ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA ANTENAS 5 de enero de 006 Problema 1 La figura representa un reflector parabólico cua apertura equivalente es un rectángulo de dimensiones A B. La relación f/d es 0.75 en ambos planos principales se alimenta con una bocina piramidal situada en el foco del paraboloide. La frecuencia de trabajo es f 0 =10 GH. La distancia focal es f = 5λ 0. La potencia entregada al alimentador es 1 vatio. a) Diseñe una bocina piramidal óptima, de modo que el nivel en bordes en ambos planos principales sea de -6 db. Oriente la bocina de modo que la polariación de la misma sea ŷ. Describa el procedimiento seguido. ( puntos) b) Calcule la directividad de la bocina. (1 punto) c) Calcule el valor numérico del campo máimo incidente sobre el reflector, E 0. ( puntos) d) Aproime el campo en la apertura como una función separable, E 0 f() g(), de tipo coseno sobre pedestal en ambos planos principales. Calcule la eficiencia de iluminación de la apertura del reflector en función del valor del pedestal, C. Particularice luego para el caso de este problema. ( puntos) e) Determine la eficiencia de desbordamiento la directividad del reflector. (3 puntos) (a) Diagramas normaliados Plano H (b) Diagramas normaliados Plano E
Problema 45 45 H = λ 4 45 45 a = λ/ Un dipolo de semibrao H = λ/4 se sitúa paralelo, a una distancia a = λ/, de un diedro de dos planos conductores perfectos que forman entre sí un ángulo de 90, tal como se muestra en la figura, que se etienden hasta el infinito. El dipolo es paralelo al eje, los planos están situados en φ = ±45. Para el dipolo frente al diedro conductor: a) Dibuje los diagramas plano E plano H ( puntos). b) Calcule la impedancia de entrada. Para ello utilice la gráfica de la impedancia mutua que se adjunta ( puntos). c) Calcule la directividad máima ( puntos). Ahora en lugar de un sólo dipolo se coloca una agrupación lineal uniforme broadside de 5 dipolos H = λ/4 separados una distancia d = λ/ entre sí, tal como se muestra en la figura. Considere que los dipolos están desacoplados entre sí que la impedancia de entrada de cada uno de ellos es la calculada en el apartado b). Para la agrupación de dipolos frente al diedro: d) Dibuje los diagramas plano E plano H ( puntos). e) Calcule la directividad máima ( puntos). 80 60 1 de dipolos paralelos de H= λ/4 Re{ 1 } Im{ 1 } 40 d = λ 0 0 0 40 0 0.5 1 1.5.5 3 d/λ
Solución al Problema 1 a) La caída de 6 db en bordes del reflector, se debe a dos contribuciones: La atenuación por propagación la directividad de la bocina. Dado que la relación f/d es 0.75, el ángulo con el que se ve el borde del reflector, β, es 37 se obtiene mediante f D = 1 4 tan β en consecuencia la caída en el borde por propagación es ( τ c = 40 log cos β ) = 1 db Así pues la directividad de la bocina debe ser tal que a β grados de la dirección broadside el nivel esté 5 db por debajo del máimo (τ d = 5 db). Para obtener las dimensiones de la bocina que garantian ese nivel en bordes, contamos con las gráficas universales plano E plano H. De todas ellas seleccionamos las correspondientes a la bocina óptima, como se indica en el enunciado. Es decir, t = s h = 3/8 s = s e = 1/4. El nivel de -5 db necesario, en escala lineal corresponde a un campo relativo al máimo de 0.56 en el eje vertical de las gráficas. Esto se traduce en un valor de b λ senβ = 0,7 para el plano E, a