Capítulo 6: Diseño de controladores

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1 Capítulo 6: Diseño de controladores Capítulo 6: Diseño de controladores 6.1. Introducción El objetivo es el desarrollo de controladores para que la plataforma siga una trayectoria de referencia con independencia de las perturbaciones a las que se vea sometido el sistema. Se probarán distintas estrategias basadas en controladores PID (proporcional integral derivativo) y GPC (controlador predictivo generalizado) para controlar la posición y la velocidad de cada motor del pedestal. Para controlar la velocidad se probará a realimentar la medida proporcionada por los giróscopos así como la derivada de la medida de posición de los encoders. La compensación de fricción se realizará también de dos formas: en prealimentación (feedforward) y realimentación (feedback) 6.2. Controlador PID El controlador PID se basa en proporcionar una actuación que es proporcional al error instantáneo, a la integral del error pasado y a la derivada instantánea del error. Expresado en términos discretos: kt e kt u k 1 t = K p e kt K i e kt K d 0 t (6.1) 33

2 6.2. Controlador PID e kt =r kt y kt A la constante K d se le da el valor cero para evitar el fuerte ruido que introduce el término derivativo Control predictivo generalizado (GPC) Control predictivo basado en modelo (MBPC) El control predictivo basado en modelo (MBPC), grupo que engloba al control predictivo generalizado entre otros, consiste en resolver un problema de optimización en cada instante k, para calcular una señal de control u k que se aplicará al sistema que se desea controlar. El MBPC necesita de un modelo del sistema, lo que obliga a realizar un estudio previo del mismo. El objetivo del MBPC es calcular una secuencia de futuras acciones de control de forma que se minimice una función objetivo J(u) en cada instante k. Esta función objetivo, también llamada función de costes, se evalúa normalmente en función de los siguientes puntos: y k r k diferencia entre las salidas y las referencias. u k señal de control. u k incremento de la señal de control. Se utilizan unas matrices de ponderación para variar el comportamiento deseado dando más importancia a alguno de los anteriores puntos respecto a los otros. Así, se puede expresar la función objetivo mediante la siguiente expresión: N p J u = k=1 N c 1 k y k r k 2 k=0 N c 1 k u 2 2 k k u k k=0 En ella, N p y N c son los horizontes de predicción y control respectivamente. Este concepto de horizonte hace referencia a cuánto se mira hacia adelante y usualmente se emplea el término horizonte deslizante para describirlos, ya que en cada instante considerado el horizonte se desplaza una unidad hacia el futuro para resolver las ecuaciones y obtener la señal de control. De la resolución de las ecuaciones se obtendrá una secuencia de N c señales 34

3 Capítulo 6: Diseño de controladores de control u k, de las cuales sólo se aplicará la primera Métodos de resolución A la hora de implantar el controlador es fundamental el método de resolución del problema de optimización, ya que el hardware empleado debe ser capaz de encontrar la solución antes del final del instante de muestreo. Dos posibles métodos de resolución son: Programación cuadrática: método recursivo y repetido en cada paso, tiene un gran coste computacional, por lo que hace difícil escoger tiempos de muestreo pequeños. Resolución analítica: método precomputacional, las ecuaciones quedan resueltas en función de parámetros, de manera que el coste computacional es muy bajo, al no tener que resolver el problema completo en cada instante Modelos de predicción Es necesario un modelo de predicción que represente el comportamiento del sistema que se desea controlar. Éste se puede obtener mediante: Un estudio de las propiedades físicas del sistema Una identificación matemática Además, el modelo de predicción se puede representar de varias formas: Respuesta al impulso Respuesta al escalón Función de transferencia Espacio de estados En el presente proyecto se utilizará la función de transferencia, cuyo modelo tiene la forma: A z 1 y t =z d B z 1 u t 1 siendo d el número de periodos de muestreo de retardo. Se le añade además un modelo de perturbaciones: 35

4 6.3. Control predictivo generalizado (GPC) n t = C z 1 e t D z 1 donde e(t) es un ruido blanco. Este modelo se conoce como CARIMA (Controller Auto-Regressive Integrated Moving-Average o controlador autorregresivo integrado de media móvil) Si se escoge: D z 1 =1 z 1 = se consigue un control sin error en permanente. Y escogiendo C z 1 =1 por simplicidad computacional, el modelo queda como: A z 1 y t =z d B z 1 u t 1 e t (6.2) modelo conocido como ARIMA Control predictivo generalizado Propuesto por Clarke et al. en 1987, se ha convertido en uno de los métodos más populares en el ámbito del Control Predictivo, tanto en el mundo industrial como en el académico. Se emplea con éxito en numerosas aplicaciones industriales, en las que muestra buenas prestaciones, además de un cierto grado de robustez respecto a sobreparametrización o retardos mal conocidos. Partiendo del modelo ARIMA antes expuesto, el Control Predictivo Generalizado calcula la secuencia de acciones de control que minimiza la función de costes de la forma: N 2 J N 1, N 2, N u = k=n 1 N c k [ y t k t r t k ] 2 k [ u t k 1 ] 2 (6.3) k =1 en la que y t k t es la predicción óptima k pasos hacia adelante de la salida del proceso con datos conocidos hasta el instante t, N 1 y N 2 son los horizontes de coste mínimo y máximo respectivamente, N u es el horizonte de control y δ(k) y λ(k) son las secuencias de ponderación. Se puede considerar δ(k) igual a la unidad y actuar sobre el valor de λ(k) sin perder generalidad. Antes de minimizar la función de coste, se obtendrá la predicción óptima de y(t+k) para los valores de k entre N 1 y N 2. Considérese la ecuación diofántica: 36

