Página 6 Resuelve. El día después de la primera excursión van andando al osquecillo B y de allí en arca a M. Descrie este último itinerario con vectores OB + y con coordenadas. OB + BM OM ( ) + ( ) ( 9). En la segunda excursión los viajes por el río están descritos así: OX (0 ) + t ( ). a) Señala a qué lugares se llega para t t y t 0. ) Qué valor hay que dar a t para llegar al osquecillo B? Viajes por el río: OX (0) + t ( ) a) t (0 ) + () () Se llega al punto P. t (0 ) + ( ) ( ) Se llega al punto Q. t 0 (0 ) + (0 0) (0 ) Se llega al punto E. M P Río Q E A O B ) OB ( ) (0 ) + t ( ) ( ) (0 ) + (t t ) ( ) t (t + t ) ( ) * t + t Para llegar al osquecillo B hay que dar a t el valor.
Vectores en el plano Página 66. Representa los vectores AB y CD siendo A ( ) B ( ) C (6 0) D ( 6) y oserva que son iguales. Compruea que AB CD hallando sus coordenadas. Calcula su módulo. B( ) D( 6) A( ) C(6 0) AB ( ) ( ) ( 6 ) AB ( ) + 6 9+ 6 CD ( 6) ( 60 ) ( 6 ) CD AB. Tenemos tres puntos de coordenadas: A ( ) B ( 6) C (0 0) Halla las coordenadas del punto D para que los vectores AB y CD sean iguales. Llamamos (a ) a las coordenadas del punto D. AB ( 6) ( ) ( ) CD ( a) ( 00 ) ( a) Como AB CD ( ) (a ) Las coordenadas del punto D son ( ).
Operaciones con vectores Página 6. a) Representa los vectores u AB y v BC siendo A ( ) B ( ) y C (6 ). Halla sus coordenadas. ) Representa u + v y halla sus coordenadas. c) Representa u u y 0 v y halla sus coordenadas. d) Representa y halla las coordenadas del vector: u v a) u AB ( ) ( ) ( ) v BC ( 6 ) ( ) ( ) ) u( ) v( ) u+ v () + ( ) ( ) A( ) u u + v B( ) v C(6 ) c) u ( ) (96) u ( ) ( 6 ) 0u (00) u 0 v u u d) u v () ( ) (96) ( ) ( ) v u v u u
Página 6. Compruea si cada uno de los siguientes pares de vectores tienen o no la misma dirección: a) u( ) v( ) ) u( ) v( ) c) u( 0) v( 0) d) u( ) v(; ) e) u( 6) v( ) f ) u(0 ) v( 0) a) u y v tienen la misma dirección. ) u y v no tienen la misma dirección. c) v u u y v tienen la misma dirección. d) u y v tienen la misma dirección. e) 6 u y v no tienen la misma dirección. f ) No existe k Á tal que v ku u y v no tienen la misma dirección.. Dados los siguientes vectores: u( ) v( 0) w ( 6) a) Halla las coordenadas de u v + 0w. ) Averigua el valor de x e y para que se cumpla: xu + yw v a) u v + 0w ( ) ( 0) + 0(6) ) xu+ yw v ( ) ( 0) + (0 60) (9 0) x ( ) + y ( 6) ( 0) ( x x) + (y 6y) ( 0) x + y x + 6y 0 Por tanto u w 0x 6y x + 6y 0 + 6y 0 6y x y v. x
Vectores que representan puntos Página 69. Desde el punto A ( 9) nos movemos en la dirección de u( ) cuatro veces su longitud. Después nos movemos el triple de v( ). A qué punto llegamos? A v u v P u O OP OA + u+ v ( 9) + ( ) + ( ) (0 ). Dividimos el segmento de extremos A ( ) y B (6 ) en cinco partes iguales. Halla las coordenadas de los cuatro puntos de separación. v B A AB OB OA ( 6 ) ( ) ( 0) OP OA + AP OA + AB ( ) + ( ) ( ) OQ OP + PQ OP + AB ( ) + ( ) ( 6) OR OQ + AB ( 6) + ( ) (0 ) OS OR + AB (0 ) + ( ) ( 0) B A P Q R S O Las coordenadas de P son ( ); las de Q ( 6); las de R (0 ) y las de S ( 0).
Punto medio de un segmento Página 0. Halla las coordenadas del punto medio de cada segmento: a) A ( ) B ( ) ) C ( ) D ( ) c) E ( ) F ( ) d) G ( ) H ( 0) a) Mc + + m M( ) ( ) ) M c + + m M( ) c) Mc + + m M( ) d) Mc + + 0 m M c m. Halla las coordenadas del punto simétrico de A respecto de P en los siguientes casos: a) A ( ) P ( ) ) A ( ) P ( ) a) Llamamos A' (x y ) al punto simétrico de A respecto de P. El punto P será el punto medio del segmento de extremos A y A'. _ + x + x x ` Las coordenadas de A' son ( ). + y + y y a ) A' (x y ) _ + x 0 + x x ` Las coordenadas de A' son ( 6). + y + y y 6 a 6
Puntos alineados Página. Compruea si los puntos R ( ) S ( ) y T ( ) están alineados. RS ( ) ( ) ST ( + ) ( 0 ) 0 RS noesparaleloa RT Los tres puntos R S y T no están alineados.. Averigua el valor de a para que los puntos R ( ) S ( ) y Q (a ) estén alineados. RS ( ) SQ ( a ) Para que R S y Q estén alineados se ha de cumplir que: a 9 Luego a. a a. Averigua qué relación deen cumplir x e y para que A (0 ) B ( ) y P (x y ) estén alineados. AB ( 0 ) ( ) AP ( x 0 y ) ( x y ) Para que P esté alineado con A y B: x (y ) x y x y x + y La relación uscada entre x e y es y x +.. Averigua el valor de t para que los puntos A ( ) B ( ) y C (t t ) estén alineados. AB ( ) ( 6 ) AC ( t t ) A B y C estarán alineados si: t 6 6 ( t ) ( t ) t t + t t t
6 Ecuaciones de la recta Página. Escrie las ecuaciones vectorial paramétricas en forma continua y explícita de las rectas que pasan por: a) M ( ) N ( ) ) P (0 0) Q ( ) c) R ( ) S ( ) d) T ( ) U ( ) a) M( ) MN( 6) v( ) es un vector dirección. N( ) ecuación vectorial: OX OM + tv (x y) ( ) + t ( ) ecuaciones paramétricas: x + t * y + t ecuación continua: x + y ecuación explícita: Despejando y en la ecuación anterior: y x + ) P( 00) PQ( ) v ( ) es un vector dirección. Q( ) ecuación vectorial: OX OP + tv (x y) (0 0) + t ( ) ecuaciones paramétricas: x 0 + t * y 0 t x t * y t ecuación continua: x 0 y 0 ecuación explícita: Despejando y en la ecuación anterior: y x
c) R( ) RS( 60 ) v( 0 ) es un vector dirección. S( ) ecuación vectorial: OX OR + tv (x y) ( ) + t ( 0) ecuaciones paramétricas: x + t * y + 0t ecuación continua: x y 0 ecuación explícita: y x + t * y d) T( ) TU( 0 ) v( 0 ) es un vector dirección. U( ) ecuación vectorial: OX OT + tv (x y) ( ) + t (0 ) ecuaciones paramétricas: x + 0t * y + t ecuación continua: x + 0 y ecuación explícita: x x * y + t 9
Rectas. Paralelismo y perpendicularidad Página. Halla la ecuación de la recta que pasa por: a) A ( ) B ( ) ) A ( 6) B ( ) a) Un vector dirección es AB ( ); otro vector dirección es d( ). La pendiente es: m La ecuación es: y ( x ) y x ) AB ( ) es un vector dirección m La ecuación será: y 6 ( x ) y x +. Halla la ecuación de la recta que pasa por ( ) y tiene por vector dirección ( ). d( ) la pendiente es: m La ecuación es: 0 y + ( x ) y x. Halla la recta paralela a x 6y + 0 que pasa por (0 ). La pendiente de la recta x 6y + 0 es el coeficiente de la x cuando la y está despejada: y x + m 6 6 6 Por ser la recta pedida paralela a x 6y + 0 la pendiente es la misma: m 6 Así: y + 6 x. Halla la recta paralela a y 0 0 que pasa por ( ). La recta y 0 0 es una recta paralela al eje X luego m 0. La recta que pasa por ( ) y tiene pendiente m 0 es y. 0