λsenβ = 0,9 para el plano H. Despejando a b en función de la longitud de onda, a = 1,5λ b = 1,17λ. Por su parte, las longitudes L E L H de la bocina son inmediatas de obtener dado que la bocina es óptima: de donde L E = 0,7λ L H = 0,75λ 1 4 = b 8λL E 3 8 = a 8λL H b) La bocina es óptima por lo que su eficiencia es aproimadamente η = 0, 5. La directividad es D bocina = 4π abη = 11, (10,5 db) λ c) El campo máimo incidente en la superficie del reflector E 0 se puede obtener igualando la definición de directividad, al valor obtenido en el apartado anterior: E0/η W rad /4πr = D bocina de donde E 0 = 1 D bocina ηw rad f 4π = 1, V/cm. d) La distribución de campo coseno sobre pedestal se epresa como ( π ) f() = C + (1 C) cos L La distribución de campo coseno sobre pedestal se epresa como f() = C +(1 C) cos ( π L ) siendo L la dimensión de la apertura en. Dado que la apertura es separable, la eficiencia de iluminación total se puede obtener como producto de las eficiencias en ambas dimensiones: η il = η η. En este caso la distribución en ambos planos es la misma por lo que basta calcular una de ellas ) ( L/ η = 1 f () d L/ L L/ f () d L/ = C + [C + π (1 C) ] (1 C) + 4C (1 C) π En el caso particular del problema, C es 0.5 (τ = 6 db) por tanto η = 0, 97 la eficiencia total η = η = 0, 94. e) La eficiencia de desbordamiento es la relación entre la potencia captada por el reflector la transmitida por la bocina. En este caso, esta última es W rad = 1, la potencia captada por el reflector, W a, se puede calcular a partir de la distribución de campo en la apertura el campo máimo calculado en el apartado c) mediante: W a = 1 η A/ B/ E a (, ) dd A/ B/
donde el campo en la apertura es Sustituendo obtenemos η s = E a (, ) = E 0 [C + (1 C) cos W a W rad = 1 η E 0 AB la directividad del reflector resulta [ C + (1 C) + ( π )] [ ( π )] A C + (1 C) cos B ] 4C (1 C) = 1 π 10π 1, (6,66 3) 0,69 = 0,73 D ref = 4π λ ABη ilη s = 38,5 (6dB)
Solución al Problema a) Para analiar el dipolo frente al reflector aplicaremos la teoría de imágenes. En la siguiente figura se muestran los tres dipolos imagen que aparecen, su posición el valor de la corriente que circula por ellos. I 3 = I I = I I 1 = I I 4 = I Figura 1: El vector de radiación total será la superposición del vector de radiación de los cuatro dipolos: N = N λ/4 e jka + N λ/4 e jka N λ/4 e jka N λ/4 e jka N = N λ/4 (cos(k a) cos(k a)) N = N λ/4 F A donde N λ/4 es el vector de radiación de un dipolo de semibrao H = λ/4 situado en el origen de coordenadas paralelo al eje : N λ/4 = λ π I cos ( π cos θ) m sin ẑ θ Por tanto el vector de radiación total es el de un dipolo aislado por un factor de agrupación. Y el campo eléctrico radiado será el campo radiado por el dipolo H = λ/4 por ese factor de agrupación: E = j 60 I m r E = E λ/4 F A e jkr cos ( π cos θ) ˆθ (cos(k a) cos(k a)) sin θ Para representar el diagrama de radiación en el plano E debemos en primer lugar determinar cuál es ese plano (formado por la dirección de máima radiación la polariación del campo eléctrico en esa dirección). El campo radiado por el dipolo aislado ( E λ/4 ) es máimo en cualquier dirección del plano XY. El factor de agrupación será máimo cuando: cos(k a) cos(k a) = cos(k sin θ cos φ a) cos(k sin θ sin φ a) = ( π cos λ sin θ cos φ λ ) ( π cos λ sin θ sin φ λ ) = cos (π sin θ cos φ) cos (π sin θ sin φ) = La ecuación anterior se cumple cuando los argumentos de los cosenos son uno 0 el otro π. Y eso sucede cuando sin θ = 1 cos φ sin φ valen el uno 0 el otro 1. Es decir, se cumple para los siguientes valores de θ φ: θ φ Dirección π/ 0 +ˆ π/ π/ +ŷ π/ π ˆ π/ 3π/ ŷ
