ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 PROCESOSENMATEMÁTICAS.UNAPERSPECTIVAONTOSEMIÓTICA 7 VicençFont,NormaRubio,ÁngelContreras UniversitatdeBarcelona PontificiaUniversidadCatólicadelPerú UniversidaddeJaén España Perú España vfont@ub.edu Campodeinvestigación: EnfoqueOntosemiótico Nivel: Superior Resumen. En este trabajo se presenta un desarrollo del Enfoque Ontosemiótico de la CognicióneInstrucciónMatemáticaafrontandolaproblemáticadelencajedelos procesos dentrodedichomarcoteórico.primeroseilustranconejemploslosprocesosasociadosalas configuracionesdeobjetosyalasfacetasdualesconsideradosenelenfoqueontosemiótico.a continuaciónseproponeconsideraralaresolucióndeproblemasoalamodelizacióncomo megaprocesosysereflexionasobrelarelaciónentreestosúltimosyelgrupodeprocesos consideradoinicialmente. Palabrasclave:procesos,enfoqueontosemiótico Introducción EndiversostrabajosGodinoycolaboradoreshandesarrolladoelenfoqueontosemiótico del conocimiento e instrucción matemática (Contreras, Font, Luque, Ordóñez, 2005; Godino, Contreras y Font, 2006; Godino, Batanero y Font, 2007) a partir de ahora utilizaremoselacrónimoeosparareferirnosadichoenfoque.engodino,bataneroy Font 8 (2006) se presenta una síntesis del desarrollo actual de dicho enfoque, en ella destacalaincorporacióndedeterminados procesosmatemáticos almarcoteórico. El objetivode este trabajo es explicar comose entienden en el EOS los 16 procesos directamente considerados en dicho enfoque. La estructura de este trabajo es la siguiente,enlasección2secomentamuybrevementeelmarcoteóricodeleos.enla sección3seilustranconejemploslos16procesosdirectamenteconsideradoseneleos, 7 EstetrabajosehaelaboradoenelmarcodelproyectoI+D:MECFEDER:SEJ200406637/EDUC. 8 Versiónampliadadelartículo:Godino,J.D.,Batanero,C.yFont,V.(2007).TheOntoSemioticApproachtoResearchin MathematicsEducation,ZentralblattfürDidaktikderMathematik.(enprensa) 706 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.
Categoría2.Elpensamientodelprofesor,susprácticasyelementosparasuformaciónprofesional mientrasqueenlasección4secomentaelencajeeneleosdeotrosprocesos.eltrabajo terminaconunasconsideracionesfinales. Marcoteórico Talcomosehadichoanteriormente,enestetrabajovamosatomarcomomarcode referenciateóricoelenfoqueontosemióticodelconocimientoeinstrucciónmatemática. EnGodino,BataneroyFont(2006) 9 sepresentaunasíntesisdelestadodedesarrollo actual de dicho enfoque,enelladestaca laincorporacióndedeterminados procesos matemáticos almarcoteórico. Enlafigura1sesintetizanunapartedelasdiferentesnocionesteóricaspropuestasporel EOS.Enesteenfoquelaactividadmatemáticaocupaellugarcentralysemodelizaen términosdesistemadeprácticasoperativasydiscursivas.deestasprácticasemergenlos distintos tipos de objetos matemáticos, que están relacionados entre sí formando configuracionesepistémicas(hexágono).porúltimo,losobjetosqueintervienenenlas prácticasmatemáticasylosemergentesdelasmismas,segúneljuegodelenguajeenque participan, pueden ser considerados desde las cinco facetas o dimensiones duales (decágono). Tanto las dualidades como los objetos se pueden analizar desde la perspectivaprocesoproducto,locualnosllevaalosprocesosqueserecogenenlafigura 1. 9 Paraunaprofundizaciónenlasíntesisdel marcoteóricoremitimosal lectora lalecturadirectadeldocumento (recuperableenhttp://www.ugr.es/~jgodino/indice_eos.htm) 707 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.
ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 Figura1.Modeloontosemióticodelosconocimientosmatemáticos EnelEOSnoseintentadar,deentrada,unadefiniciónde proceso yaquehaymuchas clasesdiferentesdeprocesos,sepuedehablardeprocesocomosecuenciadeprácticas,se puede hablar de procesos cognitivos, de procesos metacognitivos, de procesos de instrucción,deprocesosdecambio,deprocesossociales,etc.setratadeprocesosmuy diferentes en los que, quizás, la única característica común a muchos de ellos sea la consideracióndelfactor tiempo y,enmenormedida,elde secuenciaenlaquecada miembrotomaparteenladeterminacióndelsiguiente.portanto,eneleos,enlugarde dar una definición general de proceso, se ha optado por seleccionar una lista de los procesosqueseconsideranimportantesenlaactividadmatemática(losdelafigura1),sin pretenderincluirenellaatodoslosprocesosimplicadosenlaactividadmatemática,ni siquieraatodoslosmásimportantes,entreotrosmotivosporquealgunosdelosmás 708 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.
Categoría2.Elpensamientodelprofesor,susprácticasyelementosparasuformaciónprofesional importantes(porejemplo,elprocesodecomprensiónoeldemodelización)másque procesossonhiperomegaprocesos: Laresolucióndeproblemas,ydemaneramásgeneral,lamodelizacióndebeserconsideradamás biencomo hiperprocesos matemáticos,alimplicarconfiguracionescomplejasdelosprocesos matemáticos primarios (establecimiento de conexiones entre los objetos y generalización de técnicas, reglas y justificaciones). La realización efectiva de los procesos de estudio requiere, además,larealizacióndesecuenciasdeprácticasdeplanificación,controlyevaluación(supervisión) queconllevanprocesosmetacognitivos.(godino,bataneroyfont,2006,p.9) Procesosasociadosalasconfiguracionesyalasfacetasduales. En este apartado ilustraremos con ejemplos los 16 procesos asociados a las configuraciones de objetos y a las facetas duales. En una única secuencia diáctica se podrían hallar la mayoría de los 16 procesos, pero por cuestiones de espacio hemos optado por presentar diferentes actividades y priorizar en cada una de ella un solo proceso.portanto,sibienenunamismatareasepuedeinferirqueintervienenmuchos procesos y objetos, consideramos que según el contexto se puede priorizar un solo procesoyunsoloobjeto. Procesos Objetos PuentesdeKönigsberg Dos islas en el río Pregel que cruza Königsberg se unenentreellasyconlatierrafirmemediantesiete puentes. Esposibledarunpaseoempezandopor unacualquieradelascuatropartesdetierrafirme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al puntodepartida? Esquematización/ idealización Elproblemaanteriorse puedetrasladaralasiguiente pregunta: sepuederecorrer eldibujoterminandoenel puntodepartidasinrepetir laslíneas? Concepto (Grafo) 709 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.
ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 IdeadeGrafo Materialización Lenguaje ostensivo (represntación geométrica) x 2 +y 2 =r 2 Significación Circunferenciaconcentro(0, 0)yradior. Concepto (circumferencia ) Circunferenciaconcentro(0,0)yradior. Representación Lenguaje (representación gráficay algebraica) x 2 +y 2 =r 2 Definicióndelímite Encapsulación/ Reificación/ cosificación/ síntesis lim h 0 f(x+h)-f(x) h Concepto(de límite) lim h 0 Desencapsulación /Descomposición /Análisis f(x+h)-f(x) h Interpretamosellímitecomo elvaloralcualseaproximan lastasasmediasdevariación f(x+h)-f(x) cuando h h 0, y después focalizamos nuestra atención en esta clase. Concepto límite) (de 710 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.
