LOS MATEATLÉTICOS Pseudónimo de integrantes Folio de Inscripción

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1 CARÁTULA DE TRABAJO LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DE UN TRIÁNGULO ES 180º? Título del trabajo LOS MATEATLÉTICOS Pseudónimo de integrantes MATEMÁTICAS ÁREA LOCAL CATEGORÍA DESARROLLO TECNOLÓGICO MODALIDAD Folio de Inscripción Dudas o sugerencias sobre este sistema: feriadelasciencias@cch.unam.mx 2018 Escuela Nacional Colegio de Ciencias y Humanidades, Hecho en México, Comité Organizador

2 No hay rama de la matemática, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real. Nikolai Lobachevski Resumen Desde la primaria cuando empezamos a ver las propiedades de los triángulos hemos escuchado a nuestros profesores de matemáticas que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º, qué tan cierto es esto? Para contestar esta pregunta vamos a investigar un poco sobre las diferentes geometrías que existen: Euclidiana y no Euclidianas. Presentaremos un panorama general de cada una y cómo es que la suma de los ángulos internos de un triángulo puede ser menor, igual o mayor a 180º dependiendo de la geometría en que se esté trabajando, utilizando GeoGebra. Introducción El quinto postulado de Euclides ha sido una de las proposiciones más controvertidas de la historia de la Geometría, objeto de polémicas durante más de dos mil años. Euclides (330 a.c a.c.) en Los Elementos 1 construyó la geometría partiendo de 23 axiomas y cinco postulados, a partir de los cuales demostró todos los teoremas. Un axioma no necesita demostración, ya que se trata de una proposición clara y evidente. En cambio, un postulado es una 1 Los Elementos es la obra escrita por Euclides, la cual está compuesta por trece libros y es considerada como la obra más famosa de la historia de las matemáticas. De esta obra se han hecho tantas ediciones, que sólo la aventaja la Biblia. 1

3 proposición que, no siendo tan evidente como un axioma, se admite como verdadera sin demostrarla. Los postulados de Euclides dicen: 1. Por dos puntos distintos pasa una única recta. 2. Un segmento rectilíneo puede ser siempre prolongado. 3. Hay una única circunferencia con un centro y un radio dados. 4. Todos los ángulos rectos son iguales. 5. Si una recta, al incidir sobre dos rectas, hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontraran en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos. Desde su mismo nacimiento, el quinto postulado planteó un interrogante, era realmente un postulado independiente o era un teorema que podía ser demostrado a partir de los cuatro postulados anteriores? La versión más conocida del quinto postulado (también conocido como El Postulado de las Paralelas) es la siguiente: "Por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella". Esta formulación se debe al matemático griego Proclo, sin embargo, también se le conoce como el Axioma de Playfair, en honor a John Playfair ( ). El primer matemático que se dio cuenta de que el quinto postulado era independiente de los otros cuatro y que de su negación podía surgir una nueva geometría fue Carl Friedrich Gauss ( ), pero no llegó nunca a publicar sus resultados por miedo a no ser bien comprendido. Durante veinte siglos se trató de demostrar el quinto postulado, es decir, convertirlo en teorema. Finalmente se pensó que si de verdad era un postulado, el hecho de negarlo, aceptando los demás, debía conducir a contradicción alguna. 2

