Control tolerante a fallas para un evaporador de múltiple efecto en la industria azucarera

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1 Control tolerante a fallas para un evaporador de múltiple efecto en la industria azucarera María E Guerrero-Sánchez, David Juárez-Romero, Carlos D García-Beltrán, Carlos M Astorga-Zaragoza, Omar Hernández-González CENIDET Interior Internado Palmira s/n, Col Palmira, Cuernavaca Mor cgarcia@cenidetedumx Teléfono: (52) Resumen En este trabajo se presenta un Control Tolerante a Fallas (FTC) para un evaporador de múltiple efecto en la industria azucarera basado en Control Predictivo Basado en modelo (MBPC) Se usa un modelo matemático del evaporador de múltiple efecto para sintetizar el controlador Se proponen ciertas adecuaciones al algoritmo del MBPC para realizar la acomodación de fallas Se presentan resultados de simulación del controlador ante cierto tipo de fallas para demostrar el funcionamiento adecuado del mismo Palabras clave: control tolerante a fallas, control predictivo basado en modelo, evaporador de múltiple efecto, restricciones, industria azucarera I INTRODUCCIÓN Los procesos industriales gobernados mediante controladores automáticos pueden presentar fallas Una forma de aumentar su fiabilidad consiste en dotarlos de mecanismos de tolerancia a fallas El control tolerante trata del diseño e implementación de sistemas de control de procesos industriales proclives a que se produzcan funcionamiento incorrecto ya sea en sensores, actuadores, controladores, o componentes del procesos durante su operación En un entorno industrial ésta es una situación realista ya que los procesos industriales crecen en complejidad, aumentan el número de variables y parámetros que se miden y de actuadores que se accionan automáticamente en tiempo real y en consecuencia aumenta el grado de probabilidad de aparición de fallas En este trabajo se propone un control tolerante a fallas basado en MBPC aplicado a un evaporador de cinco efectos Se tratan fallas que tienen un efecto de tipo saturación, por ejemplo, válvulas atascadas o parcialmente bloqueadas y fallas internas como fuga de vapor y de producto entre los efectos Se eligió este tipo de proceso porque es ampliamente utilizado en la industria de procesos sobretodo en la industria azucarera Esto último se debe a que la economía de la industria azucarera depende fuertemente de los evaporadores de múltiple efecto porque disminuyen el consumo de energía de manera proporcional al número de efectos El evaporador de múltiple efecto que se estudia en este artículo se muestra en la Figura (1) Consiste en un evaporador de cinco efectos utilizado para reducir el contenido de agua en el jugo de caña (producto antes de la evaporación) extraído de la caña de azúcar el cual tiene una concentración aproximada del 15 % de sacaroza El primer efecto se alimenta con jugo de caña de azúcar con un caudal másico F 0, una concentración de soluto C 0 y temperatura T 0 La solución se concentra en el primer efecto por acción de un caudal de vapor S, el cual genera un caudal de vapor O 1, y un caudal de fondos de soluto concentrado C 1 La corriente de fondos F 1 se alimenta al cambiador de calor del segundo efecto al igual que el caudal de vapor O 1, el producto de salida de este efecto se alimenta al tercer efecto, el mismo proceso se repite en los otros efectos La corriente de salida F 5, que es el producto deseado, abandona el quinto efecto, con una concentración de soluto C 5 El caudal de vapor producido en el quinto efecto O 5 se condensa La estructura de este trabajo está compuesta por la Sección 2 que introduce algunos conceptos básicos concernientes al modelado del evaporador La Sección 3 se dedica al diseño del MBPC como control tolerante a fallas y a la aplicación de éste en el evaporador, también describe la manera de atacar las fallas La Sección 4 presenta los resultados con fallas en actuadores y fallas internas Finalmente la Sección 5 presenta las conclusiones II MODELO DEL EVAPORADOR Considérese el evaporador de cinco efectos mostrado en la Figura (1) Un modelo simplificado para dicho evaporador fue desarrollado en (Lissane y Giri, 1998) y sirve de base para el presente trabajo El modelo matemático supone las siguientes consideraciones: No existe transferencia de calor con el medio ambiente

