3 CAPÍTULO Cálculo de derivadas de estabilidad. 3.1 Aclaraciones previas

Transcripción

1 3 APÍTULO 3 3. álculo de derivadas de estabilidad En el capítulo anterior las fuerzas y momentos que afectan a la aeronave se presentaron como un desarrollo de Taylor en torno a un punto de equilibrio. Los coeficientes de este desarrollo de Taylor son las llamadas derivadas de estabilidad y de control. Éstas definen la variación que se produce en las fuerzas y momentos adimensionales con respecto a las variables del problema. En el presente capítulo se mostrarán los métodos utilizados para el cálculo de estas derivadas. Están divididos en dos grandes grupos como sugiere el desacople de las ecuaciones del movimiento. Unos son los métodos para hallar las derivadas longitudinales y otros los dedicados a hallar las derivadas lateral-direccionales. 3. Aclaraciones previas Las expresiones mostradas a continuación para el cálculo de las derivadas de estabilidad sólo tienen en cuenta la condición de vuelo subsónico. Perderán validez para casos en los que M > 0.7 siendo en estos casos sólo valores orientativos. En las referencias consultadas aparecen métodos para obtener las derivadas para altos números de mach, [] y [3]. Durante la definición de las expresiones se hace referencia en muchas ocasiones a datos del ala expuesta. Estos datos, tanto geométricos como aerodinámicos, se refieren a un ala con la misma geometría que la que es objeto de estudio eliminando la parte física en la que 5

2 ésta se combina con el fuselaje como se puede ver en la Figura 3.. Estas variables se reconocerán con el subíndice e. Figura 3. Explicación gráfica del ala expuesta [] Todas las derivadas de estabilidad aquí expresadas tienen unidades de / rad. Y todos los ángulos serán introducidos en radianes. En caso contrario se indicará. 3. Geometría del avión El tipo de aeronaves que se estudiarán en este trabajo son aviones convencionales de ala fija. Se admitirán diversas configuraciones en relación a superficies horizontales: estabilizador horizontal, cannar y cola en V. Y también podrá variarse el tipo de planta propulsora. Figura 3. Avión comercial [3] 6

3 3... Parámetros del ala La geometría del ala juega un papel fundamental en el valor de los coeficientes aerodinámicos del avión. En la Figura 3.3 se muestran las dimensiones principales del ala. Aquí se describen los parámetros que se utilizarán a lo largo del capítulo. Taper ratio c c t λ = (3.) r Alargamiento b b A = = S c ( + λ ) r (3.) b Area A = c ( + λ) (3.3) r uerda principal + λ + λ c = c r 3 + λ (3.4) Ángulo de flecha a n fracción de la cuerda 4 n( λ) tan Λ n = tan ΛLE A( + λ) (3.5) Figura 3.3 Forma en planta del ala, explicación de la geometría [3] 7

4 3... Superficies sustentadoras En el estudio de estabilidad realizado en este documento se consideran varias superficies sustentadoras. La primera de ellas, el ala, ya se ha comentado previamente y se mantendrá en todos los modelos a estudiar. No pasa lo mismo con las diferentes superficies estabilizadoras. En el desarrollo de los métodos para hallar las diversas derivadas de estabilidad y de control se presentarán cálculos para los casos de sustentador horizontal y para los casos de cannard. Éstos pueden encontrarse al mismo tiempo en el modelo, o sólo haber uno de ellos. Diferente es el caso de la cola en V. El tratamiento que se hace en el estudio de este tipo de superficie sustentadora es sencillo. La cola en V se descompone en sus componentes vertical y horizontal. Así se tratará como un sustentador horizontal idéntico a su proyección en planta y como un estabilizador vertical idéntico al doble de su proyección vertical. Destacar este dato ya que en las ecuaciones de este capítulo no se tendrán en cuenta considerándola descompuesta en horizontal y vertical. 3.3 Estabilidad Longitudinal Las derivadas de estabilidad y de control, gracias al desacople de ecuaciones que se realizó en el capítulo anterior, se pueden dividir en dos tipos: Longitudinales y Lateral- Direccionales. En este apartado vamos a mostrar los métodos necesarios para hallar las correspondientes al caso longitudinal. Se van a dividir según la derivada de la que dependen siendo en ocasiones necesario hallar una derivada antes de calcular otra. Los coeficientes de fuerzas y momentos longitudinales, x, z y m, se descomponen en un desarrollo de Taylor. ada miembro de ese desarrollo es una derivada de estabilidad o una derivada de control que dependen de las variables u, α y q. Las componentes de las diversas derivadas se obtienen de un desarrollo idéntico al capítulo anterior en que se obtenía xu la (.45) a la (.59). y x θ. Este proceso está descrito en las ecuaciones de 3.3. Derivadas con respecto el ángulo de ataque α A continuación se va a proceder a describir las ecuaciones que permiten el cálculo de las derivadas de estabilidad longitudinales que dependen del ángulo de ataque α. 8

