Lección 21: Probabilidad

Transcripción

1 Lección 21: Probabilidad En el curso anterior usted estudió ciertos conceptos básicos de probabilidad y cómo calcular algunos valores de probabilidad a partir del conteo de los casos favorables y los casos posibles. Esta forma de calcular probabilidades se conoce con el nombre de Probabilidad clásica y es muy útil cuando todos los valores elementales tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Sin embargo, hay fenómenos aleatorios cuyos eventos elementales no son equiprobables, es decir en los que no todos los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir, sino que es más fácil que ocurran unos eventos que otros. Por ejemplo si tiramos un dado cargado, una cara va a quedar más fácilmente hacia arriba que las otras. Cuando se tiene un fenómeno aleatorio, una forma de valorar la probabilidad de algún evento o de verificar si todos los eventos elementales son equiprobables, es a través de la experimentación. Esto significa que se observa muchísimas veces el fenómeno y de acuerdo a los resultados que se obtienen se estima el valor de la probabilidad de los eventos, esto es, se obtiene un valor aproximado de la probabilidad. Nosotros sabemos que un valor de probabilidad adquiere sentido si pensamos en lo que ocurriría con ese fenómeno a la 225

2 GUÍA DE MATEMÁTICAS III larga; por ejemplo decimos que la probabilidad de obtener "águila" al tirar una moneda es 50%, esto significa que en una serie muy larga de tiros aproximadamente la mitad de los resultados serán águila, pero no debemos pensar que esta proporción de águilas se dé en 10, 20, 50 o 100 tiros. Considerando lo anterior, es claro que para poder hacer una estimación de probabilidades basándonos en los resultados obtenidos, sea necesario repetir muchísimas veces el experimento. La mejor forma de entender lo que estamos diciendo es haciéndolo, por lo que le propondremos que realice un experimento. Pero antes es necesario hacer algunas consideraciones sobre la forma de registrar lo que se va observando. Supongamos que queremos estimar la probabilidad de obtener 5, al arrojar un dado. Si el dado estuviera muy bien hecho, las seis caras tendrían la misma probabilidad de quedar hacia arriba y podríamos usar la probabilidad clásica; así 1 llegaríamos a la conclusión de que el valor buscado es

3 Esto significa que a la larga aproximadamente la sexta parte de las veces que tiremos el dado, obtendríamos 5 en la cara superior. Para registrar los resultados usaremos una tabla como la siguiente: Tiros Número de tiros en total (n) Cantidad de caras con el número 5 en los últimos 10 tiros Cantidad de caras con el número 5 en todos los tiros realizados (f) Proporción de 5 en todos los tiros realizados ( f ) n 1 al a a a al b a + b a+b al c a + b + c a+b+c 30 La manera de llenar la tabla es la siguiente: En la primera columna de la tabla registramos los tiros de 10 en 10; en la segunda anotamos la cantidad de tiros que llevamos, contando los que acabamos de hacer y los anteriores; la tercera columna anotamos la cantidad de caras con el número 5 obtenidas en la última decena de tiros; en la cuarta la cantidad de caras con el número 5 que llevamos hasta ese momento; en la quinta columna anotamos la proporción de caras con el número 5 obtenidas hasta ese momento. 227

4 GUÍA DE MATEMÁTICAS III Observe que la cantidad de caras con el número 5 es la frecuencia, f, con la que se presentó este resultado en un número, al que podemos llamar n, de observaciones realizadas; es decir que la proporción es lo mismo que la frecuencia relativa. Aún sin hacer el experimento podemos afirmar que al avanzar en el número de tiros, las diferencias entre las frecuencias relativas de dos renglones seguidos, se irán haciendo cada vez más pequeñas. Cuando los cambios entre las frecuencias relativas de tres o más renglones consecutivos sean muy pequeños, podemos decir que hemos encontrado un valor aproximado de la probabilidad de ocurrencia del 5, es decir, de la probabilidad con la que queda hacia arriba la cara del dado que tiene el número 5. Entonces: Si se realiza un experimento aleatorio n veces, con n suficientemente grande, y la frecuencia del evento A es f, podemos afirmar que la probabilidad del evento A, es aproximadamente igual al valor de la frecuencia relativa de A. Esto lo escribimos así: P (A) f n A esta forma de calcular la probabilidad se la denomina Probabilidad frecuencial. Con esta definición nosotros podemos estimar a partir de la frecuencia relativa, la probabilidad de que se presenten determinados valores de una variable cualquiera. Por ejemplo, supongamos que nos interesara saber cuál es la probabilidad de que un programa de televisión determinado 228

5 resulte muy interesante para los jóvenes de cierta ciudad y que al consultarlos se hayan obtenido los valores que se presentan en la siguiente tabla: Valores Frecuencia Frecuencia relativa Nada interesante. 14 Poco interesante. 32 Interesante 75 Bastante interesante 65 Muy interesante 14 Totales 200 Con los valores obtenidos podemos decir que la probabilidad de que un joven de esa ciudad encuentre muy interesante ese programa de televisión es aproximadamente = 0.07 o 7%. Esto nos permite esperar que en grupo grande de jóvenes de esa ciudad, 7 de cada 100 consideren el programa muy interesante Ejercicio 1 Para realizar este experimento debe conseguir un dado. a) Para estimar la probabilidad de obtener un 5 al tirar su dado, realice 200 tiros y registre los resultados en una tabla como se mostró. (En lugar de tirar 200 veces el dado 229

6 GUÍA DE MATEMÁTICAS III puede conseguir 10 dados iguales, arrojarlos todos juntos y considerar que el número de cincos que salieron corresponden cada vez a 10 tiros). b) Puede considerar que el dado está bien hecho? Ejercicio 2 Complete la tabla del ejemplo acerca del programa de televisión y responda las siguientes preguntas. a) Cuál es la probabilidad de que un joven de esa ciudad encuentre poco interesante ese programa de televisión? b) Cuál es la probabilidad de que un joven de esa ciudad encuentre bastante interesante ese programa de televisión? c) Cuál es la probabilidad de que un joven de esa ciudad encuentre ese programa de televisión por lo menos interesante? d) Qué es más probable, que un joven de esa ciudad encuentre ese programa poco interesante o que lo encuentre bastante interesante? 230

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