5 Capítulo 6: Diseño de controladores 1=E k z 1 A z k F k z 1 1=E k z 1 A z k F k z 1 (6.4) Los polinomios E k y F k están únicamente definidos con grados k-1 y n a (grado del polinomio A) respectivamente. Para calcularlos se procede a dividir 1 entre A z 1 hasta que el resto pueda ser factorizado como z k F k z 1. El cociente de la división es entonces el polinomio E k z 1 Si se multiplica la ecuación (6.2) por E k z 1 z k A z 1 E k z 1 y t k = E k z 1 B z 1 u t k d 1 E k z 1 e t k (6.5) Teniendo en cuenta (6.4), la ecuación (6.5) queda: 1 z k F k z 1 y t k =E k z 1 B z 1 u t k d 1 E k z 1 e t k que, reordenando, se puede escribir: y t k =F k z 1 y t E k z 1 B z 1 u t k d 1 E k z 1 e t k (6.6) Dado que el grado del polinomio E k z 1 es igual a k-1, los términos de ruido en la ecuación están todos en el futuro, por lo que la mejor predicción de y(t+k) será: y t k =E k z 1 B z 1 u t k d 1 F k z 1 y t y t k =G k z 1 u t k d 1 F k z 1 y t con G k z 1 =E k z 1 B z 1 =g k,0 g k,1 z 1 g k,2 z 2... Para resolver el GPC es preciso obtener el conjunto de señales de control u(t), u(t+1),..., u(t+n) que minimizan la ecuación (6.3). Al tener el proceso un retardo de d periodos de muestreo, la salida sólo se verá influida por la señal u(t) después del instante d+1. Los valores N 1, N 2 y N u que marcan los horizontes pueden ser definidos pues, como N 1 =1+d, N 2 = d+n y N u =N. No tiene sentido hacer N 1 <1+d, ya que los términos de (6.3) sólo dependerán de las señales de control pasadas. Por otro lado, haciendo N 1 >1+d los 37

6 6.3. Control predictivo generalizado (GPC) primeros puntos de la secuencia de salida, que serán los mejor estimados, no se tendrán en cuenta. El conjunto de las k predicciones óptimas: y t d 1 t =G d 1 z 1 u t F d 1 z 1 y t y t d 2 t =G d 2 z 1 u t 1 F d 2 z 1 y t y t d N t =G d N z 1 u t N 1 F d N z 1 y t puede ser escrito en forma matricial: y=gu F z 1 y t P z 1 u t 1 (6.7) donde: y t d 1 t y t d 2 t y= y t d N t u= = g G u t u t 1 u t N g 1 g 0 0 g N 1 g N 2 g 0 z G d 1 z P z = 1 g 0 1 z 2 G d 2 z 1 g 0 g 1 z 1 z N G d N z 1 g 0 g 1 z 1... g N 1 z N 1 F F z = z 1 d 1 1 F d 2 z 1 F d N z 1 Se observa que los últimos términos de la ecuación (6.7) dependen sólo del pasado, por lo que se pueden agrupar en f, dando lugar a: y=gu f (6.8) 38

7 Capítulo 6: Diseño de controladores Introduciendo la notación matricial en la definición de la función de costes se obtiene: J = Gu f r T Gu f r u T u (6.9) Y agrupando términos: J = 1 2 ut Hu bu f 0 (6.10) con: H =2 G T G I b=2 f r T G f 0 = f r T f r El mínimo de J puede ser calculado igualando a cero el gradiente, lo cual conduce a: u= H 1 b T (6.11) La ecuación anterior da la expresión de la secuencia de actuación que minimiza la función de costes. Como ya se ha comentado antes, sólo se aplicará el primer término, ya que en el siguiente instante de muestreo se volverá a calcular una nueva secuencia con los datos actualizados de los sensores. En el esquema sólo se calculará el primer elemento de la secuencia, que será el que se aplique como señal de actuación. Expandiendo términos resulta: u=hg r F y P u k 1 (6.12) siendo HG la primera fila de la matriz H 1 G 39

8 Control predictivo generalizado (GPC)