Página. Da tres vectores perpendiculares a ( 6 ). Tres vectores perpendiculares a ( 6 ) son: ( 6) ( ) y ( ). 6. Halla la ecuación de la recta que pasa por P ( ) y es perpendicular al vector v( ). El vector ( ) es perpendicular a v y por tanto es un vector dirección de la recta uscada: m y ( x ) y x. La recta r pasa por ( 0) y la recta s por ( ). Amas son perpendiculares a x + y 0. Halla sus ecuaciones. Pendiente de la recta x + y 0: y x + m Pendiente de r pendiente de s: m Ecuación de r: Ecuación de s : m y ( x ) y x y + ( x + ) y x +
Rectas paralelas a los ejes coordenados Página 6. Representa r y s y da tres vectores paralelos y tres perpendiculares a cada una de ellas: r : x 0 s : + y 0 r : x 0 x Vectores paralelos: (0 ) (0 ) (0 ) Vectores perpendiculares: ( 0) ( 0) ( 0) s : + y 0 y Vectores paralelos: ( 0) ( 0) ( 0) Vectores perpendiculares: (0 ) (0 ) (0 ) r. Representa dos rectas que pasen por el punto ( ) una paralela al eje X y otra paralela al eje Y. s P ( ) r : y Recta paralela al eje X s : x Recta paralela al eje Y P s r. Las rectas r y s pasan por el punto ( ). La recta r es paralela a y + 0 y s es perpendicular a ella. Representa r y s y da sus ecuaciones. Representamos la recta y + 0 y r es una recta paralela a y Su ecuación es y. s es una recta perpendicular a y Su ecuación es x. y a partir de ella representamos r y s. que pasa por ( ). (paralela al eje Y ) que pasa por ( ). Y s X r y
. Halla la ecuación de la recta paralela al eje X que corte a la recta x y en el punto de ascisa x. La recta pedida r es paralela al eje de ascisas luego su ecuación es de la forma r : y k. r corta a la recta s : x y en el punto de ascisa x el punto de corte es la solución del sistema. x y x y y P ( ) r Tenemos pues que: r: y k r : y P( ) é r
9 Posiciones relativas de dos rectas Página. Di la posición relativa de estos pares de rectas: a) r : x + y 0 ) r : x y 0 s : x y 0 0 s : pasa por ( ) y por (0 ). c) r : pasa por ( ) y ( ). d) r : pasa por ( ) y ( ). s : x + y 0 s : su pendiente es / y pasa por (0 ). a) r: x + y 0 s: x y 0 0 + y 0 y x + y 0 x y 0 0 9x 0 x Las rectas r y s se cortan en el punto ( ). ) Veamos cuál es la ecuación de s : Un vector dirección de s es (9 ) // ( ). Su pendiente es por tanto m. s : y + ( x ) y x x y 0 Resolvemos el sistema: r: x y 0 s: x y 0 x y 0 x + 9y + 0 y + 0 y x ( ) 0 x 0 x Las rectas r y s se cortan en el punto ( ). c) Buscamos la ecuación de r : Un vector dirección es ( 6) // ( ). Su pendiente es por tanto m r : y ( x + ) y x + x + y 0 Resolvemos el sistema: r: x + y 0 x + y 0 s: x + y 0 x y 0 0 Contradicción. Las rectas r y s no tienen ningún punto en común. Son paralelas ya que tienen la misma pendiente / pero distinta ordenada en el origen / y 0. d) Ecuación de r : Un vector dirección es (6 ) // ( ). Su pendiente es m. r : y + ( x ) y x x y 0 Ecuación de s : y x y x x y 0 r y s son la misma recta..
0 Distancia entre dos puntos Página. Halla la distancia entre A y B. a) A( ) B(6 ) ) A( ) B( 9) c) A( ) B(0 ) d) A( 6) B( ) a) dist (A B ) AB ( 6+ ) + ( ) ) dist (A B ) AB ( ) + ( 9 ) c) dist (A B ) AB ( 0+ ) + ( ) + d) dist (A B ) AB ( ) + ( + 6) 09 0. Aplica la fórmula de Herón para hallar el área del triángulo de vértices A( ) B( ) C( ). Calculamos primero la medida de cada lado: a dist ( BC ) BC ( ) + dist ( AC ) AC 9 + 9 9 c dist ( AB ) AB + + 9 + Semiperímetro del triángulo: p Área p ( p a) ( p ) ( p c) 9 + 9 c 9 + 9 m c+ 9 m c9 9 m c 9 m c m c 6 m c m c 6m 9 9 u. Calcula el valor de c para que el punto A(0 c) diste unidades del punto B( ). dist ( AB ) AB ( 0) + ( c) + + c 0c 69 c 0c 0 c 0 Hay dos soluciones: A (0 0) A' (0 0) c 0. Calcula el valor de a para que el punto P(a ) esté a 0 unidades de distancia de Q( ). dist ( PQ ) PQ ( a) + ( 6) 0 + a 0a + 6 00 a 0a 9 0 a 0 ± 00 + 6 0 ± 6 Hay dos soluciones: P ( ) P' ( )
Ecuación de una circunferencia Página 9. Escrie en cada caso la ecuación de la circunferencia: a) C( ) r ) C( ) r a) ( x ) + ( y ) x + y x y + 0 ) ( x + ) + ( y ) x + y + x y 0. Di el centro y el radio de las circunferencias siguientes: a) (x ) + (y ) ) (x + ) + y a) Centro ( ). Radio. ) Centro ( 0). Radio.. Una circunferencia de radio r tiene su centro en el punto C ( 9). Pertenecen los puntos A ( 6) y B ( ) a esta circunferencia? Ecuación de la circunferencia: (x ) + (y 9) A ( 6) ( 6) + ( ) 6 + 9. Sí pertenece. B ( ) + ( ) 6 + 9 6. No pertenece.. Halla la ecuación de la circunferencia de centro C( ) que pasa por P( ). El radio de la circunferencia es la distancia entre C y P. Radio ( ) + ( + ) Ecuación de la circunferencia: (x ) + (y + ) x + y x + y 6 0 6
Página 0 Hazlo tú. En el triángulo cuyos vértices son A (0 ) B ( 0) y C ( ) halla las ecuaciones de la mediatriz del lado BC y de la altura que parte de A. mediatriz del lado BC: La mediatriz r es perpendicular a BC en su punto medio. Punto medio de BC: BC ( 6 ): ( ) M c + 0+ ( ) m M (0 ) La pendiente de BC es m. 6 La pendiente de la mediatriz r es m'. La mediatriz r del lado BC es por tanto la recta que pasa por el punto M (0 ) y cuya pendiente es m' : r : y (x 0) r : y x r : x + y + 0 altura que parte de A: La altura h pasa por A y es perpendicular al lado BC. Como h es perpendicular al lado BC saemos por el apartado anterior que su pendiente es m. A( 0) é h h: y (x 0) h: y x + h: x + y 0 Pendiente m A B C r h Hazlo tú. Halla el punto simétrico de A ( ) respecto de la recta s : x y 0. El punto simétrico de A respecto a s A' es el punto simétrico de A respecto de un punto M que es el punto de corte de s con la recta perpendicular a s que pasa por A. A s M A' r