4 De esta manera procedieron Lobachevski ( ) y Riemann ( ). Sin embargo, con sus trabajos dieron origen a las Geometrías no Euclidianas. La Geometría de Lobachevski (Geometría Hiperbólica) sustituye el quinto postulado por el que dice: "Por un punto situado fuera de una recta pasan dos o más paralelas a ella". La Geometría de Riemann (Geometría Elíptica o Esférica) la sustituye por el siguiente: "Por un punto situado fuera de una recta no pasa ninguna paralela a ella" Al crearse estas nuevas geometrías, se descubrió también que la suma de los ángulos internos de un triángulo no siempre era igual a 180º. Para poder introducir los distintos modelos de geometrías no euclidianas, debemos antes que nada reconsiderar el concepto de recta. Cuando trabajamos en la Geometría Euclidiana, notamos que un segmento de recta tiene una propiedad muy importante: es aquella entre todas las curvas que unen dos puntos que tiene longitud mínima (ver Figura 1). Figura 1. El segmento de recta entre A y B. Sin embargo, la concepción que tenemos de la recta en la geometría plana o euclidiana, no será la misma cuando trabajemos con los modelos de las geometrías no euclidianas. Esto no es tan descabellado. Veamos un ejemplo para aclararlo. 3

5 Imaginemos que queremos medir la distancia que hay entre dos postes de luz que hay en nuestra calle, es claro que mediremos en línea recta. Pero ahora supongamos que debemos calcular la distancia real que hay entre una casa ubicada en el polo sur y otra en el polo norte, es decir, la distancia que recorreríamos yendo sobre la superficie de la Tierra. En ese caso, si consideramos un segmento que una las dos casas nos daría el diámetro de la Tierra. Sin embargo, la distancia mínima que deberíamos recorrer si no nos despegamos de la superficie terrestre sería la longitud de una semicircunferencia de radio igual al de la Tierra. En este caso la recta sería una circunferencia que pasa por los dos polos y el segmento un meridiano. Problema Es muy común escuchar a profesores de matemáticas decir que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º como si fuera una verdad absoluta. Sin embargo, en una de las clases nuestro profesor nos contó que esta afirmación depende de la geometría en que se esté trabajando. De ahí nos surgieron las preguntas, cuántas geometrías hay?, Qué se estudia en esas geometrías? en qué se diferencian de la Geometría Euclidiana? y Cuál es la más útil? Para responder estas preguntas, realizamos una investigación sobre lo que nuestro profesor nos había contado y encontramos bastante información al respecto. Algunos temas fueron muy complicados, de hecho, algunas cosas no las comprendimos a la primera y tuvimos que ir a asesorías, porque algunos modelos eran muy abstractos. Objetivo El objetivo de este trabajo es presentar información sobre las geometrías no euclidianas, cómo surgieron y qué diferencias tienen con la geometría euclidiana, lo que nos permitirá mostrar que la suma de los ángulos internos de un triángulo puede ser menor, igual o mayor a 180º. 4

6 Para lograr este objetivo, buscamos información en libros, artículos y páginas web, que contenían información sobre las diferentes geometrías que hay y usando Applets hechos en GeoGebra para mostrar que dependiendo de la geometría es la suma de los ángulos internos de un triángulo. Hipótesis A pesar de la dificultad que conlleva entender los modelos de las geometrías no euclidianas, se puede mostrar usando Applets de GeoGebra que la suma de los ángulos internos de un triángulo puede ser menor, igual o mayor a 180º. Marco teórico La palabra geometría tiene dos raíces griegas: geo = tierra y metrón = medida; es decir, "medida de la tierra". Al igual que otras áreas del conocimiento, es difícil precisar con exactitud cuándo y cómo nacen los primeros conceptos de la geometría, sin embargo, es razonable pensar que los primeros orígenes de la geometría se encuentran en los mismos orígenes de la humanidad, seguramente el hombre primitivo clasificaba los objetos que le rodeaban según su forma. En la abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento a la geometría. En la antigüedad, la geometría era una colección de reglas de uso común para medir y construir casas, pirámides y ciudades. No fue hasta el año 300 a.c. que Euclides de Alejandría, en Los Elementos, ordenó y escribió todo ese saber, imprimiéndole el sello de rigor lógico que caracteriza y distingue a las matemáticas. Se dio cuenta de que todo razonamiento riguroso (o demostración) debe basarse en ciertos principios previamente establecidos ya sea, a su vez, por otra demostración o bien por convención. Pero a final de cuentas, este método conduce a la necesidad ineludible de convenir en que ciertos principios básicos (postulados o axiomas) son válidos sin necesidad de demostrarlos, que están dados y son incontrovertibles para poder construir sobre ellos el resto de la teoría. 5

