TEMA DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA. LA BINOMIAL ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS EJERCICIO : En una urna hay bolas numeradas de al 6. Extraemos una bola al azar y observamos el número que tiene. a) Describe los sucesos escribiendo todos sus elementos: A "Obtener ar" B "Obtener imar" C "Obtener rimo" D "Obtener imar menor que 9" b) Qué relación hay entre A y B? Y entre C y D? c) Cuál es el suceso A B? y C D? a) A {,, 6, 8,,,, 6} B {,, 7, 9,,, } C {,,, 7,, } D {,, 7} b) B A'; D C c) A B E (Esacio muestral); C D D EJERCICIO : Consideramos el exerimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. a) Cuál es el esacio muestral? Cuántos elementos tiene? b) Describe los sucesos escribiendo todos sus elementos.: A "Obtener dos caras y una cruz" B "Obtener al menos dos caras" C "Obtener al menos una cruz" c) Halla los sucesos B C y C' a) E { (C, C, C), (C, C, +), (C, +,C), (+, C, C), (C, +, +), (+, C, +), (+, +, C), (+, +, +) } Tiene 8 elementos. b) A { (C, C, +), (C, +,C), (+, C, C) } B { (C, C, C), (C, C, +), (C, +,C), (+, C, C) } C { (C, C, +), (C, +,C), (+, C, C), (C, +, +), (+, C, +), (+, +, C), (+, +, +) } c) B C { (C, C, +), (C, +,C), (+, C, C) } C ' { (C, C, C) } EJERCICIOS PROBABILIDAD EJERCICIO : Sean A y B los sucesos tales que: P[A] 0, P[A' B] 0, P[A B] 0, Calcula P[A B] y P[B]. Calculamos en rimer lugar P[B]: P[B] P[A' B] + P[A B] 0, + 0, 0, P[A B] P[A] + P[B] P[A B] 0, + 0, 0, 0,8 EJERCICIO : Sabiendo que: P[A B] 0, P[B'] 0,7 P[A B'] 0, Calcula P[A B] y P[A]. P[A] P[A B'] + P[A B] 0, + 0, 0,7 P[B] P[B'] 0,7 0, P[A B] P[A] + P[B] P[A B] 0,7 + 0, 0, 0,8
EJERCICIO : De dos sucesos A y B sabemos que: P[A'] 0,8 P[A B] 0,8 P[B] 0, a) Son A y B indeendientes? b) Cuánto vale P[A / B]? a) P[A'] P[A] 0,8 P[A] 0, P[A B] P[A] + P[B] P[A B] 0,8 0, + 0, P[A B] P[A B] 0, P[ A] P[ B] 0, 0, 0, 8 P[ A B] P[ A] P[ B] No son indeendientes. P[ A B] 0, [ A B] P[ B] P 0, b) P[ A / B] 0, 9 0, EJERCICIO 6 : Si A y B son dos sucesos tales que: P[A] 0, P[B / A] 0, P[B'] 0,7 a) Son A y B indeendientes? b) Calcula P[A B] y P[A B]. a) P[B'] P[B] 0,7 P[B] 0, Como P[B / A] 0, y P[B] 0,, tenemos que: P[B / A] P[B] A y B son indeendientes. b) Como A y B son indeendientes: P[A B] P[A] P[B] 0, 0, 0, Así: P[A B] P[A] + P[B] P[A B] 0, + 0, 0, 0, PROBLEMAS PROBABILIDAD EJERCICIO 7 : En unas oosiciones, el temario consta de 8 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 8. Si un oositor sabe de los 8 temas, cuál es la robabilidad de que sea al menos uno de los tres temas? Tenemos que hallar la robabilidad de que ocurra el siguiente suceso: A el oositor conoce, al menos, uno de los tres temas Para calcularla, utilizaremos el comlementario. Si sabe temas, hay 8 0 temas que no sabe; entonces: 0 9 8 P [A] P [A ] P [ no sabe ninguno de los tres ] 0, 98 0, 80 8 8 8 Por tanto, la robabilidad de que sea al menos uno de los tres temas es de 0,80. EJERCICIO 8 : Tenemos ara enviar tres cartas con sus tres sobres corresondientes. Si metemos al zar cada carta en uno de los sobres, cuál es la robabilidad de que al menos una de las cartas vaya en el sobre que le corresonde? Hacemos un diagrama que refleje la situación. Llamamos a los sobres A, B y C; y a las cartas corresondientes a, b y c. Así, tenemos las siguientes osibilidades: Vemos que hay seis osibles ordenaciones y que en cuatro de ellas hay al menos una coincidencia. Por tanto, la robabilidad edida será: P 0, 67 6