Determinamos en primer lugar la ecuación de la recta r perpendicular a s que pasa por A. s : x y 0 s : y x m s mr A() é r mr r : y (x ) r : y x + r : x + y 0 Hallamos el punto de corte de s y r : s: x y 0 M ( ) r: x + y 0 El punto M es el punto medio entre A ( ) y A' (x y) siendo A' el punto simétrico de A respecto a s : _ A() A' ( x y) + x + y x ` e o ( ) * y M( ) a Por tanto el punto uscado es A' ( ). Hazlo tú. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene el mismo centro que: y que pasa por el punto ( ). x + y + 6x y 0 Tenemos que hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el mismo centro que c : x + y + 6x y 0 y que pasa por el punto P ( ). Para hallar el centro de c deemos expresarla de la forma: (x a) + (y ) r c : x + y + 6x y 0 c : x + 6x + 9 + y y + + 9 + El centro y el radio de c son: Centro C ( ); Radio r c : (x + ) + (y ) 6 La circunferencia que uscamos c' tiene centro C ( ). Centro de c' C( ) P( ) é c' El radio de c' es r' dist (P C ) r' PC ( ) + La circunferencia que uscamos es: c': (x + ) + (y )
Ejercicios y prolemas Página Practica Vectores y puntos. El cuadrilátero ABCD es un romo y M N P y Q los puntos medios de sus lados. N C P B M O A Q D Indica si los siguientes pares de vectores tienen el mismo módulo y/o la misma dirección y sentido: a) AB y CD ) BN y AQ c) NC y CP d) AM y DC a) AB y CD tienen el mismo módulo y la misma dirección pero sentido contrario. ) BN y AQ tienen el mismo módulo la misma dirección y el mismo sentido. c) NC y CP tienen el mismo módulo pero distinta dirección y sentido. d) AM y DC tienen la misma dirección y el mismo sentido pero distinto módulo.. Oserva la figura del ejercicio anterior y sustituye en tu cuaderno los puntos suspensivos por un número para que los vectores sean iguales. a) AC AO ) OC OA c) AQ CB d) AD NB a) AC AO ) OC OA c) AQ CB d) AD NB. Completa en tu cuaderno con las letras que faltan cada una de las siguientes sumas de vectores de la figura del ejercicio : a) AB + BC A ) AD + AB c) AM + BO d) AC OD a) AB + BC AC ) AD + AB AC c) AM + BO AO d) AC OD AB 9
. Dados los puntos A ( 0) B ( 0) C ( ) y D ( ) halla las coordenadas de los vectores AB BC CD y AD. Calcula tamién sus módulos. AB ( 0) ( 0) (6 0) y AB 6+ 0 6 6 BC ( ) ( 0) ( ) y BC + CD ( ) ( ) ( ) y CD ( ) + 6 AD ( ) ( 0) ( ) y AD ( ) +. Con origen en el punto A ( ) diuja los vectores AB ( ) AC ( ) y AD (/ ). Cuáles serán las coordenadas de los puntos B C y D? AB B A B ( ) + ( ) (0 ) C ( ) + ( ) ( ) D c m + ( ) c m 0 B C A D 6. a) Di cuáles son las coordenadas de los vectores u y v. u v ) Diuja los vectores u+ v; u v; u + v; c) Halla el módulo de u v u+ v y u v. a) u( ) y v (0 ) ) u+ v u v u + v u+ v y di cuáles son sus coordenadas. u+ v u u + v v u u v v v u u + v u + v u v u + v ( ) + (0 ) ( ) u v ( ) (0 ) ( ) u + v ( ) + (0 ) ( ) u+ v ( ) + (0 6) ( ) c) u + ( ) 0 v 0+ u+ v + u v + ( ) 0
. Compruea sin representarlos si los siguientes pares de vectores tienen la misma dirección: a) u(6 ) v( ) ) u( ) v( ) c) u(0 ) v( ) d) u( 0) v(9 0) a) 6 ) c) 0 u y v tienen la misma dirección. u y v no tienen la misma dirección. u y v no tienen la misma dirección. d) u v u y v tienen la misma dirección. 9. Dados los vectores u( ) v( ) y w ( ) efectúa estas operaciones: a) u + v + w ) u v w c) u + v w d) u + v e) u + w f ) v w + u a) u + v + w ( ) + ( ) + ( ) ( + ) ( ) ) u v w ( ) ( ) ( ) ( + + + ) ( ) c) u + v w ( 6) + ( ) ( 6) ( + 6 + + 6) ( ) d) u + v ( 9) + c m c 9 + m c m e) u + w c m+ c m c m c m f ) v w + u c m ( ) + ( ) c + + + + m c m 9. Representa en unos ejes coordenados los vectores que verifican las siguientes condiciones: a) Su origen es P ( ) y su extremo Q ( ). ) Su origen es M (0 ) y sus coordenadas ( ). c) Su extremo es B ( 0) y sus coordenadas ( ). a) P PQ ( ) Q
) M N _ M( 0) Nx ( y) ` MN( ) a (x 0 y ) ( ) c) A B _ Ax ( y) B( 0) ` AB( ) a x x * * N ( 9) y y 9 ( x 0 y) ( ) x x * * A ( ) y y 0. a) Representa los puntos A ( 0) B (0 ) C ( ) y D ( 0) y halla los puntos medios de AC y de BD. ) Halla las coordenadas de AB y DC y compruea que son las mismas. a) A B M AC M BD D C ) AB ( 0+ ) ( ) Coinciden DC ( 0) ( ) M AC c + 0+ m c m M BD c 0+ + 0m c m. Calcula las coordenadas de los puntos medios de los lados y de las diagonales del cuadrilátero ABCD. A A ( 6) B ( ) C ( ) D ( ) B Por tanto: Punto medio del lado AB: c 6+ m c 9 m Punto medio del lado BC : c m c m C D Punto medio del lado CD: c + m c m Punto medio del lado AD: c + 6 m c 9 m Punto medio de la diagonal BD: c + m c m Punto medio de la diagonal AC : c 6 m ( 0 )
. Si M ( ) es el punto medio del segmento AB halla el punto B en cada uno de los siguientes casos: a) A ( ) ) A (6 ) c) A ( ) a) + x + y e o ( ) x ; y B ( ) ) 6 + x + y e o ( ) x ; y B ( ) c) + x + y e o ( ) x ; y B ( ). Halla en cada caso el punto simétrico de A ( ) respecto de: a) P ( 0) ) Q ( ) c) O (0 0) A' (x y) es el punto uscado. a) P ( 0) es el punto medio del segmento de extremos A y A': x y e o ( 0 ) Luego: A' ( ) x y x x 0 y ) Q ( ) _ x x x ` A' ( ) y y 6 y a c) O (0 0) _ x 0 x 0 x ` A' ( ) y 0 y 0 y a. Compruea en cada caso si los puntos dados están alineados: a) A( ) B( ) C(9 ) ) P( ) Q( 0) R( 6 ) c) M ( ) N ( ) P(6 ) a) AB() AB // BC A B y C están alineados. BC( ) ) PQ ( ) PQ // QR P Q y R están alineados. QR( ) c) MN() M N y P no están alineados. NP()
Página Rectas. Escrie en cada caso las ecuaciones vectorial paramétricas en forma continua y explícita de las rectas que pasan por el punto P ( ) y tienen como vector dirección: a) d( ) ) d( ) c) d( 0) a) P ( ) d( ) ecuación vectorial: OX OP + t d (x y ) ( ) + t ( ) ecuaciones paramétricas: x + t * y t ecuación continua: x + y ecuación explícita: y x + ) P ( ) d( ) ecuación vectorial: OX OP + t d (x y ) ( ) + t ( ) ecuaciones paramétricas: ecuación continua: x t * y t x + y ecuación explícita: y x + c) P ( ) d( 0) ecuación vectorial: OX OP + t d (x y ) ( ) + t ( 0) ecuaciones paramétricas: ecuación continua: x + t * y + 0t x + y 0 x + t * y ecuación explícita: y