2 Del modelo anterior se consideran como variables de estado: Figura 1 Evaporador de cinco efectos El líquido del proceso se encuentra perfectamente mezclado La dinámica de los balances de energía es muy rápida Se desprecia la resistencia calorífica del metal El vapor está bajo condiciones de saturación La nomenclatura asociada con el modelo se muestra en la Tabla 1 C i h i F 0 C 0 F i O i ρ i A i K i S k i TABLA I Nomenclatura Concentración en cada uno de los efectos Nivel en cada uno de los efectos Flujo de producto de alimentación Concentración de entrada Flujo de producto en cada uno de los efectos Flujo de vapor en cada uno de los efectos Densidad en cada uno de los efectos Área en cada uno de los efectos Constante de la válvula Flujo de vapor de alimentación Ganancia estática Realizando un balance de masa y de composición, se obtienen las siguientes Ecuaciones dadas en (1) para las concentraciones y para los niveles de cada uno de los efectos del evaporador en un intervalo de tiempo En las siguientes ecuaciones i = 1 para el primer efecto, i = 2 para el segundo efecto, i = 3 para el tercer efecto, i = 4 para el cuarto efecto e i = 5 para el quinto efecto dc i dt = F i 1C i 1 (F i 1 O i ) C i h i ρ i A i dh i dt = F (1) i 1 F i O i ρ i A i donde F i y O i son descritas por las ecuaciones dadas en (2) F i = K i hi ρ i O 1 = k 1 S O i = k i (O i 1 ) para i = 2,, 5 (2) x = [C 1, C 2, C 3, C 4, C 5, h 1, h 2, h 3, h 4, h 5 ] T (3) Las señales de control son: u = [F 0, S, K 1, K 2, K 3, K 4 ] T (4) Las entradas de perturbación son: y como señales de salida se toman: v = [C 0, k 0 ] T (5) y = [C 1, C 2, C 3, C 4, C 5, h 1, h 2, h 3, h 4, h 5 ] T (6) Por lo que se tiene un sistema no lineal de la forma: { x = f (x, u, v) y = g (x) donde f y g son campos vectoriales Se linealiza el modelo alrededor del punto (x, u, y, v) = (x, u, y, v ), que representan el punto de equilibrio del sistema Y con ello se llega a un sistema lineal de la forma: { x = Ac x + B c u + E c v (8) y = C c x + D c u + F c v donde las matrices A c, B c, C c, D c, E c y F c se obtienen realizando el cálculo de las matrices Jacobianas del sistema dado por la forma (7) III III-A MBPC COMO CONTROL TOLERANTE A FALLAS Diseño del MBPC Para llevar acabo el MBPC, se hace uso de un modelo para predecir las salidas futuras del proceso, basándose en las futuras señales de control propuestas Estas señales son calculadas por el optimizador teniendo en cuenta la función objetivo, así como las restricciones (Camacho y Bordons, 2002) En términos matemáticos la función objetivo se expresa de la siguiente manera: J = H p (7) [w (k + i k) ŷ (k + i k)] 2 + i=h 1 (9) H c λ (i) [ u (k + i 1 k)] 2 i=1 Los parámetros H 1 y H p son los horizontes mínimo y máximo de predicción, éstos marcan los límites de los instantes en que se desea que la salida siga a la referencia H c es el horizonte de control El coeficiente λ (i) es una secuencia que pondera el comportamiento futuro La trayectoria de referencia w (k + i k), es la respuesta deseada en lazo cerrado del sistema y se considera la

3 sintonización del controlador Matemáticamente se expresa de la siguiente manera: w (k + i k) = r (k + i k) α i [r (k) y (k)] i = 1H p (10) α es un parámetro comprendido entre 0 y 1 (mientras más próximo a 1 más suave será la aproximación) que constituye un valor ajustable que influirá en la respuesta dinámica del sistema y (k) es la salida actual del proceso y r (k) es la señal de salida deseada La formulación del MBPC en este artículo se elabora en base al modelo linealizado representado en espacio de estados Se parte del sistema discreto el cual tiene la forma: { x (k + 1) = Ax (k) + Bu (k) y (k) = Cx (k) + Du (k) (11) Se consideran todos los estados medibles para predecir la evolución de los estados en los siguientes instantes de muestreo H p Esto se lleva a cabo iterando la ecuación de estado descrita en (11) (Maciejowski, 2002)) Tomando en cuenta que los incrementos en la señal de control están dados por: û (k + i k ) = û (k + i k ) û (k + i 1 k ) (12) es posible predecir la evolución de la señal de control en los siguientes instantes de muestreo k + H c 1, ya que después de éste permanece constante Considerando éstas evoluciones, la salida predicha se puede expresa de la siguiente manera: de donde β = ŷ p = F p + G pc u c (13) ŷ p = ŷ p (k + 1 k ) ŷ p (k + 2 k ) ŷ p (k + H p k ) F p = βx (k) + µu (k 1) CA CA H c CA Hc+1 CA H p µ = CB Hc 1 Hc i=0 CA i B i=0 CAi B Hp 1 i=0 CA i B G pc = CB 0 CAB + CB 0 Hc 1 i=0 CA i B CB Hc i=0 CAi B CAB + CB Hp 1 i=0 CA i Hp H B c i=0 CA i B u c = û (k k ) û (k + H c 1 k ) Utilizando esta terminología la función objetivo descrita por (9) se puede