No obstante, hemos de recordar que hemos aplicado teoría de imágenes que en el problema original eisten dos planos metálicos que se etienden hasta el infinito en φ = ±π/4. Al aplicar teoría de imágenes los planos desaparecen, pero el campo radiado que obtenemos tan sólo es válido en φ [ π/4, π/4]. Por tanto el único máimo válido es el de +ˆ. Así que en la dirección +ˆ tanto el diagrama del dipolo aislado como de la agrupación son máimos, por tanto esa es la dirección de máima radiación. El dipolo produce un campo eléctrico polariado según ˆθ, el el eje ˆ se cumple que ˆθ(θ = π/, φ = 0) = ẑ. Por tanto el plano E es el plano XZ. Y el plano H es el plano XY, que es el que contiene a la dirección de máima radiación (+ˆ) al campo magnético en esa dirección ( ˆφ(θ = π/, φ = 0) = ŷ). En el plano E (XZ) se cumple que φ = 0. Por tanto: k = k sin θ cos φ = k sin θ Y el factor de agrupación en ese plano es: k = k sin θ sin φ = 0 F A(θ, φ = 0) = F A(k = k sin θ, k = 0) = (cos(k sin θa) cos(0)) F A(θ, φ = 0) = (cos(π sin θ) 1) Para dibujar ese diagrama recurriremos al método gráfico. Si llamamos u = π sin θ, debemos representar la función f(u) = (cos(u) 1). Como sin θ puede variar entre -1 1, u variará entre π π. En la figura se ha utiliado el método gráfico para calcular el diagrama de la agrupación en el plano XZ. f(u) π π 0 π π u = π sin θ Figura : Determinación del diagrama de radiación de la agrupación en el plano XZ mediante el método gráfico Ya estamos en condiciones de representar los diagramas de radiación del dipolo aislado (parecido al del dipolo elemental, pero un poco más directivo), de la agrupación (el calculado en la figura ), del dipolo frente al diedro (el producto de los dos diagramas), en el plano E. En la tabla 1 se muestran dichos diagramas. Obsérvese que se ha anulado la parte del diagrama en el semiplano < 0 porque en ese semiplano están los planos conductores en su interior el campo es nulo.
Dipolo aislado Agrupación Dipolo frente a diedro Tabla 1: Diagramas en el plano E (XZ) Ahora representaremos el diagrama del dipolo frente al diedro en el plano H (plano XY ). El diagrama de radiación del dipolo aislado es omnidireccional en ese plano. El factor de agrupación particulariado en el plano XY (θ = π/) es: F A(θ = π/, φ) = F A(k = k cos φ, k = k sin φ) = (cos(k cos φ a) cos(k sin φ a)) F A(θ = π/, φ) = f(φ) = (cos(π cos φ) cos(π sin φ)) Para representar este diagrama podemos buscar los nulos los máimos. Para encontrar los nulos igualamos el diagrama a cero despejamos la posición de los nulos (φ c ): f(φ) = (cos(π cos φ c ) cos(π sin φ c )) = 0 cos(π cos φ c ) = cos(π sin φ c ) π cos φ c = ±π sin φ c tan φ c = ±1 φ c = ± π 4, ±3π 4 Los máimos del diagrama a los hemos obtenido con anterioridad han resultado estar en las direcciones ±ˆ ±ŷ. Por tanto a podemos dibujar también el diagrama de la agrupación en el plano H. El dibujo se muestra en la tabla, junto con el diagrama del dipolo aislado el diagrama total. De nuevo se observa que en el diagrama total se ha anulado la parte del diagrama que queda dentro de los planos conductores. Dipolo aislado Agrupación Dipolo frente a diedro Tabla : Diagramas en el plano H (XY) b) Para cálculos de impedancia hemos de tener en cuenta la influencia mutua entre el dipolo original los tres dipolos más que aparecen al aplicar la teoría de imágenes. Como en total ha 4 dipolos, la tensión en el primer dipolo será: V 1 = 11 I 1 + 1 I + 13 I 3 + 14 I 4