6. Da en cada caso un vector dirección y escrie las ecuaciones vectorial paramétricas en forma continua y explícita de las rectas que pasan por A y B : a) A ( 0) B (0 ) ) A (0 ) B ( ) c) A ( ) B ( ) d) A ( ) B ( ) a) A( 0 ) AB( ) v( ) vector dirección B( 0) ecuación vectorial: OX OA + t v (x y ) ( 0) + t ( ) ecuaciones paramétricas: x + t * y 0+ t ecuación continua: x + y 0 ecuación explícita: y x + ) A( 0 ) B( ) AB( 0 ) v ( 0) vector dirección ecuación vectorial: OX OA + t v (x y ) (0 ) + t ( 0) ecuaciones paramétricas: x 0+ t * y + 0t ecuación continua: x 0 y + 0 ecuación explícita: y x t * y c) A( ) AB( 6 ) v( ) vector dirección B( ) ecuación vectorial: OX OA + t v (x y ) ( ) + t ( ) ecuaciones paramétricas: x + t * y t ecuación continua: x + y ecuación explícita: y x +
d) A( ) AB( 06) v( 0 ) vector dirección B( ) ecuación vectorial: OX OA + t v (x y ) ( ) + t (0 ) ecuaciones paramétricas: x + 0t * y + t x * y + t ecuación continua: x 0 y + ecuación explícita: x. Escrie las ecuaciones paramétricas y explícita de las rectas r s y t. s Recta r : A( 0) é r AB( )// r v ( ) vector dirección B() é r x + t ecuaciones paramétricas: * y t ecuación explícita: B() é r y ( x ) y x ( ) m + v vector dirección Recta s : Recta paralela al eje de ascisas v ( 0) vector dirección. P( 0 ) é s v( 0 ) vector dirección ecuaciones paramétricas: x t * y ecuación explícita: s es una recta paralela al eje de ascisas luego su ecuación explícita es de la forma y k : P (0 ) s y Recta t: Recta paralela al eje de ordenadas v (0 ) vector dirección. Q( 0 ) é t v( 0 ) vector dirección ecuaciones paramétricas: x * y t ecuación explícita: x t r 6
. Da un vector dirección y un punto de cada recta y escrie sus ecuaciones continuas: x + t a) * y t x t ) * y t a) P ( 0); v( ); x + y ) P (0 ); v( ); x y 9. Escrie la ecuación explícita de cada una de las rectas siguientes y da en cada caso un vector dirección y la pendiente: a) x y + x t ) * y + t a) P ( ) r v ( ) vector dirección m (pendiente) Ecuación explícita: y + ( x ) y x ) P ( ) r v ( ) vector dirección m (pendiente) Ecuación explícita: y (x ) y x + 0. Halla dos puntos de cada una de las siguientes rectas y utilízalos para dar un vector dirección en cada caso: a) y x ) y c) x y + 0 a) r : y x P( 0 ) é r PQ( ) vector dirección de r Q( ) é r ) r : y P( 0) é r PQ( 0) vector dirección de r Q( ) é r c) r : x y + 0 P( 0 ) é r PQ( ) vector dirección de r Q() é r
. Escrie la ecuación de las siguientes rectas y da en cada caso un vector dirección: a) Pasa por ( ) y su pendiente es. ) Pasa por ( ) y su pendiente es. c) Pasa por ( ) y su pendiente es 0. a) P( ) é r y ( x ) y x m + + + + pendiente Ecuación explícita: y x + Vector dirección: v ( ) ) P( ) é r m pendiente Vector dirección: v ( ) y ( x ) y x + Ecuación explícita: y x + c) P( ) é r m 0 pendiente y + 0( x ) y Vector dirección: v ( 0). Halla la ecuación de las siguientes rectas: a) Paralela a y x + y pasa por ( ). ) Paralela a x y + 0 y pasa por ( 0). c) Paralela a x + y 6 0 y pasa por (0 ). a) m ; y (x ) ) m ; y 0 + ( x ) y ( x ) c) m ; y ( x 0) y x. Escrie en cada caso la ecuación de la recta que pasa por P ( ) y es perpendicular al vector v: a) v( ) ) v( ) c) v( 0) a) v ' ( ); m ; y (x ) x + y 0 ) v ' ( ); m ; y + (x ) x y 0 c) v ' (0 ); no tiene pendiente; ecuación: x
. Escrie la ecuación de la recta perpendicular a r y que pasa por el punto P en los siguientes casos: a) r: y x + ; P( ) ) r: x y + 0; P( ) c) r: x ; P(0 ) a) m ; y + ( x +) ) m ; y ( x ) c) y. Halla el punto de intersección de las rectas r y s en los casos siguientes: r: x y + 0 r: x y + 9 0 a) * ) * s: x+ y 6 0 s: x y + 0 a) x y 9x y x + y 6 x + y x 6 x 6 6 + y 6 y y r y s se cortan en el punto P (6 ). ) x y + 9 0 x y + 9 0 x y + 0 x + y 0 x + 0 x ( ) y + 9 0 6 y + 9 0 y y r y s se cortan en el punto Q c m. 6. Representa las rectas x + 6 0 y y 0 y halla su punto de intersección. x + 6 0 x recta paralela al eje Y y 0 y recta paralela al eje X Punto de intersección: c m y x 9
Distancias y circunferencias. Calcula en cada caso la distancia entre P y Q : a) P ( ) Q ( ) ) P ( ) Q ( 6 ) c) P (0 ) Q ( ) d) P ( 0) Q ( 0) a) dist (P Q ) PQ ( ) + ( ) ) dist (P Q ) ( 6+ ) + ( ) + c) dist (P Q ) ( ) + ( + ) + 6 d) dist (P Q ) ( + ). a) Halla el punto medio del segmento de extremos A( 0) y B(6 ). ) Compruea que la distancia del punto medio a cada uno de los extremos es la misma. a) M c + 6 0+ m ( ) ) dist (A M ) AM ( + ) + 6+ 0 dist (B M ) BM ( 6) + ( ) 6 + 0 9. Compruea que el triángulo de vértices A ( 0) B( ) y C ( ) es isósceles. Cuáles son los lados iguales? Un triángulo es isósceles cuando dos de sus lados miden lo mismo. Calculamos pues AB AC y BC : _ AB ( + ) + 6 + 0 AC ( + ) + 6 + 6 0 ` BC ( ) + ( ) 6 + 0 a El triángulo de vértices A B y C es isósceles. AB BC 0. Compruea mediante el teorema de Pitágoras que el triángulo de vértices A( ) B( ) y C ( 6) es rectángulo. A ( ) B ( ) C ( 6): _ AB + + 9 AC + 9+ 9 ` BC ( ) + + 9 a El triángulo de vértices A B y C es rectángulo. AB + BC AC por Pitágoras: ( 9) + ( 9) ( ) 9 + 9 0
. Escrie la ecuación de la circunferencia de centro C y radio r : a) C ( ) r ) C (0 ) r 6 c) C (6 0) r d) C (0 0) r a) C( ) r (x ) + (y + ) 9 x x + 6 + y + 6y + 9 9 x + y x + 6y + 6 0 ) C(0 ) r 6 (x 0) + (y ) 6 x + y 0y + 6 x + y 0y 0 c) C(6 0) r (x 6) + y x x + 6 + y x + y x + 0 d) C(0 0) r x + y x + y 0. Di cuáles son el centro y el radio de las circunferencias siguientes: a) (x ) + (y + ) 6 ) (x + ) + y c) x + y 0 a) C( ) r ) C( 0) r 9 c) C(0 0) r 0
Página Aplica lo aprendido. A partir del punto P ( ) trazamos el vector u + v w y llegamos al punto Q. Averigua las coordenadas de Q si conocemos u( ) v( ) y w ( ). P Q u + v w ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) PQ ( ) Q ( ) + ( ) (6 ). a) Representa los vectores u x+ y+ z y v x+ y z siendo x( ) y ( 0) y z ( ). ) Halla las coordenadas de u y v. Son iguales? a) x y u z x v y z ) u x + y + z () + ( 0) + ( ) () v x + y z ( ) + ( 0) ( ) () u v. a) Cuáles de los siguientes vectores tienen la misma dirección? t ( ) u( ) v d n w (6 ) ) Calcula el valor de m y n para que se verifique v mt + nu. a) t y w porque 6. u y v porque. Z m n ] + ) c m m( ) + n( ) [ m 0 n ] m+ n \ 6