escribir de la siguiente manera: J = (G pc u c + F p w) T (G pc u c + F p w) + u T c λ u c (14) Si la función objetivo es cuadrática, el mínimo se puede obtener como una función explícita de las entradas y salidas pasadas y de la trayectoria de referencia Esto es: u c = ( G T pcg pc + λi ) 1 G T pc (w F p ) (15) Sin embargo, cuando existen restricciones de desigualdad la minimización de la función objetivo no es directa, ya que la solución se convierte en un problema de optimización de mínimos cuadrados con restricciones lineales y ello requiere la solución de un problema de programación cuadrática Esto es: donde: R = 1 mín J ( u) = mín u u 2 ut H u + f T u + b sujeto a Ru c I Hc H c I Hc H c K K G pc G pc H = 2(G T pcg pc + λi) ) T f = (2 (F p w) T G pc b = (F p w) T (F p w) c = L m u máx L m u mín L m U máx L m u (k 1) L m U mín + L m u (k 1) L n y máx F p L n y mín F p (16) En este trabajo, el problema de optimización con restricciones lineales fue resuelto mediante la función quadprog del Toolbox de Optimización de Matlab, la cual es adecuada para resolver (16)

4 Las restricciones en los estados y en las salidas son las siguientes: 10 y 1 24 III-B 24 y y y y ,2 y 6 4 1,6 y 7 3,5 1,3 y 8 1,7 0,7 y 9 1,5 0,5 y 10 1,2 10, 000 u 1 32, 500 4, 500 u 2 18, 000 2,5 u 3 7,2 2,5 u 4 7,4 1,7 u 5 5,7 1,5 u 6 4,3 Tratamiento de fallas en MBPC Si en el nivel de supervisión una falla se detecta, las restricciones de desigualdades incluidas en el problema de optimización pueden cambiarse de modo que el MBPC se adapta a las fallas del sistema apreciar estas fallas se realizó una linealización del proceso en cada período de muestreo conocida como linealización en línea IV RESULTADOS: En esta sección se presentan algunos de los resultados obtenidos del Control Tolerante a Fallas ante el efecto de fallas causadas por atasco y saturación en actuadores, así como fallas internas IV-A Resultados del MBPC en modo normal En las siguientes figuras se muestran los resultados obtenidos al aplicar el MBPC sin fallas al evaporador de cinco efectos En la figura (2) se muestran las señales de control cuando hay cambios de referencias en la salida C 5 en el minuto 1200 y en la salida h 5 en el minuto 400 Las fallas propuestas para probar si el MBPC desarrollado actúa como un control tolerante a fallas, son las siguientes: Atasco en cualquiera de los actuadores que controlan las siguientes variables F 0, S, F 1, F 2, F 3 o F 4 Saturación en cualquiera de los actuadores que controlan las siguientes variables F 0, S, F 1, F 2, F 3 o F 4 Fuga del flujo de vapor O 3 en el tercer efecto Fuga del flujo producto F 4 en el cuarto efecto Cabe mencionar que en cualquiera de los casos no se consideran fallas simultáneas Las fallas ocasionadas por los atascos en los actuadores F 0, S, F 1, F 2, F 3 y F 4 se acomodan cambiando las restricciones a ( u 1 = 0 ), ( u 2 = 0 ), ( u 3 = 0 ), ( u 4 = 0 ), ( u 5 = 0 ) y ( u 6 = 0 )respectivamente Las fallas ocasionadas por la saturación en las válvulas de F 0, S, F 1, F 2, F 3 y F 4 se acomodan cambiando las restricciones de u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 y u 6, respectivamente a valores que representen las saturaciones Las fallas ocasionadas por fuga de vapor en el tanque del tercer efecto y por fuga de producto en el tercer tanque, se representan multiplicando O 3 por un factor que represente la fuga del vapor y multiplicando F 3 por un factor que represente la fuga del producto, respectivamente Para poder Figura 2 Señales de control del MBPC sin falla En estas gráficas se observa que cuando hay cambios de referencias en cualquiera de las variables controladas, también hay cambios en las señales de control En la figura (3) se muestran las gráficas de la salida controlada C 5 y la salida controlada h 5, cuando hay cambios de referencias en ellas En estas gráficas es fácil apreciar el buen funcionamiento del MBPC ante cambios de referencia También es importante mencionar que se logra un control rápido

