Tema 2. Conceptos generales sobre sistemas de colas.
2.1 Elementos básicos de un sistema de colas. Describimos a continuación los elementos básicos que permiten caracterizar el funcionamiento de un sistema de colas y, por tanto, la formación y evolución de colas en el mismo: a) La medida del transcurrir del tiempo, que puede ser continua o discreta. El sistema de colas opera en tiempo continuo si los tiempos entre llegadas de clientes y las duraciones de sus servicios pueden tomar cualquier valor en R +. Consideraremos que opera en tiempo discreto, si la medición del transcurrir del tiempo se encuentra segmentada en intervalos de idéntica longitud t llamados células o slots, y tanto los tiempos entre llegadas como las duraciones de los servicios son múltiplos enteros de la duración de un slot. b) El proceso de llegadas de los clientes: las llegadas de los clientes se producen, en general, en instantes aleatorios. La estructura de este proceso va desde lo muy simple (el número de clientes que llega en cada instante es independiente de las llegadas anteriores) hasta lo muy complejo (las llegadas en cada instante mantienen una estructura de correlación más o menos complicada con las llegadas anteriores). Asimismo, la especificación completa del proceso de llegadas requiere muchas veces determinar si los clientes se agrupan en clases según su procedencia (las llegadas de clientes de dos orígenes distintos se producen según procesos distintos), prioridad o algún otro factor relevante. c) El tiempo de servicio: es el tiempo que se emplea en procesar cada tarea que los clientes encomiendan al procesador. Este tiempo es, por lo general, también aleatorio. Así ocurre, por ejemplo, en la transmisión de un mensaje a través de un canal de comunicación; el tiempo empleado en ello es aleatorio pues depende de la longitud (en principio arbitraria) del mensaje, del grado de ocupación del canal, de si éste se comparte por varias fuentes, etc. No obstante, también podemos encontrarnos en ocasiones con tiempos de servicio deterministas; por ejemplo, en el caso de un canal exclusivo destinado a servir a una única fuente, en que el tiempo de servicio es fijo, transmitiéndose un paquete de información por unidad de tiempo.
d) El número de servidores de que dispone el sistema: la velocidad con que se reduce el tamaño de una cola depende decisivamente de este número que, en general, no es aleatorio. e) La disciplina de la cola: ésta es la regla que determina el orden en que los clientes son elegidos de la cola para entrar en el servicio (primero en entrar-primero en salir, último en entrarprimero en salir, atención según prioridades, atención en orden aleatorio, etc.); esta disciplina es determinante en la evolución temporal del tamaño de la cola, así como en el tiempo que permanece en la misma cada cliente. En sistemas de colas complejos (varios buffers que comparten un mismo servidor, por ejemplo), las disciplinas pueden ser más elaboradas, y la evaluación de su efecto más costosa. f) La organización del servicio: el sistema puede ser tal que cada cliente deba recibir más de un servicio (o incluso recibir cada servicio más de una vez), en cuyo caso es preciso determinar en qué orden deben recibirse los servicios, cuántos servidores hay disponibles para cada uno de ellos y como se produce el tránsito de un servicio a otro. 2.2 Notación de Kendall Con objeto de establecer una clasificación de los distintos modelos de colas en los sistemas en que cada cliente debe recibir un solo servicio, es útil conocer la notación de Kendall, consistente en un un código de varios elementos, de la forma a/b/c, donde a especifica la distribución de los tiempos entre llegadas, b la de los tiempos de servicio, y c el número de servidores. Los códigos más habituales para estas distribuciones son M (exponencial), Geo (geométrica), G (general), y D (determinista); en conjunción con éstos puede aparecer el código I, que indica independencia. A veces a esta notación se le añade un cuarto término numérico que representa el tamaño del buffer (espacio de espera) en caso de que éste sea finito. Un quinto término, también numérico, indicaría que la población de que proceden los clientes es finita y del tamaño consignado.así, por ejemplo:
M/M/1: Llegadas según un proceso Markoviano en tiempo continuo (proceso de Poisson homogéneo), tiempos de servicio exponenciales y un solo servidor. GI/M/m: Tiempos entre llegadas independientes, con distribución general, tiempos de servicio exponenciales y m servidores. Geo/Geo/1/K: Tiempos entre llegadas y duraciones de servicio con sendas distribuciones geométricas; un solo servidor; buffer finito de tamaño K. Geo/D/1: Tiempos entre llegadas con distribución geométrica, tiempos de servicio deterministas y un solo servidor. GI/G/m: Distribución general para los tiempos entre llegadas, siendo éstos independientes, distribución general para los tiempos de servicio; m servidores. 2.3 Propiedades elementales de los sistemas de colas. Los principales procesos de interés en el estudio de un sistema de colas son los siguientes (donde C n representa al n- ésimo cliente en llegar al sistema): T n = : tiempo entre las llegadas de C n y C n-1. X n : tiempo de servicio de C n. W n : tiempo que permanece C n en cola. S n = W n +X n : tiempo que permanece C n en el sistema. N(t): número de clientes en el sistema en el instante t. Q(t): número de clientes en cola en el instante t. V(t): tiempo que falta, en el instante t, para que se vacíe el sistema.