Categoría2.Elpensamientodelprofesor,susprácticasyelementosparasuformaciónprofesional ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 711 1. Eneldesierto. Enlafiguradeabajo,semuestrapartedeun mapadeundesierto.haycincopozosenesta región.imagínatequeestásconturebañode ovejasenj,queestásmuysedientoysolollevas estamapacontigo. a) Acuáldelospozosiríasatomaragua? Noesdifícilresponder,porsupuestoiríasalpozo2 b)señalaotrosdoslugaresdesdeloscualesiríasal pozo2.escógelosunoalejadodelotro. c)ahora,esbozaunadivisióndeldesiertoencinco partes;cadapartecorrespondeaunodelospozos. Cadaparteeseldominioalrededordeunpozo particular.cualquierlugarenestedominiodebeestar máscercadeestepozoquedelosotrospozos. d) Quéesloquepuedeshacercuandoestás exactamentesobrelafronteradedosdiferentes dominios? e) Losdominiosdelospozos1y5soncontiguos?0: tratadeencontrarunpuntoelcualestéalamisma distanciadelospozos1y5peroamayordistanciade losdemáspozos. f)enlarealidadeldesiertoesmuchomásgrandede loqueesmostradoenestemapa.sinohayotros pozosentodoeldesiertoqueloscincopozos mostrados, losdominiosdelospozos3y4están cerca(juntos)? g)lafronteraentrelosdominiosdelospozos2y3 cortaalsegmentoderectaentrelospozos2y3 exactamenteenlamitad. Algosimilarseaplicaa otrasfronteras? h) Quéclasedelíneassonlasfronteras? Rectaso curvas? Personalización Propiedad (principio del Vecino más próximo) Enesteejerciciosehadivididounáreadeacuerdoal principiodelvecinomáspróximo( ) Institucionalizació n Propiedad (principio del Vecino más próximo)
ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 En IR n la distancia entre los puntos A 1 y A 2, cuyas coordenadasson (x 1,x 2,...,x n)y(y 1,y 2...y n),respectivamente,es d(a 1, A 2)= 2 x y x y 2 x 2 n y 1 1 2 2 n Particularización/ Ejemplificación En IR, la distancia entre los puntos A 1 y A 2, cuyas coordenadas son x e y, respectivamente,esd(a 1,A 2) = x y 2 En IR 2 la distancia entre los puntos A 1 y A 2, cuyas coordenadasson(x 1,x 2)y(y 1, y 2),respectivamente,es d(a 1,A 2)= Concepto (distanciaenir) 2 x y x 2 1 1 2 y2 En IR, la distancia entre los puntos A 1 y A 2, cuyas coordenadassonxey,respectivamente,esd(a 1,A 2) = x y 2 En IR 2 la distancia entre los puntos A 1 y A 2, cuyas coordenadasson(x 1,x 2)y(y 1,y 2),respectivamente, es 2 d(a 1,A 2)= 2 x 1 y1 x2 y2 Generalización En IR n la distancia entre los puntos A 1 y A 2, cuyas coordenadasson (x 1,x 2,...,x n)y(y 1,y 2...y n), respectivamente,es d(a 1,A 2)= 2 x y x 2 1 1 2 y2 Concepto (distancia IR n ) en Esciertoquesix<y,entoncesx 2 <y 2?Justificatu respuesta. Argumentación Noescierto,bastatomar x= 5ey= 2 Concepto (Desigualdad) Calculaladerivadadelafunción: f( x) 2 x 3x 2 3x 4 ( )Enlosproblemasanterioreshasencontradouna relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulorectángulo. Cuál? Algoritmización Enunciación (2x 3) (3x f( x) (3 Lahipotenusaalcuadradoes igual a la suma de los cuadradosdeloscatetos Procedimiento (regla de la derivación de uncociente) Propiedad (teorema) Lamediatrizdeunsegmentoeslaperpendicualrque pasaporelpuntomediodedichosegmento. Halla unadefiniciónequivalente? Definición Todoslospuntosqueestána igual distancia de los extremosdelsegmento Concepto (mediatriz) Problematización Maríahapodidoahorraren los meses de abril, mayo y junio646;1,510y1407soles, respectivamente. Cuántoha ahorrado en total en estos tresmeses? (solución:3563) Concepto (suma) 712 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.