EJERCICIO 9 : a) Dos ersonas eligen al azar, cada una de ellas, un número del al. Cuál es la robabilidad de que las dos elijan el mismo número? b) Si son tres ersonas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del al, cuál es la robabilidad de que las tres elijan el mismo número? a) Para calcular la robabilidad, suonemos que el rimero ya ha elegido número. La regunta es: cuál es a robabilidad de que el segundo elija el mismo número? P 0, b) P 0,0 EJERCICIO : En un viaje organizado or Euroa ara ersonas, 8 de los que van saben hablar inglés, 6 saben hablar francés, y de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar. a) Cuál es la robabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b) Cuál es la robabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? c) Cuál es la robabilidad de que solo hable francés? Vamos a organizar los datos en una tabla, comletando los que faltan: Llamamos I "Habla ingles", F "Habla francés". 8 + 6 c) P F no I 0, a) Tenemos que hallar P[I F]: P [ I F] P[ I] + P[ F] P[ I F] 0, 6 b) P F/ 8 [ I] 0, [ ] EJERCICIO : En una clase de 0 alumnos hay 8 que han arobado matemáticas, 6 que han arobado inglés y 6 que no han arobado ninguna de las dos. Elegimos al azar un alumno de esa clase: a) Cuál es la robabilidad de que haya arobado inglés y matemáticas? b) Sabiendo que ha arobado matemáticas, cuál es la robabilidad de que haya arobado inglés? c) Son indeendientes los sucesos "Arobar matemáticas" y "Arobar inglés"? Organizamos los datos en una tabla de doble entrada, comletando los que faltan: 7 Llamamos M "Arueba matemáticas", I Arueba inglés". a) P[ M I] 0, b) P I / M 0, 0 8 9 8 6 8 8 8 c) P[ M] P[ I] P[ M I] 0 0 7 Como P M I P M P I, los dos sucesos no son indeendie [ ] 6 [ ] [ ] [ ] ntes. EJERCICIO : Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay 6 bolas blancas y.rojas. Sacamos una bola de A y la asamos a B. Desués extraemos una bola de B. a) Cuál es la robabilidad de que la bola extraída de B sea blanca? b) Cuál es la robabilidad de que las dos bolas sean blancas?
Hacemos un diagrama en árbol: 7 7 a) P[ ª Bl ] + 0 [ Bl y Bl ] b) P 7 0 7 EJERCICIO : El % de la oblación de un determinado lugar adece una enfermedad. Para detectar esta enfermedad se realiza una rueba de diagnóstico. Esta rueba da ositiva en el 97% de los acientes que adecen la enfermedad; en el 98% de los individuos que no la adecen da negativa. Si elegimos al azar un individuo de esa oblación: a) Cuál es la robabilidad de que el individuo dé ositivo y adezca la enfermedad? b) Si sabemos que ha dado ositiva, cuál es la robabilidad de que adezca la enfermedad? Hacemos un diagrama en árbol: a) P[Enfermo y Positiva] 0,0097 P[ ENFERMO y POSITIVA] 0, 0097 0, 0097 b) P[ ENFERMO / POSITIVA] 0, P P 0, 0097 + 0, 098 0, 09 [ OSITIVA] EJERCICIO : Un estudiante realiza dos exámenes en un mismo día. La robabilidad de que aruebe el rimero es 0,6. La robabilidad de que aruebe el segundo es 0,8; y la de que aruebe los dos es 0,. Calcula: a) La robabilidad de que aruebe al menos uno de los dos exámenes. b) La robabilidad de que no aruebe ninguno. c) La robabilidad de que aruebe el segundo examen en caso de haber arobado el rimero. Llamamos: A "arobar el rimer examen" B "arobar el segundo examen" Tenemos entonces que: P [ A] 0, 6; P [ B] 0,8; P [ A B] 0, [ A B] P [ A] + P [ B] P [ A B] 0, 6 + 0,8 0, 0, 9 P [ ] [ B A] 0, B / A 0,8 P [ A] 0, 6 a) P c) P [ A B] 0,9 0, b) P EJERCICIO : En una bolsa, A, hay bolas negras y rojas. En otra bolsa, B, hay bolas negras, rojas y verdes. Extraemos una bola de A y la introducimos en la bolsa B. Posteriormente, sacamos una bola de B. a) Cuál es la robabilidad de que la segunda bola sea roja? b) Cuál es la robabilidad de que las dos bolas extraídas sean rojas? Hacemos un diagrama de árbol: 8 a) P[ ª R] + [ R y R] b) P
EJERCICIO 6 : En un club deortivo, el % de los socios son hombres. Entre los socios, el % de los hombres ractica la natación, así como el 60% de las mujeres. Si elegimos un socio al azar: a) Cuál es la robabilidad de que ractique la natación? b) Sabiendo que ractica la natación, cuál es la robabilidad de que sea una mujer? Hacemos un diagrama en árbol: a) P[Natación] 0,8 + 0,88 0,7 P MUJER Y N 0,88 b) P[ MUJER / NATACIÓN] 0,6 P N 0,7 [ ATACIÓN] [ ATACIÓN]