6. a) Determina las coordenadas de los puntos M N y P que son los puntos medios de los lados del triángulo ABC. B( ) M N A( ) P C( ) ) Halla las coordenadas de los vectores MN MP y PN y compruea que MN AC ; MP BC y PN AB. a) M es el punto medio del segmento de extremos A( ) y B( ): M c + m c m N es el punto medio del segmento de extremos B( ) y C( ): N c + m ( 0) P es el punto medio del segmento de extremos A y C: P c + m c m ) MN ( 0) c m c m MP c m c m ( ) PN ( 0) c m c m AC ( ) ( ) ( ) MN MN AC BC ( ) ( ) ( 6) MP MP BC AB ( ) ( ) ( ) PN PN AB. Dados los vectores u( ) v(x ) y w ( y) calcula x e y para que se verifique: u v w. u v w ( ) (x ) ( y) (6 ) (x ) ( y) (6 x ) ( y) 6 x x y Luego: x y
. Dados los vectores u( ) v( ) y w ( 0) calcula el valor de m y n para que se verifique: u mv+ nw. u mv + nw ( ) m( ) + n( 0) m+ n m m n 9. Calcula en cada caso el valor de m para que el punto P (m ) pertenezca a la recta dada: a) r : pasa por A ( ) y B ( 0). ) s : pasa por A ( ) y B ( ). a) P (m ) pertenece a la recta que pasa por A ( ) y B ( 0) A B y P están alineados AB // BP. AB( ) AB // BP m m 9 BP( m + ) m + ) P (m ) pertenece a la recta que pasa por A ( ) y B ( ) A B y P están alineados AB // BP. AB( 0 ) BP( m ) es paralelo a AB si m 0 m. 0. Calcula m para que los puntos R ( ) S ( ) y T ( m) estén alineados. R ( ) S ( ) y T ( m) RS ( ) ( ) ( 6 ) 6 (m ) ST ( m) ( ) ( m ) m m + m m. Compruea si los puntos A( ) y B( ) pertenecen a la recta x y + 0. A: + 0 A r B: ( ) + 0 B r. Calcula m y n para que las rectas r: x + my 0 y s: nx y + 0 se corten en el punto P ( ). r: x + my 0 + m 0 m s: nx y + 0 n 0 + 0 n. a) Calcula el valor de k para que la recta de ecuación (k + )x y 0 pase por el punto A ( 0). ) Cuál es la pendiente de esa recta? a) A r : (k + )x y 0 (k + ) 0 0 (k + ) k + k ) k r : x y 0 r : y x m
. Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas y halla el punto de intersección cuando sea posile: x + t a) r : * y t s : x y ) r : y x x t s : ) y t x + t a) r : * y t s : x y Ps ( 0 ) * v ( ) s Pr ( ) punto de r * v ( ) vector dirección de r r puntode s vector dirección de vr y vs noson paralelos r y s se cortan en un punto. Para hallar el punto de corte hallamos la ecuación explícita de cada recta y resolvemos el sistema formado por amas ecuaciones: Pr ( ) é r v r( ) mr r : y (x ) r : y x + y s : x s : y x y x + El punto de corte es: M c m y x ) r : y x m r x t s : ) v y t s ( ) m s m r m s r y s o son paralelas o coincidentes. s pasa por el origen de coordenadas pero r no por tanto r y s son paralelas.. Determina el valor de m para que las rectas r : s x + y y s : x y sean: m a) Paralelas. ) Perpendiculares. c) Se corten en el punto P ( 0). ( 0 ) é r () 0 é s r : x + y * v ( ) m s : x y * r r m v ( m) m s s _ r // s m m m m r s a) ` r y s son paralelas si m () 0 è r ya que 0+ a ) r s vr vs m r m s m m c) P r (ovio por la definición de r ) P s 0 m m m m
6. Los puntos A ( ) y B (6 ) son vértices de un triángulo. Saiendo que M (0; ) es el punto medio del lado AC calcula las coordenadas de AC y el perímetro del triángulo. A ( ) B (6 ) y C (x y ) son los vértices del triángulo ABC &. M c m punto medio del lado AC x y + + c m e o Z + x ] x [ C ( ) + y ] y \ A() AC( ) AC( ) C( ) _ AB( ) AB + AC( ) AC ( ) + ( ) ` BC( ) BC ( ) + ( ) 9 a Perímetro de ABC & ( 0 + ) unidades. En el segmento de extremos A ( ) y B ( ) halla las coordenadas del punto P tal que AP AB. A ( ) B ( ) P (x y) A AP AB ( x + y + ) ( 66 ) ( x + y + ) ( ) O P B x + x * * P ( ) y + y. Escrie la ecuación de una recta perpendicular a r y que pase por ( ) en los siguientes casos: a) r : x + 0 ) r : y + 0 a) x + 0 x es paralela al eje Y. Por tanto la recta perpendicular a r es paralela al eje X y k Como pasa por ( ) su ecuación es y y + 0 ) y + 0 y es paralela al eje X. Por tanto la recta perpendicular a r es paralela al eje Y x k Como pasa por ( ) su ecuación es x x 0 9. Estudia si las rectas r y s son paralelas o perpendiculares: r: x y + 0 s: pasa por ( ) y ( ). r : x y + 0 m s : v ( ) ( 0 6) m Son paralelas 6
Página 0. Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas: r: x y + 0 r: x y + 0 a) * ) * s: P( ) Q( ) s: A( ) B( 0 ) a) s: P( ) Q( ). Un vector dirección es ( ) m y (x ) y x + 6 x + y 0 r: x y + 0 s: x + y 0 x 0 x y + 0 y y r y s se cortan en el punto c m. ) s: A( ) B(0 ). Un vector dirección es ( ) m y + (x 0) y + x y + x x y + 0 r y s son la misma recta.. Halla la ecuación de la recta perpendicular a AB en su punto medio siendo A( ) y B( ). A( ) B( ). Vector dirección ( ) m ; m' M AB c + + m c m y cx + m y x y 0 x x + y 9 0. Compruea que el cuadrilátero de vértices A( ) B( ) C( ) y D( ) es un paralelogramo. Para ello pruea que los puntos medios de sus diagonales coinciden. Punto medio de AC: M AC c m c m Punto medio de BD: M BD c + m c m Los puntos medios de las diagonales coinciden. A ( ) D ( ) B ( ) C ( )
. Halla en cada caso los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales: a) A ( ) B (6 ) ) A (0 ) B (9 ) A P(x y) Q(x' y' ) B a) AP AB ( x + y ) ( 9 ) ( x + y ) ( ) x + x 0 * * P (0 ) y y AQ AB (' x + y' ) ( 9 ) (' x + y' ) ( 6 ) x' + 6 x' * * Q ( ) y' y' ) AP AB ( x y + ) ( 9 ) ( x y + ) ( ) x x * * P ( ) y + y AQ AB ( x y + ) ( 9 ) ( x y + ) ( 6 ) x 6 x 6 * * Q (6 0) y + y 0. Halla la ecuación de estas circunferencias: a) Centro C(0 0) y pasa por ( ). ) Centro C( ) y pasa por ( ). a) radio: ( 0+ ) + ( 0 ) 9+ 6 ) r ( ) + ( ) 6 + 0 x + y (x ) + (y ) 0. Dados los puntos A(0 ) y B( 0) halla el punto simétrico de B respecto de A y el simétrico de A respecto de B. B' A (0 ) B ( 0) A' Simétrico de A respecto de B : A' 0 + x + y e o ( 0) Simétrico de B respecto de A : B' + x 0 + y e o ( 0 ) x x 0 A' ( 0 ) + y 0 y + x 0 x B' ( ) y