En la caracterización de los procesos de colas juega un importante papel el concepto de intensidad de tráfico o factor de utilización ρ, definido como: ρ = [ n ] [ ] E X me T donde m el número de servidores en el sistema. El significado de ρ es intuitivamente claro si se expresa de la forma: ρ = n [ n ] [ ] t / E T mt / E X En un periodo largo de tiempo, de duración t, el numerador de esta expresión representa el número medio de clientes que llegan al sistema. Por su parte, el denominador es el número medio de clientes que el sistema puede atender durante ese tiempo. El cociente es, pues, la razón entre el número medio de llegadas y el de servicios en largos periodos de tiempo; o, dicho de otra forma, es la fracción de la capacidad de atención del sistema que se usa por término medio. Es evidente que si ρ>1, el número de llegadas supera a la larga el número posible de servicios, y por tanto la cola crecerá indefinidamente. Por el contrario, si ρ<1 se producen en media menos llegadas que servicios; ello quiere decir que las colas que puedan formarse terminan vaciándose, dando así lugar a un proceso cíclico de crecimiento-vaciado de la cola, que puede considerarse estable, ya que da lugar a lo sumo a tiempos finitos de espera y a longitudes finitas de la cola. Se dice entonces que la cola se encuentra en equilibrio 1. En general si ρ<1, cuando t existen distribuciones límite para las variables aleatorias citadas más arriba, y existe la posibilidad de estudiar el sistema de colas por medio de dichas distribuciones límite, lo cual simplifica notablemente los modelos al eliminar la dependencia del tiempo. Es de destacar que en la práctica, el utilizar las distribuciones límite no impone graves restricciones, pues normalmente los sistemas operan durante un tiempo suficiente para que se alcance el equilibrio. n 1 Señalemos que en el caso de que el sistema disponga de un buffer finito de tamaño K, también puede garantizarse que se alcanza el estado de equilibrio aunque no ocurra que ρ<1. Ello es así porque la cola no puede crecer indefinidamente.
Algunos resultados interesantes sobre los sistemas de colas en equilibrio son los siguientes: (cuando el sistema está en equilibrio denotamos por T, X, W y S, respectivamente, los tiempos entre llegadas, de servicio, en cola y en el sistema, y por N y Q, el número de clientes en el sistema y en cola respectivamente) i) ES [ ] = EW [ ] + EX [ ] Este resultado permite interpretar E[W] como el coste (en tiempo) que supone compartir el servicio con otros usuarios, ya que es el tiempo de más que hay que permanecer en el sistema para obtener el servicio. ii) EN [ ] = ES [ ] ET [ ] (Fórmula de Little) Llamando λ=1/e[t] (tasa media de llegada de clientes) la fórmula de Little puede escribirse como E[N] =λe[s], lo que indica que en el equilibrio el número medio de clientes en el sistema coincide con los que, por término medio llegan durante el tiempo que permanece cada cliente en el sistema. iii) EQ [ ] = EW [ ] ET [ ] Este resultado es similar al anterior, y también suele expresarse como E[Q] = λ E[W] (el número medio de clientes en cola coincide con los que, por término medio, llegan durante un tiempo de espera)