son independientes? 2

SOLUCIÓN CALCULADORA MENÚ STAT (1) Presione las teclas [AC /ON ] / [MENU], seleccione el menú STAT a través la tecla elíptica [REPLAY] (,,, ) y presione la tecla [EXE] para abrir dicho menú. (2) Seleccione mediante la tecla elíptica [REPLAY] (,,, ) la lista cuyas celdas desea borrar. (3) Presione las teclas [F6] ( ) / [F4] (DEL.A) y aparece un mensaje de confirmación. (4) Presione la tecla [EXE] con la finalidad de borrar todas las celdas en la lista previamente seleccionada. Repita el procedimiento tantas veces como sea necesario hasta borrar todas las listas que considere que necesita para trabajar. Resalte List1 tal cual aparece en la gráfica. (5) Presione las teclas [OPTN] / [F1] (List) / [3] (Seq) / [OPTN] / [F3] (NUM) / [2] (Int) / [(] / [3] / [F4] (PROB) / [4] (Ran#) / [+] / [1] / [)] / [,] / [X] / [,] / [1] / [,] / [1] / [0] / [0] / [,] / [1] / [)] / [EXE] y aparecen en la lista 1 los 100 primeros números pseudo aleatorios consecutivos que toman sus valores entre los números enteros 1, 2 y 3. (6) Presione las teclas / con la finalidad de mostrar el final de la lista 1. (7) Presione las teclas / con la finalidad de ubicarse en List 2. (8) Presione las teclas [F1] (List) / [3] (Seq) / [OPTN] / [F3] (NUM) / [2] (Int) / [(] / [3] / [F4] (PROB) / [4] (Ran#) / [+] / [1] / [)] / [,] / [X] / [,] / [1] / [,] / [1] / [0] / [0] / [,] / [1] / [)] / [EXE] y aparecen en la lista 2 los 100 siguientes números pseudo aleatorios consecutivos que toman sus valores entre los números enteros 1, 2 y 3. (9) Presione las teclas / con la finalidad de mostrar el final de la lista 2. (10) Presione las teclas / con la finalidad de ubicarse en List 3. (11) Presione las teclas [F1] (List) / [3] (Seq) / [OPTN] / [F3] (NUM) / [2] (Int) / [(] / [3] / [F4] (PROB) / [4] (Ran#) / [+] / [1] / [)] / [,] / [X] / [,] / [1] / [,] / [1] / [0] / [0] / [,] / [1] / [)] / [EXE] y aparecen en la lista 3 los 100 últimos números pseudo aleatorios consecutivos que toman sus valores entre los números enteros 1, 2 y 3. (12) Presione las teclas / con la finalidad de mostrar el final de la lista 3. (13) Presione las teclas / con la finalidad de ubicarse en List 4. (14) Presione las teclas [SHIFT] / [1] (List) / [1] / [+] / [SHIFT] / [1] (List) / [2] / [+] / [SHIFT] / [1] (List) / [3] / [EXE] y aparecen en la lista 4 la suma de los 100 valores sucesivos correspondientes a la variable aleatoria S. (15) Presione las teclas / con la finalidad de mostrar el final de la lista 4. (16) Presione las teclas [ESC] / [F1] (GRPH) / [5] (Set) / [F1] (GPH1) / / [F6] ( ) / [1] (HiSt) / / [F1] (LIST) / [4] / [ESC] / / [F1] (1) con la finalidad de ilustrar en el gráfico 1 mediante un histograma los resultados de la variable aleatoria S registrados en List 4. 3