7 Lo que hoy se conoce como Geometría Euclidiana, y hasta hace dos siglos simplemente como Geometría, está basada en los cinco postulados de Euclides. Geometría Euclidiana Es la geometría que todos conocemos, la que hemos estudiado desde la primaria. Es la que describe a la percepción clásica del espacio físico en el que vivimos. No es una necesidad lógica sino una propiedad aparentemente observada del mundo físico. En esta geometría se verifican los cinco postulados de Euclides. El modelo más simple para trabajar la Geometría Euclidiana es el plano. De hecho, Euclides en su libro Los Elementos, define al punto, recta y el plano como sigue: Un punto es lo que no tiene partes. Una línea recta es aquella línea que tiene todos sus puntos en la misma dirección. Una superficie es aquello que tiene solamente ancho y largo, no tiene espesor. Una superficie plana (plano) es aquella que contiene una recta en cualquier posición. Figura 2. Punto, Recta y Plano en la Geometría Euclidiana. Geometría Hiperbólica Como lo hemos mencionado, al surgir la pregunta de que si el quinto postulado era realmente un postulado independiente o era un teorema que podía ser 6

8 demostrado a partir de los cuatro postulados anteriores. Nikolái Lobachevski ( ) partió de la hipótesis de que el quinto postulado no podía ser demostrado y construyó una nueva geometría a partir de un postulado diferente en el que se afirmaba que dada una recta r y un punto P exterior a ella, se pueden trazar al menos dos paralelas a r que pasen por el punto P. Trabajando sobre esta hipótesis Lobachevski estableció una Trigonometría no Euclidiana con resolución de triángulos y cálculo de áreas y volúmenes. En 1868 el matemático italiano Eugenio Beltrami ( ) construyó un modelo físico, la pseudoesfera, para albergar, aunque fuera de forma local, la Geometría de Lobachevski. Posteriormente Félix Klein ( ) la generalizó a todo el espacio. La conclusión final a la que se llegó es que la Geometría Hiperbólica es tan consistente como la Geometría Euclidiana. Así como el plano euclídeo se representa con los puntos y rectas usuales, para representar al plano hiperbólico existen diferentes modelos: el modelo de Klein, el disco de Poincaré y el semiplano superior de Poincaré. Modelo de Klein El modelo de Klein, también conocido como disco proyectivo o modelo de Klein- Beltrami, representa el plano como el interior de un circulo, y las rectas como las cuerdas del círculo. Figura 3. Modelo de Klein-Beltrami. 7

9 En la Figura 3 las rectas! y! son secantes, mientras que las rectas! y! son asintóticamente paralelas, intersecan pero en la frontera del disco la cual no está contenida en el modelo. Y las rectas! y! son divergentemente paralelas, no tienen punto alguno en común. Disco de Poincaré En una memoria de 1887, el matemático Francés Henri Poincaré ( ) describió un modelo concreto de una Geometría Hiperbólica en dos dimensiones; este modelo es conocido ahora como el Disco de Poincaré. El Disco de Poincaré representa al plano como el interior de un círculo, pero las rectas están representadas por arcos de circunferencia ortogonales a la circunferencia borde, y los diámetros de dicha circunferencia. Figura 4. Disco de Poincaré. Las líneas r y s don dos rectas paralelas. De donde viene este modelo? Consideremos un hiperboloide equilátero de dos hojas cuya intersección con el plano! = 0 es vacía. Si tomamos la proyección estereográfica de la hoja superior del hiperboloide desde el vértice de la hoja inferior!, sobre el plano! = 0, obtenemos el modelo del disco de Poincaré; es decir, consiste en un disco abierto donde los puntos de la hoja superior del hiperboloide son los puntos del disco y las "rectas", curvas generadas al intersecar la hoja superior del hiperboloide con planos que pasan por el origen O, se 8