6. La recta r es paralela a x y + 0 y la recta s es perpendicular a ellas. Amas pasan por el punto ( ). Escrie las ecuaciones de r y s. x y + 0 m r es la recta de pendiente que pasa por ( ): r: y + (x ) y + x x y + 0 s es la recta de pendiente que pasa por ( ): s: y (x ) y x + x + y 9 0 Resuelve prolemas. Los puntos A( ) y B( 0) son vértices de un trapecio rectángulo que tiene dos lados sore los ejes de coordenadas y otro lado paralelo al eje X. Diuja el trapecio y halla: a) Las ecuaciones de sus lados. ) Su perímetro. c) Su área. a) C Y A ( ) O B ( 0) OC: x 0 OB: y 0 AC: y AB: Vector dirección ( ) m ) AC ; OC ; OB AB ( ) + ( 0 ) 9+ p + + + 6 + u c) A + u y (x ) x + y 0 9
. Estudia analíticamente si las rectas r : x + y ; s : x y ; t : x + y se cortan en un mismo punto. En caso afirmativo calcula sus coordenadas. En primer lugar hallamos el punto de corte de r y s P (para ello resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de amas rectas). x + y Sumando las ecuaciones: x x x y Sustituyendo en la ecuación de r el valor de x otenido: + y y Por tanto P ( ). Ahora deemos estudiar si P t : P( ) + ( ) P t t: x + y Por tanto las rectas r s y t se cortan en el punto P ( ). 9. Halla las coordenadas del punto D de modo que ABCD sea un paralelogramo siendo A( ) B(0 ) y C(6 ). C (6 ) B (0 ) D (x y) A ( ) Punto medio de AC : M AC c 6+ m c m Punto medio de BD : M BD x + 0 y + e o Los puntos medios de las diagonales deen coincidir. _ x x ` El punto D tiene coordenadas D ( ). y + y a 0
60. Diuja un paralelogramo que tenga dos de sus lados sore las rectas y x e y 0 y un vértice en el punto P(6 ). a) Halla las ecuaciones de los otros dos lados. ) Di cuáles son las coordenadas de los otros vértices. y x R P (6 ) a) OR: y x OQ: y 0 PR: y O Q y 0 PQ: y + (x 6) y + x x y 0 ) O(0 0) Q( 0) R( ) P(6 ) 6. Desde una estación marítima se oservan en un radar dos arcos navegando. Uno está en el punto P ( ) y sigue la dirección del vector u( ) y el otro sigue la trayectoria de la recta x 0y. Es posile que choquen? Los arcos siguen las trayectorias de las siguientes rectas: s : x 0y s : 0y x s : y x 0 P( ) é r r : * r: y ( x ) r: y x ( ) m + + u vector dirección Las rectas r y s son paralelas ya que tienen la misma pendiente y sus ordenadas en el origen son distintas por tanto no es posile que los arcos choquen. 6. Dado el triángulo de vértices A( ) B( ) y C( ) halla: a) Las ecuaciones de los tres lados. ) El punto medio del lado AC. c) La ecuación de la mediana del vértice B. a) A ( ) Lado AB: B ( ) Vector dirección (9 )//( ) m C ( ) y (x ) y x + x + y 0 Lado AC: Vector dirección ( 6)//( ) m y (x + ) y x x + y + 0
Lado BC: Vector dirección ( ) m y + (x ) y + x x y 0 ) M AC c m ( ) c) La mediana que corresponde a B pasa tamién por el punto medio de AC M AC. Su vector dirección es ( 0) m 0 y + 0(x + ) y x + t 6. Dada la recta r : * calcula la longitud del segmento AB siendo A y B los y t puntos donde r corta a los ejes de coordenadas. x + t P() é r r : * * y t v ( ) vector dirección m r : y (x ) r : y x + Hallamos las coordenadas de los puntos en los que r corta los ejes de coordenadas: y x + A * 0 x + x A ( 0) y 0 y x + B * y 0 + y B (0 ) x 0 AB AB ( ) ( ) + 6. Compruea que el triángulo de vértices A ( ) B ( ) y C ( /) es isósceles y calcula la medida de la altura relativa al lado desigual. Para comproar que el triángulo es isósceles hallamos las longitudes de sus lados teniendo en cuenta que: AB ( ) AC c m y BC c m Por tanto: AB AB + ( ) AC AC + c m 6 6 BC BC ( ) + c m 6 6 6 6 Por tanto el triángulo ABC & es isósceles y el lado desigual es AB.
Sea h la altura relativa al lado desigual AB. Como el triángulo es isósceles h corta el lado AB en su punto medio M. Por tanto la medida de la altura relativa al lado desigual es CM. A( ) M c + + m M c m B() _ C c m ` CM c m CM c m M c m a CM c m + c m 6 A M C B Por tanto la altura relativa al lado desigual mide. 6. Los puntos A (0 ) y B ( 0) son vértices consecutivos de un paralelogramo del que saemos que las diagonales se cortan en M ( ). Halla las coordenadas de los vértices C y D. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio por tanto M es el punto medio de AC y BD. M ( ) es el punto medio de A (0 ) y C (x y ): Z x ( ) 0 + x + y ] x e o [ * C ( ) + y y ] \ M ( ) es el punto medio de B ( 0) y D (x y ): Z + x ( ) + x 0 + y ] x e o [ * D ( ) y y ] \ 66. En el triángulo de vértices A ( ) B ( 0) y C ( ) halla: a) La ecuación de la altura que parte de A. ) La ecuación de la altura que parte de B. c) El punto de corte de las alturas (ortocentro). a) La altura que parte de A es la recta r perpendicular a BC que pasa por A: BC( 6 ) r v ( 6) vector direcciónde r m * r A( ) é r r : y (x ) r : y x + ) La altura que parte de B es la recta s perpendicular a AC que pasa por B: * AC( ) s v ( ) vector direcciónde s m B( 0) é s s : y 0 ( x ) s : y x + s B A M C D
c) y x + x x y x + + x + 6 x + + x x 9 Sustituimos x en la ecuación de r : y 9 + y El ortocentro es c m. 9 6. Calcula las coordenadas de un punto P que tiene la ascisa igual a la ordenada y que equidista de los puntos A ( 0) y B (0 ). P tiene igual la ascisa y la ordenada P (a a) P equidista de A ( 0) y B (0 ) dist (A P ) dist (B P ) AP BP AP( a a) BP( aa ) AP BP ( a ) + a a + ( a ) El punto que uscamos es P ( ). ( a ) + a a + ( a ) a a+ a a+ 6 a a 6. En el triángulo de vértices A( ) B ( ) y C ( 0) halla: a) La ecuación de la mediatriz de BC. ) La ecuación de la mediatriz de AC. c) El punto de intersección de las mediatrices (el circuncentro del triángulo). a) La mediatriz de BC es la perpendicular a BC por su punto medio M BC. M BC c + + 0m ( ) A ( ) B ( ) P C ( 0) La recta que contiene a BC es x. Su perpendicular por ( ) es y mediatriz de BC. ) M AC c + + 0m c m La recta que contiene a AC tiene vector dirección ( ) m Pendiente de la perpendicular a AC m'. Mediatriz de AC: y + (x ) y + x y x + 0 c) Circuncentro P : y y x + 0 x + 0 x x Las coordenadas de P son c m.