(17) Presione las teclas [ESC] / [F1] (GRPH) / [4] (Select) / [F1] (On) / / [F2] (Off) / / [F2] (Off) / [ESC] / [F1] (GRPH) / [1] (S-Gph1) con la finalidad de activar sólo el gráfico Graph1; seguidamente presione las teclas [3] / [EXE] / [1] / [EXE] con el objeto de fijar el inicio en 3 y el ancho de cada columna es decir la amplitud de cada clase en 1. (18) Presione nuevamente la tecla [EXE] y aparece en la pantalla el histograma de las frecuencias absolutas correspondientes a la variable aleatoria S referente a la simulación anterior. (19) Presione la tecla [F1] (TRACE) y el cursor aparece en el punto medio de la base superior de la primera columna, y en la parte inferior de la pantalla se presenta el resultado siguiente x 3 f 5 el cual indica que la variable aleatoria S toma el valor 3 en 5 ocasiones. En consecuencia se tiene que P(S 3) 5 / 100 0,05. (20) Presione la tecla y el cursor aparece en el punto medio de la base superior de la segunda columna, y en la parte inferior de la pantalla se presenta el resultado siguiente x 4 f 15 el cual indica que la variable aleatoria S toma el valor 4 en 15 ocasiones. En consecuencia se tiene que P(S 4) 15 / 100 0,15. (21) Presione la tecla y el cursor aparece en el punto medio de la base superior de la tercera columna, y en la parte inferior de la pantalla se presenta el resultado siguiente x 5 f 20 el cual indica que la variable aleatoria S toma el valor 5 en 20 ocasiones. En consecuencia se tiene que P(S 5) 20 /100 0,20. (22) Presione la tecla y el cursor aparece en el punto medio de la base superior de la cuarta columna, y en la parte inferior de la pantalla se presenta el resultado siguiente x 6 f 27 el cual indica que la variable aleatoria S toma el valor 6 en 27 ocasiones. En consecuencia se tiene que P(S 6) 27 /100 0,27. (23) Presione la tecla y el cursor aparece en el punto medio de la base superior de la quinta columna, y en la parte inferior de la pantalla se presenta el resultado siguiente x 7 f 19 el cual indica que la variable aleatoria S toma el valor 7 en 19 ocasiones. En consecuencia se tiene que P(S 7) 19 / 100 0,19. (24) Presione la tecla y el cursor aparece en el punto medio de la base superior de la sexta columna, y en la parte inferior de la pantalla se presenta el resultado siguiente x 8 f 13 el cual indica que la variable aleatoria S toma el valor 8 en 13 ocasiones. En consecuencia se tiene que P(S 8) 13 / 100 0,13. (25) Presione la tecla y el cursor aparece en el punto medio de la base superior de la séptima columna, y en la parte inferior de la pantalla se presenta el resultado siguiente x 9 f 1el cual indica que la variable aleatoria S toma el valor 9 en 1 ocasión. En consecuencia se tiene que P(S 9) 1/ 100 0,01. (26) Realice una segunda simulación repitiendo uno por uno los pasos anteriores hasta llegar a ilustrar mediante un histograma los resultados obtenidos de la variable aleatoria S. (27) Presione la tecla [F1] (TRACE) y el cursor aparece en el punto medio de la base superior de la primera columna y en la parte inferior de la pantalla se presenta el resultado siguiente x 3 f 5 el cual indica que la variable aleatoria S toma el valor 3 en 5 ocasiones. En consecuencia se tiene que P(S 3) 5 / 100 0,05. 4

(28) Presione seguidamente la tecla tantas veces como sea necesario para presentar los restantes resultados: x 4 f 11; x 5 f 22 ; x 6 f 23 ; x 7 f 25 ; x 8 f 5 ; x 9 f 4 Las dos simulaciones realizadas anteriormente no son suficientes para determinar la coherencia entre las simulaciones y el resultado teórico. Se debe realizar un número mayor de experiencias para verificar dicha coherencia. En consecuencia, se escribirá un programa con la finalidad de poder realizar una gran cantidad de simulaciones a sabiendas que cada una de ellas contiene un gran número a su vez de experiencias y corroborar que los resultados obtenidos mediante este procedimiento se aproximan a los resultados teóricos. SOLUCIÓN MATEMÁTICA Es evidente que la variable aleatoria D es tal que P(D 1) P(D 2) P(D 3) 1/ 3. La variable aleatoria S puede tomar cualquier valor entero desde el 3 hasta el 9. Se sabe que existen 27 posibilidades de ordenar bajo la forma a, b, c los valores 1, 2 y 3 con repetición. El evento S 3se realiza únicamente para la terna (1,1,1). El evento S 4se realiza para las ternas (1,1,2),(1,2,1),(2,1,1). El evento S 5se realiza para las ternas (1,2,2,(2,1,2),(2,2,1),(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1. El evento S 6se realiza para las ternas (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2). El evento S 7se realiza para las ternas (1,3,3),(3,1,3),(3,3,1),(2,2,3),(2,3,2),(3,2,2). El evento S 8se realiza para las ternas (2,3,3),(3,2,3),(3,3,2). El evento S 9se realiza únicamente para la terna (3,3,3). En consecuencia se tiene que: 1 3 6 7 P(S 3) 3,70% ; P(S 4) 11,11% ; P(S 5) 22, 22% ; P(S 6) 25,33% 27 27 27 27 6 3 1 P(S 7) 22, 22% ; P(S 8) 11,11% ; P(S 9) 3,70% 27 27 27 Se sabe que 1 P(D 1) y que 3 1 P(S 3). Además el evento S 3implica el evento D 1, en consecuencia 27 1 27. Por lo tanto se tiene que P (D 1) (S 3) P(S 3) S 3y D 1no son independientes. P (D 1) (S 3) P(D 1)P(S 3) y los eventos 5