10 proyectan en arcos de circunferencia que intersecan ortogonalmente con la frontera del disco en su interior. Figura 5. Proyección estereográfica del hiperboloide. Para mostrar que la suma de los ángulos internos de un triángulo es menor a 180º en la geometría hiperbólica, utilizaremos este modelo. Semiplano de Poincaré El semiplano de Poincaré, como da a entender el nombre, toma la parte de arriba del plano cartesiano sin tomar al eje!. Ahora las rectas las definiremos como los semicírculos dentro del plano de tal forma que el centro del círculo esté sobre el eje!. Una semirrecta perpendicular al eje! es también una recta si consideramos a la recta como un círculo de radio infinito (Márquez, 2016). Figura 6. Semiplano de Poincaré. En el modelo representado en la Figura 6, las rectas s y u son secantes, ya que se intersectan; las rectas r, t y u son divergentemente paralelas y las rectas r y s son asintóticamente paralelas. 9

11 Geometría Elíptica o Esférica La posibilidad de que pudiera haber otras geometrías alternas diferentes a la geometría de Euclides en donde no se cumpliera el quinto postulado ya había sido considerada antes de Gauss o Lobachevski. Una de ellas era la geometría esférica (un caso especial de una geometría más general, una geometría que está basada no en la superficie de una esfera sino en la superficie de un elipsoide). Una vez aceptado como igualmente natural el modelo de Geometría Hiperbólica en que se rechazaba el quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas, los matemáticos buscaron nuevos sistemas geométricos que incumplieran el quinto postulado. Uno de esos modelos lo describió Georg Bernhard Riemann ( ), pupilo de Gauss, negando la existencia de las paralelas. En la Geometría Hiperbólica, dado un punto exterior a una recta siempre es posible obtener más de una recta paralela a la primera que pase por dicho punto. En la Geometría Elíptica o Esférica, dada una recta y un punto exterior a la misma, no existe ninguna recta paralela, es decir, ninguna recta que no intersecte a la primera. En esta geometría se denominan plano a la superficie de la esfera y rectas, a las circunferencias de círculos máximos. Figura 7. El punto, la recta y el plano en la Geometría esférica. Terminología apropiada porque en cualquiera de las geometrías la recta es la línea más simple que pueda unir a dos puntos y el plano también es la superficie más simple. Además, al igual que la recta divide al plano en dos semiplanos en la 10

12 geometría euclidiana, una circunferencia de círculo máximo divide a la esfera en dos semiesferas. Las rectas en la geometría elíptica o esférica también reciben el nombre de geodésica. Figura 8. La distancia más corta entre dos puntos no es el segmento sino el arco de un círculo máximo. No es difícil ver que en esta geometría dos rectas o geodésicas siempre se cortan. Lo cual nos lleva a pensar que por un punto exterior a una recta dada no es posible trazar ninguna recta con la cual nunca se cruzará, es decir, ninguna paralela. Figura 9. Las rectas! y!, no importa como las tracemos siempre serán secantes. Para que sean válidos los primeros cuatro primeros postulados de Euclides, tenemos que poner una condición sobre los puntos sobre la superficie de la esfera. Observemos en la Figura 9, en los puntos! y! que están diametralmente opuestos pueden pasar una infinidad de rectas, sin embargo, si recodamos el primer Postulado de Euclides, sabemos que por dos puntos solamente puede pasar una recta. En cambio, si tenemos un solo punto, entonces habrá una infinidad de rectas que pasen por él. Por lo tanto, en este modelo vamos a considerar que dos puntos diametralmente opuestos son el mismo, es decir,! =!. 11