Categoría2.Elpensamientodelprofesor,susprácticasyelementosparasuformaciónprofesional Cuestionario En el aula de informática has observado que la funciónf(x)=e x cumplequetodassussubtangentes tienen una longitud igual a 1. Utilizando esta propiedad: a)calculaf (0),f (1)yf (2) b)calculaf (a) c)demuestraquelafunciónderivadadelafunción f(x)=e x eslafunciónf (x)=e x. Comunicación (Entiendey expresa) Respuesta de Víctor al apartadoc Lafunciónderivadadef(x)= e x es f (x) = e x porque la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangenteenestepunto. La pendiente se consigue dividiendo f( x2 ) f( x1),enesta x2 x1 funciónx 2 x 1siempreda1,y aldividirelaumentovertical, que es e x por el aumento horizontalquees1,nosdae x Tabla1:Ejemplosdelos16procesosdirectamenteconsideradosenelEOS Concepto emergente (derivadadela funciónf(x)=e x ) Otrosprocesos En el EOS se consideran megaprocesos (por ejemplo resolución de problemas o modelización)yprocesos.enelcasodeestosúltimossedistingueentrelos16delafigura 1yotrosprocesos(porejemplo,losprocesosmetafóricos). Porcuestionesdeespacioenestetrabajonohemosprofundizadoenlos16procesosdela figura 1. En Font y Contreras (2008) se profundiza en 4 de ellos: los procesos de materializaciónidealizaciónylosdeparticularizacióngeneralización. EnelEOS,tantoelestudiodelarelaciónentrealgunosdelos16procesosdelafigura1, como el estudio de otros procesos no considerados directamente en dicho marco, consisteessituarelprocesoquenosinteresaenelcentrodelafigura1pararelacionarlo 713 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.
ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 con los procesos de comunicación, enunciación, definición, argumentación y algoritmizaciónylosprocesosrelacionadosconlasdiferentesmiradasqueposibilitanlas facetasduales(institucionalización/personalización;generalización/particularización; descomposición / reificación; materialización / idealización; representación / significación).enfont(2007)seaplicadichatécnicaalosprocesosmetafóricos. Enelcasodemegaprocesoscomosonlaresolucióndeproblemasolamodelización tambiénsedescomponenenunconjuntodeprocesosmáselementalesyseintenta contestar a preguntas como las siguientes: cuáles son estos procesos?, cómo se relacionanentreellos?, cómosedesarrollanenelaula?,etc. Consideracionfinal Eltrabajoquesepresentapretendeserunaporteteóricoquehayqueenmarcarenla perspectiva del desarrollo del EOS. También queremos destacar que las diferentes miradasqueposibilitalafigura1sonunabuenamaneradeanalizarlaproblemáticadela relaciónentreprocesosymegaprocesos. Referenciasbibliográficas ContrerasA.,Font,V.,Luque,L.yOrdóñez,L.(2005).Algunasaplicacionesdelateoríade las funciones semióticas a la didáctica del análisis. Recherches en Didactique des Mathématiques,25(2):151186. Font, V. (2007). Una perspectiva ontosemiótica sobre cuatro instrumentos de conocimiento que comparten un aire de familia: particulargeneral, representación, metáforaycontexto.educaciónmatemática,19(2),95128. Font,V.yContrerasA.(2008)Theproblemoftheparticularanditsrelationtothegeneral inmathematicseducation.educationalstudiesinmathematics(enprensa) Godino,J.D.,Batanero,C.yFont,V.(2007).TheOntoSemioticApproachtoResearchin 714 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.
Categoría2.Elpensamientodelprofesor,susprácticasyelementosparasuformaciónprofesional MathematicsEducation,ZentralblattfürDidaktikderMathematik,39(12),127135. Godino,J.D.,Batanero,C.yFont,V.(2006).Unenfoqueontosemióticodelconocimientoy la instrucción matemática. Disponible en internet: url: http://www.ugr.es/local/jgodino/indice_eos.htm Godino,J.D.,Contreras,A.yFont,V.(2006).Análisisdeprocesosdeinstrucciónbasadoen elenfoqueontológicosemióticodelacogniciónmatemática,recherchesendidactique desmathématiques,26(1),3988. 715 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.