PROGRAMA RUEDA3SE = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = RUEDA3SE = = = = = = = == = = = = = = = = = = = = = = = = = = SIMULACIONES :? N EXPERIENCIAS :? E Seq(K,K,3,9,1) List 1 Seq(0,K,3,9,1) List 2 Seq(0,K,3,9,1) List 3 Seq(0,K,3,9,1) List 4 For 1 I To N Seq(0,K,3,9,1) List 2 For 1 J To E Int (3Ran#+1) X Int (3Ran#+1) Y Int (3Ran#+1) Z X+Y+Z S If S=3 Then 1+ List 2[1] List 2[1] If S=4 Then 1+ List 2[2] List 2[2] If S=5 Then 1+ List 2[3] List 2[3] If S=6 Then 1+ List 2[4] List 2[4] If S=7 Then 1+ List 2[5] List 2[5] If S=8 Then 1+ List 2[6] List 2[6] If S=9 Then 1+ List 2[7] List 2[7] Next List 2 List 2 + List 3 List 3 Next List 3 List 3/(N E) List 4 List 4 S-Gph1 DrawnOn, Hist, List 1, List 3 6

S-Grph2 DrawnOff S-Grph3 DrawnOff DrawnStat SOLUCIÓN CALCULADORA MENÚ PRGM: PROGRAMA RUEDA3SE (1) Presione seguidamente las teclas [AC /ON ] / [MENU] y seleccione el menú PRGM a través la tecla elíptica [REPLAY] (,,, ). (2) Presione la tecla [EXE] para ingresar en Lista de programa y resalte el programa RUEDA3SE. (3) Presione la tecla [F1] (EXE) para ingresar el programa RUEDA3SE. Se le pide el número de simulaciones que desea realizar. (4) Presione las teclas [1] / [0] / [EXE], se registra en pantalla el valor 10 como cantidad de simulaciones, y se le pide ahora el número de experiencias que desea realizar en cada simulación. (5) Presione las teclas [1] / [0] / [0] y se registra la cantidad de experiencias a realizar en cada simulación. (6) Presione la tecla [EXE] y aparecen en pantalla las frecuencias de los resultados obtenidos para la variable aleatoria S correspondiente a la primera simulación; presione (7) Presione la tecla [EXE] y aparecen en pantalla las frecuencias de los resultados obtenidos para la variable aleatoria S correspondiente a la segunda simulación; presione (8) Presione la tecla [EXE] y aparecen en pantalla las frecuencias de los resultados obtenidos para la variable aleatoria S correspondiente a la tercera simulación; presione la tecla y aparecen los resultados restantes. Estos resultados aparecen también en List 2 del menú STAT. 7

(9) Presione la tecla [EXE] y aparecen en pantalla las frecuencias de los resultados obtenidos para la variable aleatoria S correspondiente a la cuarta simulación; presione la tecla y aparecen los resultados restantes. Estos resultados aparecen también en List 2 del menú STAT. (10) Presione la tecla [EXE] y aparecen en pantalla las frecuencias de los resultados obtenidos para la variable aleatoria S correspondiente a la quinta simulación; presione (11) Presione la tecla [EXE] y aparecen en pantalla las frecuencias de los resultados obtenidos para la variable aleatoria S correspondiente a la sexta simulación; presione (12) Presione la tecla [EXE] y aparecen en pantalla las frecuencias de los resultados obtenidos para la variable aleatoria S correspondiente a la séptima simulación; presione la tecla y aparecen los resultados restantes. Estos resultados aparecen también en (13) Presione la tecla [EXE] y aparecen en pantalla las frecuencias de los resultados obtenidos para la variable aleatoria S correspondiente a la octava simulación; presione (14) Presione la tecla [EXE] y aparecen en pantalla las frecuencias de los resultados obtenidos para la variable aleatoria S correspondiente a la novena simulación; presione (15) Presione la tecla [EXE] y aparecen en pantalla las frecuencias de los resultados obtenidos para la variable aleatoria S correspondiente a la décima simulación; presione (16) Presione la tecla [EXE] y aparece en pantalla la tabla resumen de la suma de las frecuencias de los resultados obtenidos para la variable aleatoria S correspondientes a las 1.000 experiencias; presione la tecla y aparecen los resultados restantes. Estos resultados acumulativos aparecen también en List 3 del menú STAT. 8