13 Desarrollo Para realizar nuestra investigación, estuvimos revisando algunas páginas web, artículos de investigación, tesis, memorias de congresos y libros que describen las características de cada una de las tres geometrías: Euclidiana, Hiperbólica y Elíptica o Esférica. Luego buscamos información sobre los diferentes modelos que hay para trabajar en cada una de las geometrías, y por supuesto, si se pueden realizar en GeoGebra. Al respecto, encontramos que para la Geometría Euclidiana se trabaja directamente en la Vista Gráfica del programa, sin tener que realizar ninguna adaptación especial. Para la Geometría Hiperbólica, nos basamos en el Applet desarrollado por Mathías Tejera en 2014, llamado Disco de Poincaré. En cambio, para trabajar la Geometría Elíptica nos basamos en un Applet desarrollado por nuestro asesor, ya que no encontramos ninguno desarrollado en GeoGebra. Resultados y análisis A continuación, vamos a describir lo que obtuvimos al usar GeoGebra y trabajar con los diferentes modelos geométricos. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º. Vamos a mostrar usando GeoGebra que cuando trabajamos en la Geometría Euclidiana, es decir, sobre el plano, la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º. Para ello, trazamos un triángulo ABC cualquiera sobre el plano usando la herramienta de Polígono. Al realizar esto, obtuvimos como resultado el triángulo que se muestra en la Figura

14 Figura 10. Triángulo ABC en el plano. Posteriormente, usando la herramienta de Ángulo, medimos todos los ángulos internos del triángulo. Figura 11. Los tres ángulos internos del triángulo. En el triángulo de la Figura 11 se observa que la suma es 180º. Sin embargo, tal vez sólo fue suerte. Por lo que realizamos lo siguiente: empezamos a mover los tres vértices del triángulo en diferentes lugares, lo que cambiaba tanto el tamaño como los ángulos internos del triángulo, pero la suma se mantenía constante. Para confirmar que la suma de los ángulos eras siempre 180º, agregamos una función que sumara los tres ángulos internos y en las propiedades de los ángulos pusimos que mostrara siempre el ángulo entre 0º y 180º, ya que GeoGebra también a veces mostraba el ángulo cóncavo (mayor a 180º). Figura 12. La suma de los ángulos internos del triángulo siempre es 180º. 13

15 En efecto, observamos que al trabajar en el plano la suma de los ángulos internos del triángulo siempre es 180º. La suma de los ángulos internos de un triángulo es menor a 180º Para mostrar que la suma de los ángulos internos de un triángulo es menor a 180º, trabajamos con el Applet Disco de Poincaré elaborado por Mathías Tejera. Al abrir el Applet, aparece una ventana como la que se muestra en la Figura 13. Figura 13. Ventana del Applet del Disco de Poincaré en GeoGebra. Para trazar un triángulo, usamos la herramienta "Segmento hiperbólico. Seleccionamos la herramienta y luego colocamos dos puntos dentro del círculo blanco y trazamos un segmento hiperbólico, realizamos el mismo proceso y con ello formamos un triángulo hiperbólico como el que se muestra en la Figura 14. Figura 14. Un triángulo en el Disco de Poincaré. Intuitivamente se nota que la suma de los tres ángulos internos es menor a 180º. Pero vamos a medirlos. Recordemos que el ángulo en este modelo es igual que en el modelo Euclidiano. Sin embargo, para medirlo hay que trazar las tangentes a cada lado del triángulo en cada uno de los vértices y medir el ángulo que se forma 14

16 entre ellas (ver Figura 15). Figura 15. El ángulo ACB mide en este caso 33.82º. Hicimos este proceso para cada vértice y ocultando las rectas tangentes, se obtuvieron las medidas de los tres ángulos internos del triángulo (ver Figura 16). Figura 16. Las medidas de los tres ángulos internos del triangulo ABC. Claramente se observa en la Figura 16 que la suma de los ángulos internos del triángulo ABC es menor a 180º. Sin embargo, moviendo los puntos A, B y C en diferentes posiciones observamos que la suma iba cambiando. Para analizar mejor la suma de los ángulos internos del triángulo colocamos una función que lo hiciera. Figura 17. La suma de los ángulos internos del triángulo ABC es menor a 180º. 15