5 del 80 % En la figura (5) se muestran las gráficas de las salidas controladas C 5 y h 5, en ellas se aprecia que aún en presencia de falla, el control de C 5 funciona correctamente Aunque también se aprecia que la salida controlada h 5 no sigue a la perfección a la referencia, más sin embargo llega al nivel requerido Figura 3 Salidas controladas del MBPC sin falla IV-B Resultados del MBPC bajo condiciones de fallas En las siguientes figuras se muestran los resultados obtenidos de aplicar el MBPC al evaporador de cinco efectos cuando hay presencia de fallas IV-B1 Resultados del MBPC ante una falla causada por un atasco del actuador del primer efecto: En la figura (4) se presentan las gráficas de las señales de control, cuando hay una falla que consiste en un atasco del actuador que suministra el flujo del primer efecto por medio de K 1 En estas gráficas se observa que la señal de Figura 5 Salidas controladas ante un atasco del actuador del 1 er efecto Para fines del proceso estos resultados son tomados como correctos, ya que lo principal que se busca en este proceso es que el producto de salida tenga una determinada concentración, lo cual se cumple para este controlador IV-B2 Resultados del MBPC ante una falla causada por una saturación del actuador de F 0 : En la figura (6) se presentan las gráficas de las señales de control, cuando hay una falla que consiste en una saturación del actuador de F 0, es decir hay un cambio de restricciones de 10, 000 u 1 32, 500 a 15, 000 u 1 29, 000 Figura 4 Señales de control ante un atasco del actuador del 1 er efecto control K 1 es constante debido a la falla ocurrida en este actuador, lo que ocasiona ( u 3 = 0 ) En lo que respecta a las demás señales de control éstas varían para compensar el atasco en dicho actuador, aunque esto no sucede para las señales de control en K 2 y K 3, se logra el principal objetivo del controlador, esto es, tener una concentración Figura 6 Señales de control ante una saturación del actuador F 0

6 En estas gráficas se observa que la señal de control F 0 está saturada debido a la falla ocurrida en su actuador En lo que respecta a las demás señales de control éstas varían para compensar la saturación en el actuador F 0 En la figura (7) se presentan las gráficas de las salidas controladas C 5 y h 5, en ellas se aprecia que aún en presencia de falla, el control funciona correctamente En la figura (9) se presentan las gráficas de las salidas controladas cuando hay presencia de fuga de vapor en el tercer efecto En estas gráficas se aprecia como el MBPC actúa como un control tolerante a fallas, ya que en el momento en que la falla aparece, las salidas cambian sus valores, pero rápidamente vuelven a su valor en el que se encontraban en condiciones normales Figura 9 Salidas controladas ante una fuga de vapor en el 3 er efecto Figura 7 Salidas controladas ante una saturación del actuador F 0 IV-B3 Resultados del MBPC ante una falla causada por la fuga de vapor en el tercer efecto: En la figura (8) se presentan las gráficas de las señales de control, cuando hay una falla que consiste en la fuga de vapor O 3 del tercer efecto en el minuto 1600 Dicha falla consistió en un decremento del 5 % de su valor inicial En estas gráficas se observa que en el momento en que sucede la fallas éstas varían para compensar el efecto de dicha falla V CONCLUSIONES Se trabajó con la técnica del MBPC multivariable con el enfoque de Control Tolerante a Fallas aplicado a un evaporador de cinco efectos Se realizaron pruebas de cambio de referencia de este controlador, además de pruebas ante fallas de tipo saturación y atasco en actuadores, así como fallas de proceso (fuga de vapor y producto en los efectos); los resultados fueron satisfactorios ya que el MBPC cumple con el seguimiento a trayectoria y además muestra un comportamiento aceptable ante la presencia de diferentes tipos de fallas El comportamiento aceptable del MBPC ante la presencia de fallas se debe a que el control predictivo ofrece bastantes recursos para tratar todo tipo de fallas, pero además se debe también a los beneficios que proporciona un control multivariable Figura 8 Señales de control ante una fuga de vapor en el 3 er efecto REFERENCIAS Camacho, E y C Bordons (2002) Model Predictive Control Springer- Verlag Lissane, S, F Giri y H Unbehauen (1998) The development of controllers for a multiple-effect evaporator in sugar industry International Journal of Control, vol 73, no 9 Maciejowski, J M (2000) Fault-Tolerant aspects of MPC IEE, Pag 1/1-1/4 Maciejowski, J M (2002) Predictive Control with Constrains Prentice Hall Maciejowski, J M y C Jones (2003) MPC fault-tolerant flight control case study: flight 1862 Control Group, Department of Engineering University of Cambridge Nielsen, K M y T S Pedersen (1997) Simulation and control of a multiple effect evaporator IEEE UKACC International Conference on Control, vol 2, pag Pérez, M, T A Berná y J Gil (2004) Modelado, Análisis y Control de un evaporador de doble efecto XXV Jornadas de Automática, Ciudad Real