Página 69. Pruea que el cuadrilátero de vértices A( ) B( ) C( ) y D( ) es un trapecio isósceles y calcula su perímetro. Proamos que BC es paralelo a AD hallando las pendientes de las rectas que los contienen: m BC : vector dirección ( ) m BC m AD : vector dirección ( 6 6) m AD C ( ) B ( ) A ( ) Proamos que AB CD: AB ( ) + ( ) 6 + 9 CD ( + ) + ( + ) 9+ 6 Por tanto el trapecio ABCD es isósceles. Perímetro: BC ( + ) + ( ) 9+ 9 AD ( + ) + ( + ) 6 + 6 6 6 P + + + 6 6 + 9 u D ( ) 0. Halla en cada caso la ecuación de la circunferencia concéntrica con la dada y cuyo radio mida la mitad: a) x + (y ) 6 ) (x ) + (y + ) a) Centro (0 ); radio 6. La circunferencia con centro en (0 ) y radio es: x + (y ) 9 ) Centro ( ); radio. La circunferencia de centro ( ) y radio es: (x ) + (y + ) e o (x ) + (y + ). Halla la ecuación de la circunferencia de diámetro PQ siendo P( ) y Q( 6). El centro de la circunferencia es el punto medio de PQ M c + 6m ( ). El radio es la mitad de PQ : PQ ( + ) + ( 6 ) 6 + 6 6 Radio Ecuación: (x + ) + (y + ) ( ) (x + ) +(y + )
. Determina el centro y el radio de las circunferencias siguientes: a) x + y + 6x + y + 6 0 ) x + y + x y + 0 a) x + y + 6x + y + 6 0 x + 6x + 9 + y + y + 6 + 9 + (x + ) + (y + ) Circunferencia de centro C ( ) y radio r. ) x + y + x y + 0 x + x + 6 + y y + + 6 + (x + ) + (y ) Circunferencia de centro C ( ) y radio.. Halla los puntos de corte de la circunferencia (x ) + y 9 con la isectriz del primer cuadrante. Tenemos que hallar los puntos de corte de la circunferencia (x ) + y 9 con la isectriz del primer cuadrante que es la recta de ecuación y x. ( x ) + y 9 (x ) + x 9 x 6x + 9 + x 9 y x Los puntos uscados son A ( ) y B ( ). x 6x 0 0 x x 0 0 ± 9+ 0 x ± x y x y. Calcula k para que el punto ( k) pertenezca a la circunferencia: (x ) + (y + ) (x ) + (y + ) ( ) + (k + ) 6 + k + k + 0 k + k 0 k ± 6 k k Hay dos soluciones k k.. Las rectas r : x y + 0; s : x + y + 9 0 y t : x y 0 forman un triángulo ABC. Halla las coordenadas de los vértices. Los vértices del triángulo son los puntos donde se intersecan las rectas. Z _ x y + 0 ] r s [ x + y + 9 0 ` r s: A ( ) ] x + 0 0 x y \ a _ x y + 0 x + y 0 r t * r t : B ( 6) x y 0 x y 0 ` x 0 x y 6 Z _ a x + y + 9 0 ] s t [ x y 0 ` s t : C ( 0) ] x 0 x y 0 \ a 6
6. Dados la recta r : x y + 0 y el punto A ( ) halla el punto simétrico de A respecto de r. El punto simétrico de A respecto a r A' es el punto simétrico de A respecto de un punto M que es el punto de corte de r con la recta perpendicular a r que pasa por A. A r M A' Determinamos en primer lugar la ecuación de la recta s perpendicular a r que pasa por A: r : x y + 0 r : y x + m r m s A( ) é s ms s : y (x + ) s : y x + s : x + y 0 Hallamos el punto de corte de r y s : x y + 0 x + y 0 Luego M ( ). Ò x y + 0 x + y 6 0 x 0 x y + 0 y El punto M ( ) es el punto medio entre A ( ) y A' (x y ) siendo A' el punto simétrico de A respecto a r : _ Z A( ) + x A'( x y) + x + y ] x ` e o ( ) [ * A' ( ) + y y M() ] a \ Por tanto el punto simétrico de A respecto a r es A' ( ).. Demuestra analíticamente que el punto B (6 ) es el punto simétrico de A ( ) respecto de la recta x + y 0. Veremos que la recta que pasa por A y B s es perpendicular a r : x + y 0 y que el punto medio del segmento AB pertenece a r. _ r: x + y 0 r: y x + mr A( ) AB( ) m ` m s r m s r s B( 6) a A( ) M c + 6 + m M ( ) B( 6) M( ) r: x + y 0 + 0 M r Por tanto B es el simétrico de A respecto a r.
Prolemas +. Diuja el cuadrilátero de vértices A ( ) B ( ) C ( ) y D ( ). Compruea si es un trapecio. Si no lo es rectifica las coordenadas del punto D para que lo sea. C B D A El cuadrilátero ABCD es un trapecio si tiene un par de lados paralelos. Gráficamente se ve que AB no es paralelo a DC. Estudiemos qué ocurre con AD y BC : A( ) D( ) B( ) C( ) AD( ) BC( ) AD no es paralelo a BC no es un trapecio Si tomamos D ( ) entonces: A( ) AD( 6) BC AD // BC ABCD es un trapecio. D( ) 9. Determina el punto de la recta r : x y + 0 que equidiste de los puntos A ( ) y B ( ). r : x y + 0 r : y x + Las coordenadas de un punto P r son de la forma P cx x + m. P equidista de A ( ) y B ( ): dist (A P ) dist (B P ) AP BP _ AP cx x m ` AP BP BP cx x + m a ( x ) + c x m ( x ) + c x + m x x + + x x + x x + + x+ x + 96 6 6 6x x P c ( ) + m P c m El punto uscado es P c m.
0. Tenemos una parcela irregular representada en unos ejes de coordenadas como indica la siguiente figura: Queremos dividirla en dos partes de igual área mediante una recta que pase por el origen de coordenadas. Cuál será la ecuación de esa recta? r P Área parcela u Área trapecio + Coordenadas del punto P : c m c m Ecuación de r : m 9 ; y mx y 9 x Reflexiona sore la teoría. Verdadero o falso? Justifica tus respuestas. a) Dos vectores con la misma dirección no se pueden sumar. ) Dos vectores opuestos tienen igual dirección. c) Si u k v y k < 0 entonces u y v tienen distinta dirección. d) Si u v entonces u y v tienen igual módulo. e) La ecuación x + y + 0 representa una circunferencia. f ) La recta x + y 0 es perpendicular a y x +. g) Las coordenadas del punto medio de un segmento de extremos P (x y ) y Q (x y ) son: x+ y x+ y M d n a) Falso: se pueden sumar vectores de la misma o de distinta dirección. ) Verdadero: u ( ) u c) Falso: tienen la misma dirección y sentidos contrarios. d) Verdadero. e) Falso. La ecuación de una circunferencia de centro C (a ) y radio r es: (x a) + (y ) r y x + y + 0 no se puede expresar de esa forma. f ) Verdadero: x + y 0 y x m y x m' m m' son perpendiculares. + g) Falso es M x + x y + c y m. 9
. Saes que la expresión ax + y + c 0 es la ecuación de una recta. Di cómo es la recta en los siguientes casos: a) a 0 ) 0 c) c 0 d) a 0 c 0 a) y + c 0 es paralela al eje X. ) ax + c 0 es paralela al eje Y. c) ax + y 0 es una recta que pasa por el origen de coordenadas (0 0). d) y 0 y 0. Es el eje X.. Si dos rectas r y r son perpendiculares cuál de estas condiciones cumplirán sus pendientes? a) m m ) m m c) m m d) m + m La condición c): m m.. Cuál de estas expresiones nos da la distancia entre P (x y ) y Q (x y )? a) (x x ) + (y y ) ) ( x + x ) ( y + y ) c) ( x x ) + ( y y ) d) x x + y y La c) ( x x ) + ( y y ). 0
Página 6 Infórmate Espacios de muchas dimensiones Calcula la distancia entre los puntos del espacio A (6 ) y B ( ). AB ( 6 + ) AB ( ) dist (A B ) AB ( ) + ( ) + ( ) 9 Calcula tamién el punto medio del segmento AB. Punto medio de AB: M c 6+ + ( ) + m M c 6 m Oserva reflexiona y decide Zonas de pasto Tomando como centro de coordenadas la argolla y como eje de ascisas la valla qué zona del prado delimita cada sistema de inecuaciones? a) x + y 6 ) x + y 6 y > 0 y > 0 (x ) + (y ) (x ) + (y ) c) x + y 6 d) x + y 6 y > 0 y > 0 (x ) + (y ) (x ) + (y ) a) ) 0 0 c) d) 0 0