17 Algo importante que observamos es que la suma de los ángulos internos del triángulo no era constante, variaba dependiendo de la posición donde colocábamos los vértices. Si los vértices estaban muy cerca del borde del Disco, la suma se hacía cada vez más pequeña. En cambio, cuando los vértices del triángulo estaban cerca del centro, la suma se acercaba a 180º. Figura 18. Mientras más lejos están los vértices del triángulo al centro del Disco, la suma de los ángulos internos del triángulo se acerca a 0º, mientras más cerca, tiende a 180º. A diferencia de la Geometría Euclidiana, en donde la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º, en la Geometría Hiperbólica la suma varía entre 0º y 180º. De hecho, esos valores son los casos límites. La suma de los ángulos internos de un triángulo es mayor a 180º Ahora veamos qué pasa en la Geometría Elíptica o Esférica. En la red encontramos un Applet diseñado por David Austin y Will Dickinson, llamado Spherical Easel, sin embargo no lo pudimos usar ya que tenía algunos errores, por ejemplo, no se podía trazar una recta por dos puntos. Así que con ayuda de nuestro asesor, creamos un Applet que simulara trabajar sobre una esfera en GeoGebra. Para realizar este Applet nos basamos en el trabajo publicado por Abar en 2016, O uso do geogebra na investigação da geometria elíptica (ver referencia). Al abrir el Applet, aparece una ventana idéntica a la del Disco de Poincaré (ver Figura 19). 16

18 Figura 19. Applet para trabajar la Geometría Elíptica. En esta Applet se simula trabajar sobre una esfera. En donde los puntos, son como los conocemos y las rectas son los círculos máximos. Figura 20. Se muestran algunas rectas sobre la esfera. Para trazar un triángulo simplemente seleccionamos la herramienta Segmento Elíptico Por Dos Puntos y trazamos los tres segmentos para formar el triángulo 2. Figura 21. Un triángulo sobre la esfera. Visualmente se observa que la suma de los ángulos internos del triángulo es mayor a 180º. Al igual que en las otras Geometrías, en la Elíptica o Esférica para 2 Nota importante, para trazar el segmento, es necesario seleccionar primero el centro de la circunferencia y luego los dos puntos que serán los extremos del segmento. 17

19 determinar la medida de un ángulo hay que trazar las tangentes a cada lado del triángulo en cada vértice y calcular el ángulo entre ellos. Procediendo de esta forma se obtuvo que en efecto la suma era mayor a 180º. Figura 22. La suma de los ángulos internos del triángulo ABC es mayor a 180º. Al variar las posiciones de los vértices del triángulo sobre la esfera, observamos que la suma de los ángulos internos también es variable, pero siempre mayor a 180º. Al igual que en el modelo de la Geometría Hiperbólica, mientras más cerca del centro estén los vértices más cercano es la suma a 180º y mientras se van alejando, la suma se acerca a 540º. Este último resultado no se menciona en los documentos que revisamos en un inicio, así que fue una propiedad que descubrimos al mover los vértices del triángulo en el Applet. Sin embargo, para comprobar que lo que descubrimos era cierto buscamos otra vez en otros trabajos y en efecto, la suma de los ángulos internos de un triángulo elíptico está entre 180º y 540º. Como hemos observado, GeoGebra fue de vital importancia para lograr nuestro objetivo, mostrar que la suma de los ángulos internos de un triángulo puede ser menor, igual o mayor a 180º dependiendo de la geometría en que estemos trabajando. La ventaja de usar GeoGebra es que al ser un software libre, es gratuito y, además, se puede trabajar en cualquier sistema operativo. 18