Tal como hemos numerado los dipolos (ver figura 1): V 1 = 11 I 1 + 1 I 1 13 I 1 14 I 1 Por tanto: in = V 1 = 11 + 1 13 14 I 1 La autoimpedancia del dipolo H = λ/4 es 11 = 73 + j 43 Ω. Y mirando en la gráfica de la impedancia mutua de dipolos H = λ/4 paralelos que se adjuntaba en el enunciado, teniendo en cuenta que los dipolos 1 están separados d = λ, los dipolos 1 3 d = λ, los dipolos 1 4 d = λ : 1 = 4 + j 18 Ω 13 = 14 = 5 + j 1 Ω Por tanto: c) La directividad se puede calcular de la siguiente manera: in = 73 + j43 + 4 + j18 ( 5 j1) = 17 + j 59 Ω D = E ma η W r ma 4πr = E η W 4πr r El campo radiado máimo es el campo radiado en la dirección ˆ. Y ese campo será el radiado por el dipolo H = λ/4 aislado por el factor de agrupación: E ma = E (θ = π/, φ = 0) = E λ/4 (θ = π/, φ = 0) F A(θ = π/, φ = 0) E ma = 60 I m 4 r Y la potencia radiada por la antena es la radiada por el dipolo (los dipolos imagen no cuentan): Finalmente: W r = R{ in } I (0) = 17 I m D = E ma 4πr 60 I m = r 4 4πr η W r 10π 17 Im = 15, 11 = 11, 8 db d) Si en lugar de tener un único dipolo frente al diedro tenemos una agrupación de 5 dipolos, los diagramas serán los mismos de antes pero multiplicados por el factor de agrupación de una agrupación lineal uniforme a lo largo del eje con α = 0 d = λ/. Por tanto se trata de una agrupación broadside cuo diagrama será omnidireccional en el plano perpendicular al eje de la agrupación (plano XY ). De modo que el diagrama plano H será el mismo que para un único dipolo frente al diedro (ver tabla 3). Dipolo frente a diedro Agrupación Total Tabla 3: Diagramas en el plano H (XY) En el plano E el diagrama será el obtenido en el apartado a) para un único dipolo frente al diedro multiplicado por el factor de agrupación. Como α = 0 d = λ/, el margen visible es Ψ [ π, π]. Por otro lado en una agrupación uniforme de 5 antenas en el factor de agrupación ha 4 ceros simples entre 0 π en las posiciones π/5, 4π/5, 6π/5 8π/5 (ver figura 3). Utiliando el método gráfico se puede obtener el diagrama de radiación de la agrupación en un plano que contenga al eje (ver figura 3). Finalmente en la tabla 4 se muestra el diagrama de radiación en el plano E.
F A(ψ ) π 4π π 5 5 0 π 5 4π 5 π ψ Figura 3: Determinación del diagrama de radiación de la agrupación en el eje mediante el método gráfico Dipolo frente a diedro Agrupación Total Tabla 4: Diagramas en el plano E (XZ) e) Para calcular la directividad seguiremos el mismo procedimiento que en el apartado c): D = E ma 4πr η W r En este caso el campo radiado máimo es el mismo que en el apartado c) pero multiplicado por el factor de agrupación. Como la agrupación es uniforme broadside, en la dirección perpendicular al eje el diagrama de la agrupación es máimo e igual al número de antenas. Por tanto: E ma = E (θ = π/, φ = 0) = E λ/4 (θ = π/, φ = 0) F A 1 (θ = π/, φ = 0) F A (θ = π/, φ = 0) E ma = 60 I m 4 5 r Y la potencia radiada es la radiada por los cinco dipolos (los dipolos imagen no cuentan): W r = 5 R{ in } I (0) = 5 17 I m Finalmente: D = E ma 4πr 60 I m = r 4 5 4πr η W r 10π 5 17 Im = 75, 55 = 18, 8 db