Página Entrénate resolviendo prolemas Halla el área de la parte coloreada. l 0 cm El área que uscamos es el dole de la que está coloreada en esta figura: Calculamos primero el lado del cuadrado interior: Lado + 0 cm l 0 cm cm cm A A CÍRCULO π π ( ) La diferencia es (π ). CUADRADO INTERIOR El área pedida es A (π ) 0 cm Tomando como centro cada uno de los vértices de un triángulo equilátero se han trazado tres arcos de radio cm como indica la figura. Halla el área de la zona coloreada. La parte no coloreada es medio círculo de radio cm. Calcularemos el área del triángulo el área del semicírculo y finalmente el área de la zona coloreada. La altura del triángulo es a 69 cm a A triángulo a 6 cm A semicírculo π π cm A parte coloreada 6 π cm
Halla la superficie del hexágono. cm Altura del triángulo cm A triángulo cm El área del hexágono es de la del triángulo. A hexágono cm Calcula el área de un hexágono regular saiendo que tiene el mismo perímetro que un triángulo equilátero cuya superficie mide cm. Para que el perímetro de un triángulo equilátero sea igual que el de un hexágono regular el lado del primero dee ser el dole que el del segundo. El área del triángulo es de la del hexágono. Por tanto: Ahexágono 6 cm 6 Calcula la longitud del segmento AB. A Las dos diagonales del rectángulo son iguales. A B Por tanto: AB radio de la circunferencia + unidades. B Halla el perímetro externo de toda la figura saiendo que el radio de la circunferencia menor es r cm. El radio de la circunferencia grande es: + cm r r r r 90 El perímetro está formado por media circunferencia pequeña y tres cuartos de circunferencia grande. Por tanto su longitud es: ( π ) + ( π ) π e+ o 9 cm
Autoevaluación. Dados los vectores u( ) y v( ): a) Representa los vectores u+ v; u v; ) Calcula las coordenadas del vector w u+ v. a) v u + v u v u y v y halla sus coordenadas. u+ v ( ) + ( ) ( ) v u v u v u v ( ) ( ) (6 ) u u ( ) ( ) v v v ( ) (6) ) w u+ v w ( ) + ( ) w ( ) + ( 6 ) w ( ). Representa los puntos A ( 0) B (0 ) C ( ) y D ( ) y compruea analíticamente que el punto medio de AC coincide con el punto medio de BD. C D M A B Punto medio de AC: M c + 0+ m M c m ( ) Punto medio de BD: M c 0+ + m M c m. Halla el simétrico de P ( ) respecto de M ( 0). Sea Q (a ) el simétrico de P respecto de M. M es el punto medio de PQ. M PQ c + a + m ( 0 ) + a a + 0
. Halla el valor de k para que los puntos A ( ) B ( 0) y C (6 k ) estén alineados. Para que A B y C estén alineados dee ser AB// BC y por tanto sus coordenadas proporcionales. AB ( 0) ( ) ( ) k BC ( 6 k) ( 0) ( k) k. Escrie las ecuaciones vectorial paramétricas en forma continua y explícita de la recta que pasa por el punto P ( ) y tiene por vector dirección d( ). ecuación vectorial: OX OP + t d (x y ) ( ) + t ( ) ecuaciones paramétricas: ecuación continua: x t * y + t x y + ecuación explícita: Despejando y en la ecuación anterior: x y y x + 6. Otén las ecuaciones de las rectas r y s y su punto de intersección: r pasa por ( ) y es perpendicular a x y + 6 0. s pasa por (9 /) y es paralela a x + y 0 La pendiente de x y + 6 0 es m. La pendiente de r es m'. r : y ( x + ) y 6 x 9 x + y 0 La pendiente de s es m. s : y ( x 9) y x + 6 x + y 0 Punto de corte: x + y 0 * x 9 y x + y 0 Las rectas se cortan en el punto c9 m.. En el triángulo de vértices A ( ) B (0 ) y C (6 ) halla la ecuación de la mediana que parte de B. La mediana que parte de B pasa por B y el punto medio del segmento AC. M AC c + 6 + m ( ) Ecuación de la mediana: x 0 y x y x + y 0 0
. Calcula la longitud de los lados del triángulo de vértices A ( ) B (6 ) y C ( ). AB ( 0 ); AC ( ); BC ( 6) por tanto: AB AB 0 + 0 6 AC AC + ( ) 0 BC BC ( ) + ( 6) 00 0 9. Estudia la posición relativa de estas rectas: r : x + y 0 s : x + y _ (*) r: x + y 0 x + y 0 x + y ` s: x + y a (*) Dividimos por. Son la misma recta. 0. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C (0 ) y pasa por el punto A ( 0). Radio de la circunferencia dist (A C ) AC ( 0 ) + ( 0) 9+ 9 Centro C( 0 ) c : (x 0) Radio r + (y + ) c : x + y + 6y 9 0 6
Autoevaluación. Dados los vectores u( ) y v( ): a) Representa los vectores u+ v; u v; ) Calcula las coordenadas del vector w u+ v. a) v u + v u v u y v y halla sus coordenadas. u+ v ( ) + ( ) ( ) v u v u v u v ( ) ( ) (6 ) u u ( ) ( ) v v v ( ) (6) ) w u+ v w ( ) + ( ) w ( ) + ( 6 ) w ( ). Representa los puntos A ( 0) B (0 ) C ( ) y D ( ) y compruea analíticamente que el punto medio de AC coincide con el punto medio de BD. C D M A B Punto medio de AC: M c + 0+ m M c m ( ) Punto medio de BD: M c 0+ + m M c m. Halla el simétrico de P ( ) respecto de M ( 0). Sea Q (a ) el simétrico de P respecto de M. M es el punto medio de PQ. M PQ c + a + m ( 0 ) + a a + 0
. Halla el valor de k para que los puntos A ( ) B ( 0) y C (6 k ) estén alineados. Para que A B y C estén alineados dee ser AB// BC y por tanto sus coordenadas proporcionales. AB ( 0) ( ) ( ) k BC ( 6 k) ( 0) ( k) k. Escrie las ecuaciones vectorial paramétricas en forma continua y explícita de la recta que pasa por el punto P ( ) y tiene por vector dirección d( ). ecuación vectorial: OX OP + t d (x y ) ( ) + t ( ) ecuaciones paramétricas: ecuación continua: x t * y + t x y + ecuación explícita: Despejando y en la ecuación anterior: x y y x + 6. Otén las ecuaciones de las rectas r y s y su punto de intersección: r pasa por ( ) y es perpendicular a x y + 6 0. s pasa por (9 /) y es paralela a x + y 0 La pendiente de x y + 6 0 es m. La pendiente de r es m'. r : y ( x + ) y 6 x 9 x + y 0 La pendiente de s es m. s : y ( x 9) y x + 6 x + y 0 Punto de corte: x + y 0 * x 9 y x + y 0 Las rectas se cortan en el punto c9 m.. En el triángulo de vértices A ( ) B (0 ) y C (6 ) halla la ecuación de la mediana que parte de B. La mediana que parte de B pasa por B y el punto medio del segmento AC. M AC c + 6 + m ( ) Ecuación de la mediana: x 0 y x y x + y 0 0
. Calcula la longitud de los lados del triángulo de vértices A ( ) B (6 ) y C ( ). AB ( 0 ); AC ( ); BC ( 6) por tanto: AB AB 0 + 0 6 AC AC + ( ) 0 BC BC ( ) + ( 6) 00 0 9. Estudia la posición relativa de estas rectas: r : x + y 0 s : x + y _ (*) r: x + y 0 x + y 0 x + y ` s: x + y a (*) Dividimos por. Son la misma recta. 0. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C (0 ) y pasa por el punto A ( 0). Radio de la circunferencia dist (A C ) AC ( 0 ) + ( 0) 9+ 9 Centro C( 0 ) c : (x 0) Radio r + (y + ) c : x + y + 6y 9 0 6