(17) Presione la tecla [EXE] y aparece en la pantalla la tabla resumen de las frecuencias relativas de la tabla anterior; presione la tecla y aparecen los resultados restantes. Estos resultados aparecen también en List 4 del menú STAT y son los resultados de List 3 divididos entre el valor 1.000. (18) Presione la tecla [EXE] y aparece el histograma correspondiente; presione la tecla [F1] (TRACE) y el cursor aparece en la parte superior media de la primera columna y en la parte inferior de la pantalla se presenta el resultado siguiente x 3 f 36 el cual indica que la variable aleatoria S toma el valor 3 en 36 ocasiones. (19) Presione la tecla y el cursor aparece en la parte superior media de la segunda columna y en la parte inferior de la pantalla se presenta el resultado siguiente x 3, 667 f 127 el cual indica que la variable aleatoria S toma el valor 3,667 en 127 ocasiones. Con la finalidad de mejorar el histograma se regresa al menú STAT. (20) Presione la tecla [MENU] y seleccione el menú STAT a través la tecla elíptica [REPLAY] (,,, ). (21) Presione la tecla [EXE] y aparecen las listas generadas por el programa RUEDA3SE donde List 1 registra los valores que toma la variable aleatoria S (3,4,5,6,7,8,9), List 2 los valores de las frecuencias correspondientes a la décima simulación, List 3 los valores acumulados de las frecuencias correspondientes a las 10 simulaciones y List 4 las frecuencias relativas correspondientes. Se puede observar que los resultados obtenidos a través de las 10 simulaciones se aproximan bastante a los resultados teóricos obtenidos para la variable aleatoria S. (22) Presione las teclas [F1] (GRPH) / [1] (S-Gph1) / [3] / [EXE] / [1] / [EXE] / EXE] y aparece el histograma de las frecuencias absolutas correspondientes a la variable aleatoria S referente a la simulación anterior. (23) Presione la tecla [F1] (TRACE) y el cursor aparece en la parte superior media de la primera columna y en la parte inferior de la pantalla se presenta el resultado siguiente x 3 f 36 el cual indica que la variable aleatoria S toma el valor 3 en 36 ocasiones. (24) Presione seguidamente la tecla tantas veces como sea necesario para presentar los restantes resultados: x 4 f 127 ; x 5 f 238 ; x 6 f 274 ; x 7 f 192 ; x 8 f 105;x 9 f 28 ATEMÁTICA 9

Se construye a continuación la tabla resumen de todas las 10 simulaciones realizadas anteriormente: Variable aleatoria S 3 4 5 6 7 8 9 Simulación 1 1 17 27 23 22 9 1 Simulación 2 3 14 17 24 19 12 1 Simulación 3 0 18 29 26 17 7 3 Simulación 4 8 10 25 34 11 11 1 Simulación 5 4 13 20 24 20 16 3 Simulación 6 5 13 18 31 21 9 3 Simulación 7 2 13 17 31 19 13 5 Simulación 8 7 9 26 26 16 12 4 Simulación 9 2 9 20 30 27 8 4 Simulación 10 4 11 29 25 20 8 3 Resumen nominal 36 127 238 274 192 105 28 Resumen porcentual 3,60% 12,70% 23,80% 27,40% 19,20% 10,50% 2,80% Teórico 3,70% 11,11% 22,22% 25,33% 22,22% 11,11% 3,70% Caminata aleatoria Considere un peón situado en la celda de salida como se ilustra a continuación salida La tirada de una moneda perfectamente equilibrada determina el desplazamiento del peón: Cara, el peón se desplaza hacia la derecha, Cruz, el peón se desplaza hacia la izquierda. Un trayecto es una sucesión de 4 desplazamientos continuos. Sea el evento A: El peón ha regresado a la celda de salida después de los cuatro desplazamientos. A cada tirada se asocia el valor 1 si el resultado es Cara, y 1 si el resultado es Cruz. 1.- Simular mediante la siguiente tabla desde 200 a 2000 trayectos y estimar la frecuencia del evento A. Trayectos 200 400 600 800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000 Frecuencia A 2.- Sea X la variable aleatoria que toma por valor la suma de los cuatro números reales. a) Determinar los valores posibles que puede tomar la variable X y el número total de trayectos posibles. b) Calcular la probabilidad de ocurrencia del evento A y comparar el resultado con la estimación obtenida en la pregunta 1.- 10