20 Conclusiones Hemos observado que en efecto, la suma de los ángulos de un triángulo puede ser menor, igual o mayor a 180º y todo dependerá de la Geometría en la que estemos trabajando. Este proyecto se nos hizo bastante interesante, ya que pudimos vivir la experiencia y poder comprobar esta propiedad del triángulo en las diferentes geometrías de una manera bastante sencilla usando GeoGebra. Retomando las preguntas que planteamos en la introducción, cuántas geometrías hay? En nuestra investigación planteamos la clasificación tomando en cuenta si se cumplía o no el quinto postulado, por lo que, con base a ello, descubrimos que existen tres tipos: Euclidiana, Hiperbólica y Elíptica o Esférica. Además descubrimos, que cada una tiene modelos distintos para representarse y que muchas de las relaciones que se cumplen en una, no se cumplen en otras. En especial, que la suma de los ángulos internos de un triángulo no necesariamente es 180º. En la Geometría Plana es 180º, en la Geometría Hiperbólica está entre 0º y 180º, mientras que en la Geometría Elíptica o Esférica está entre 180º y 540º. Para responder a la pregunta cuál es la es más útil? Escribiremos lo que dice Keith J. Devlin en su libro El lenguaje de las matemáticas: Así pues, disponiendo de tres geometrías igualmente consistentes, cuál es la correcta, es decir, la escogida por la naturaleza? Cuál es la geometría de nuestro Universo? No está claro que la pregunta tenga una respuesta única y definitiva. El Universo es como es, y la geometría es una creación matemática de la mente humana que refleja ciertos aspectos del modo según el cual nos encaramos a nuestro entorno, Por qué razón debería el Universo tener una geometría? En una escala pequeña, la humana, que cubre parte o toda la superficie terrestre, la física de Newton proporciona un marco teórico en completo acuerdo con la evidencia observable, la 19

21 Geometría Euclidiana es la adecuada. Por otra parte, a una escala mayor, desde el sistema solar hasta las galaxias y más allá, la física relativista de Einstein proporciona un ajuste más preciso a los datos observables A esta escala parece ser mas apropiada la Geometría No Euclidiana. De hecho, cuando el triángulo dibujado sobre el Disco de Poincaré o sobre la esfera era muy pequeño, observamos que la suma de sus ángulos internos se acercaba a 180º. Esto concuerda con lo que menciona Devlin, para distancias pequeñas la Geometría Euclidiana funciona bien. En cambio, cuando hablamos de distancias grandes la geometría Euclidiana deja de funcionar y entran en juego las Geometrías No Euclidianas. De ahora en adelante, siempre que nos pregunten cuánto suman los ángulos internos de un triángulo? La respuesta sería, depende en qué geometría. Referencias Bibliográficas Abar, C. (2016). O uso do geogebra na investigação da geometria elíptica. 6º Congreso Uruguayo de Educación Matemática. Montevideo, Uruguay. Disponible en Austin, D. y Dickinson, W. (2002). Spherical Easel. A spherical drawing program. Recuperado de Bonola, (1955). Non-Euclidean geometry. New York: Dover Publications. Devlin, K.J. (2002). El lenguaje de las matemáticas (Pedro Crespo, trad.) Barcelona: Robinbook. (Obra original publicada en 1998) Márquez, J.M. (2016). El plano hiperbólico: historia y fundamentos. Trabajo Fin de Grado. Universidad de Sevilla. Neumann, N. (2015). Geometría esférica. Recuperado de 20

22 Ruiz, A. (1999). Geometrías no euclidianas. Breve historia de una revolución intelectual. Editorial de la Universidad de Costa Rica: Costa Rica. Tejera, M. (2014). Disco de Poincaré. Recuperado de Vittone, F. (2012). Introducción a las geometrías no euclidianas. En Encuentro de geometría diferencial rosario Rosario, Argentina. Recuperado de Kisbye, N.P. (2008). El plano de Poincaré. Facultad de Matemática, Astronomía y Física, Universidad Nacional de Córdoba, Argentina. Recuperado de 21