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. CÁLCULO DE PARÁMETROS EJERCICIO : Lanzamos tres dados y anotamos el número de cincos que obtenemos. a Cuál es la distribución de robabilidad? b Calcula la media y la desviación tíica. a Los osibles valores de x i son 0,,,. La tabla de la distribución de robabilidad es la siguiente: 8 b) x i i 0, 0, 6 i x i 6 0,6 0,6 EJERCICIO : Una urna, A, contiene tres bolas con los números, y, resectivamente. Otra urna, B, tiene dos bolas, con los números y. Elegimos una urna al azar, extraemos una bola y miramos el número obtenido. a Haz una tabla con las robabilidades. b Calcula la media y la desviación tíica. a) Los osibles valores de xi son,,,,. La tabla de la distribución de robabilidad es la siguiente: b) i x i,, i x i 69 6 97 8,, IDENTIFICAR DISTRIBUCIONES BINOMIALES. CÁLCULO DE PARÁMETROS EJERCICIO : Para cada una de las siguientes situaciones, indica si sigue una distribución binomial. En caso afirmativo, identifica en ella los valores de n y : a Lanzamos cien veces un dado y nos reguntamos or el número de unos que obtenemos. b Extraemos una carta de una baraja y vemos si es un as o no. Sin devolverla al mazo, extraemos otra y también miramos si se trata de un as o no,... y así sucesivamente hasta diez veces. a) Es una distribución binomial con n 0, B 0, 6 6 b) No es una binomial, ues la robabilidad de obtener as ara la segunda carta es distinta que ara la rimera al ser sin reemlazamiento las extracciones. EJERCICIO : Para cada una de las situaciones que se te roonen a continuación, di si se trata de una distribución binomial y, en caso afirmativo, identifica los valores de n y : a Se calcula que el de los niños que nacen son varones. En una oblación de 0 recién nacidos, nos reguntamos or el número de niñas que hay. b Un examen tio test tiene 0 reguntas a las que hay que resonder verdadero o falso. Para un alumno que conteste al azar, nos interesa saber el número de resuestas acertadas que tendrá. a) Es una distribución binomial con n 0, 0, 9 B 0; b) Es una distribución binomial con n 0, B 0, 0,9
CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN DISTRIBUCIONES BINOMIALES EJERCICIO : Se sabe que el 0 de la oblación de una determinada ciudad ve un concurso que hay en televisión. Desde el concurso se llama or teléfono a ersonas de esa ciudad elegidas al azar. Calcula la robabilidad de que, entre esas ersonas, estuvieran viendo el rograma: a Más de 8. b Alguna de las. c) Halla la media y la desviación tíica. Si llamamos x "número de ersonas entre esas, que están viendo el rograma", se trata de una distribución binomial con n, 0, B(; 0,). a) x 8 x 9 x 9 9 0, 9 0,7 0, 0, 0,7 0, x 0 x 0 0,7 0,97 x 0 0, 97 b) c) Hallamos la media y la desviación tíica: n 0, nq 0, 0,7,,, 0, 000 x 8 0, 000 EJERCICIO 6 : Una urna contiene bolas rojas, blancas y verdes. Extraemos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Si reetimos la exeriencia veces, calcula la robabilidad de sacar: a Alguna bola verde. b Menos de dos bolas verdes. c) Halla el número medio de bolas verdes extraídas. Calcula también la desviación tíica. Si llamamos x número de bolas verdes extraídas, se trata de una distribución binomial con n, 0, B; 0, a) b) x 0 x 0 0,8 0,67 x 0 0, 67 x x 0 x 0,8 0, 0,8 0,77 x 0, 77 c) Hallamos la media y la desviación tíica: µ n 0, bola verde or término medio) nq 0, 0,8 0,89 0,89 EJERCICIO 7 : La robabilidad de que un determinado medicamento rovoque reacción alérgica es de 0,0. Si se le administra el medicamento a 0 acientes, calcula la robabilidad de que tengan reacción alérgica: a Al menos uno de ellos. b Más de 8. c) Halla la media y la desviación tíica. Si llamamos x número de acientes con reacción alérgica, se trata de una distribución binomial con n 0, 0, 0 B 0; 0, 0 a) 0 x x x 0 0, 98 0, x 0, 9 0 x 8 x 9 0 0 0,0 0,98 0,0,0 0 x 8 0 b) x c) Hallamos la media y la desviación tíica: n 0 0,0 0, 0, nq 0 0,0 0,98 0,6 0, 6 EJERCICIO 8 : La robabilidad de que un cierto roducto se roma cuando es transortado es del %. Si se transortan 0 de estos roductos, calcula la robabilidad de que: a Se roman más de dos. b No se roma ninguno. Se trata de una binomial B0; 0,0. x x x 0 x x x 0 0,98 0 0, 668 x 0 0,0 0,98 9 0, 7 a) b) 0 x 0,668 0,7 0,08 0, 8 x 0,0 0,98 0, 08 Luego: 007 x 0 0,98 0 0, 668