1 La capacitancia Un capacitor consiste de dos conductores a y b llamados placas. Se supone ue están completamente aislados y ue se encuentran en el vacío. Se dice ue un capacitor está cargado si sus placas tienen cargas iguales y opuestas, + y. Cuando se mencione a la carga,, de un capacitor se considera a la magnitud de la carga de cualuiera de las placas. Un capacitor puede aduirir carga eléctrica si se conecta a las terminales de una batería. Puesto ue las placas son conductoras, entonces son euipotenciales, y la diferencia de potencial a través de las placas será la misma ue la de la batería. Por conveniencia, a la magnitud de la diferencia de potencial entre las placas se le llama V. La carga y la diferencia de potencial en un capacitor se relacionan por = CV (1) donde C es una constante de proporcionalidad llamada capacitancia. La unidad de medida de la capacitancia en el SI es el farad (abreviado F). 1 f arad = 1coulomb/volt Ejercicio 1. Un capacitor de almacenamiento en una memoria de aceso aleatorio (RAM en inglés) tiene una cpacitancia de 55 ff. Si la diferencia de potencial es de 5.3 V, cuál es el exceso de electrones en la placa negativa? Si la placa negativa tiene un exceso de N electrones, entonces porta una carga neta = Ne. Así ue N = e = CV e = (55 10 15 F)(5,3V) 1,60 10 19 C N = 1,8 10 6 electrones. El cálculo de la capacitancia Conviene establecer un plan 1. se supone una carga en las placas 2. se calcula el campo eléctrico E entre las placas en términos de su carga, usando la ley de Gauss 3. una vez conocido E, se calcula la diferencia de potencial V entre las placas y 4. se calcula C a partir de C = /V. El cálculo del campo eléctrico: de acuerdo con la ley de Gauss (ver la figura 1) 1 E da = (2) 4πε 0
2 donde los signos + y indican ue la trayectoria inicia en la placa con carga positiva y termina en la placa con carga negativa. Un capacitor de placas paralelas De acuerdo con la figura 1, se tiene ue Figura 1: ue, dadas las condiciones, da como resultado ε 0 EA =, (3) donde A es el área de traslape entre las placas y la superficie gaussiana. El cálculo de la diferencia de potencial. La diferencia de potencial se calcula según f V f V i = E ds, (4) i auí la integral se ha evaluado a lo largo de la trayectoria ue inicia en una placa y termina en la otra. Dado ue sólo nos interesa la magnitud de V, se puede establecer ue V f V i = V, por lo ue V = E ds, (5) + V = Eds = d ds = d + ε 0 A 0 ε 0 A. (6) y de la definicion de capacitancia C = ε 0 A d. (7) y sólo depende de la geometría del capacitor! De auí ue otra forma de definir a ε 0 da ε 0 = 8.85 10 12 F/m = 8.85pF/m. Un capacitor cilíndrico La figura 2 muestra, en seccion transversal, a un capacitor cilíndrico de longitud L formado por dos cilindros coaxiales a y b. Se supone ue L >> b. La superficie gaussiana más conveneinte es un cilindro de longitu L y radio r, con tapas en sus extremos. Así, la ecuacion (3) da = ε 0 EA = ε 0 E(2πrL)
3 y, nuevamente, la capacitancia sólo depende de los factores geométricos. Un capacitor esférico La figura 2, también representa a la seccion transversal de un capacitor ue consiste de dos cascarones esféricos de radios a y b. Como superficie gaussiana se elige una esfera de radio r. Aplicando la ecuacion (3) a esta superficie = ε 0 EA = ε 0 E(4πr 2 ), Figura 2: donde 2πrL es el área de la pared de la superficie gaussiana. Resolviendo para E E = y, sustituyendo en la ecuacion (5) V = + por lo ue E ds = 2πε 0 L 2πε 0 Lr. (8) b a L C = 2πε 0 ln(b/a) dr r = ( b ) 2πε 0 L ln. (9) a (10) Si se resuelve para E E = 1 4πε 0 r 2, (11) y sustituyendo en la ecuacion (5) se encuentra V = + E ds = 4πε 0 V = b a dr r 2 = ( 1 4πε 0 a 1 ) b 4πε 0 b a ab. (12) Y sustituyendo en la ecuacion (12) en (1) y resolviendo para C se obtiene ab C = 4πε 0 b a. (13)
4 Una esfera aislada Si b en la ecuacion (13) y se sustituye R por a, se encuentra ue C = 4πε 0 R. (14) Ejercicio 2. Las placas de un capacitor de placas paralelas están separadas una distancia d=1.00 mm. Cuál debe ser el área de las placas para ue la capacitancia sea de 1.0 F? Si la ecuacion (7) se resuleve para A y se obtiene A = Cd ε 0 = 1 1 10 8 m 2. Ejercicio 3. El espacio entre los conductores de un cable coaxial largo, usado para transmitir señales de TV, tiene un radio interno a=0.15 mm y un radio externo b=2.1 mm. Cuál es la capacitancia por unidad de longitud de este cable? De la ecuacion (10) se tiene C L = 2πε 0 ln(b/a) = 21pF/m. Cuál es la capacitancia de la Tierra, vista como una esfera conductora aislada de radio 6370 km? De la ecuacion (14) se tiene C = 4πε 0 R = 710µF. Capacitores en serie y en paralelo Al analizar los circuitos eléctricos, con frecuencia se desea conocer la capacitancia euivalente de dos o más capacitores ue están conectados de cierta manera. Por capacitancia euivalente se entiende la capacitancia de un solo capacitor ue se puede sustituir por la combinación sin cambio en la operacion del resto del circuito. Capacitores conectados en paralelo La figura 3a muestra dos capacitores conectados en paralelo. Características: Figura 3:
5 1. para pasar de a a b se puede tomar una de dos trayectorias, pasando a traves de C 1 o a través de C 2, ue son paralelas 2. Cuando se conecta una batería con diferencia de potencial V a través de la combinacion se establece la misma diferencia de potencial a través de cada capacitor 3. La carga total transportada por la batería a la combinacion se reparte entre los capacitores. Así, para cada capacitor se tiene 1 = C 1 V y 2 = C 2 V. (15) Y dada la característica (3), se tiene = 1 + 2. (16) Si se reemplaza la combinación por un capacitor euivalente, C e y se conecta a la misma batería, se debe tener la misma carga en las placas del capacitor euivalente, así ue = C e V. (17) Sustituyendo la ecuacion (16) en la (17) y usando las ecuaciones (15) en el resultado, se tiene ue C e V = C 1 V +C 2 V, o C e = C 1 +C 2. (18) Si se tienen más de dos capacitores conectados en paralelo, entonces C e = n C n (19) Capacitores conectados en serie La figura 4 muestra dos capacitores conectados en serie. Características: Figura 4: 1. para pasar a a b se debe recorrer todo el circuito, pasando a través de todos los elementos sucesivamente 2. cuando se conecta una batería a través de la combinación, la diferencia de potencial V de la batería es igual a la suma de las diferencias de potencial a través de cada uno de los capacitores
6 3. la carga en cada capacitor de la combinación en serie tiene el mismo valor Para cada capacitor individual se tiene, usando la ecuacion (1): V 1 = C 1 y V 2 = C 2. (20) con la misma carga a través de cada capacitor pero diferente mangnitud en la diferencia de potencial. De acuerdo con la segunda propiedad se tiene V = V 1 +V 2. (21) Entonces, la capacitancia euivalente C e ue puede reemplazar a la combinación debe almacenar la misma carga al conectarla a la misma diferencia de potencial V = C e. (22) Sustituyendo la ecuacion (21) en la (22) y usando las ecuaciones (29) se tiene o C e = C 1 + C 2, 1 C e = 1 C 1 + 1 C 2. (23) Si se tienen más de dos capacitores conectados en serie, entonces 1 1 = C e (24) n C n Ejercicio 5. (a) Encuentre la capacitancia euivalente en la combinación ue se muestra en la figura 5a. Suponga ue C 1 = 12.0µF, C 2 = 5.3µF y C 3 = 4.5µF. (b) Se aplica una diferencia de potencial V = 12,5 V a las terminales de la figura 7a. Cuál es la carga sobre C 1? Figura 5: Los capacitores C 1 y C 2 están conectados en paralelo, por lo ue la capacitancia euivalente es C 12 = C 1 +C 2 = 17.3µF
7 Como se muestra en la figura 7b, C 12 y C 3 están conectados en serie. De la ecuacion (23), la capacitancia euivalente final es (ver la figura 7c): o 1 = 1 + 1 = 0.280µF 1 C 123 C 12 C 3 C 123 = 3.57µF. (b) A los capacitores C 12 y C 123 se les considera como a capacitores comúnes y corrientes. La carga sobre C 123 en la figura 7c es, entonces, 123 = C 123 V = (3.57µF)(12.5V ) = 44.6µC Esta misma carga es la ue se encuentra en cada capacitor de la combinación en serie de la figura 7b. La diferencia de potencial a través de C 12 en esa figura es V 12 = 12 = 44.4µC C 12 17.3µF = 2.58V La misma diferenca de potencial aparece a través de C 1 en la figura 7a, por lo ue 1 = C 1 V 1 = (12µF)(2,68V) = 31µC. La energía almacenada en un campo eléctrico Como ya se vió anteriormente, la energía potencial eléctrica U es igual al trabajo W realizado por un agente externo para ensamblar una configuracion de cargas. En un capacitor, el agente externo ue transporta cargas de una placa a la otra es la batería. Suponga ue en un tiempo t se ha transferido una carga de una placa a la otra. La diferencia de potencial V entre las placas en ese momento es V = /C. Si luego se transfiere un incremento de carga d, el peueño cambio en du en la energía potencial eléctrica es, de acuerdo con V = U/ 0, du = V d = C d Si el proceso continua hasta ue se haya transferido una carga total, la energía potencial total es o U = du = 0 C d (25) U = 2 2C. (26)
8 De la relación = CV también se puede escribir U = 1 2 CV 2. (27) De auí, si se tiene un capacitor de placas paralelas, el campo eléctrico el campo eléctrico en el espacio entre las placas es uniforme (omitiendo los efectos de borde). Así, la densidad de energía u, ue es la energía almacenada por unidad de volumen, debe ser la misma en todo el volumen entre las placas; u está dada por u = U 1 Ad = 2 CV 2 Ad. Sustituyendo la ecuacion (7) se tiene pero E = V /d, por lo ue u = ε ( 0 V ) 2. 2 d u = 1 2 ε 0E 2. (28) Aunue se trató solamente para un capacitor de placas paralelas, el resultado es válido para cualuier geometría. Aunue en general E cambia con la localización, así ue u será función de las coordenadas.