5 3.3.. Variación de x con el ángulo de ataque α Derivada que expresa la variación de fuerzas en el eje X con la variación del ángulo de ataque. Se compone de dos elementos: el valor del coeficiente de sustentación L y la variación del coeficiente de resistencia con el ángulo de ataque D α. = (3.6) xα L Dα El coeficiente de sustentación está definido por la siguiente expresión. L = α α (3.7) L Por lo que para hallar el coeficiente es necesario un valor del ángulo de ataque y de L α. El valor del ángulo de ataque debe ser introducido por el usuario. El cálculo de L α se realiza atendiendo a la siguiente expresión. εt St ε c Sc L α = L α, WB + L α, t ηt + L α, c ηc α S α S (3.8) α WB donde se distinguen la contribución hecha por el conjunto ala-fuselaje L, α c, por el estabilizador horizontal L α, t y por el cannard L,. La interferencia mutua entre el ala y el fuselaje se calcula con la siguiente expresión [] ( ) K K K e Lα, WB = N + W ( B) + B( W ) Lα, e (3.9) donde K N, K W ( B) y K B( W ) son el cociente de la sustentación del morro, el ala en presencia del fuselaje y del fuselaje en presencia del ala con la sustentación del ala por separado. Se obtienen de las siguientes expresiones [] S S K N S Lα, N = Lα, e Se (3.0) donde L α, N es la pendiente del coeficiente de sustentación del morro aislado. L α, e es la pendiente del coeficiente de sustentación del ala expuesta. S e es la superficie del ala expuesta y S es la superficie del ala. Para velocidades subsónicas se cumple que Lα, N ( k k ) S B, max = (3.) S Donde k kse obtiene en Figura 3.4 introduciendo el valor del Fineness Ratio, éste es el cociente de la longitud del fuselaje con el ancho máximo del fuselaje, l / b. S B, max es el f f,max 9

6 área del fuselaje transversal máxima. L α, e se calcula con la Ec.(3.4) introduciendo los datos del ala expuesta. Los valores de K W ( B) y K B( W ) se extraen de las ecuaciones (3.) y (3.3)[]. Figura 3.4 onstante de masa aparente [] K K W ( B) b b = + + b b f, max f, max 0,74 0,836 0,9974 b b = + + b b f, max f, max B( W ) 0,78,976 0,0088 (3.) (3.3) Donde b, f max es el ancho máximo del fuselaje y b la envergadura del ala. a w = π A tan A β c k β Λ (3.4) La ecuación (3.4) proporciona la pendiente de sustentación del ala corregida de D a 3D. Siendo A el alargamiento, Λ c 4 la flecha en un cuarto del ala, β = M y k = ao / π. La pendiente del coeficiente de sustentación del perfil del ala es a o y viene definido por la ecuación (3.5) []. a.05 a = ( a ) o o o theory M ( ao ) theory (3.5) donde a o es la pendiente del coeficiente de sustentación de una sección D. Su valor teórico y el de su factor de corrección, ao ( a o ), se extraen de Figura 3.5 y Figura 3.6. theory 0

7 Figura 3.5 Pendiente del coeficiente de sustentación del perfil teórico [] Figura 3.6 Factor de corrección empírico [] En la Figura 3.5 puede verse la dependencia directa con el espesor del ala siendo sencilla su programación. Diferente es el caso de Figura 3.6 pues depende del número de Reynolds y del parámetro geométrico Φ ' TE. En este caso, y para simplificar los cálculos, se asigna un valor de 0.8 a ao ( a o ). Si se tuvieran resultados o bien teóricos, experimentales theory o de cálculo numérico de a o pueden usarse en vez de la Ec.(3.5). En la Ec. (3.8) aparecen también términos que se refieren tanto al estabilizador horizontal como al cannard. L α, t y L α, c son las pendientes del coeficiente de sustentación del estabilizador horizontal y del cannard respectivamente. St y S c son, respectivamente, la superficie del estabilizador horizontal y del cannard. η t y η c son los cocientes de presión dinámica definidos en el caso del estabilizador horizontal como qt q ρ q siendo q = ρu y = U. Estos serán introducidos por el usuario, teniendo normalmente un valor de 0,95. t t

8 Falta por obtener el valor de D α. Este se obtiene de derivar la expresión de la polar del avión, suponiéndola no compensada, Dα = + k. La derivada resultante es D DO L = k (3.6) L Lα donde k = / π Ae. El coeficiente de Oswald ese calculará con Ec.(3.7) en caso de no disponer de un valor introducido por el usuario []. e =. Lα R + R π A Lα ( ) (3.7) El parámetro R está dado por la expresión R = a λ + a λ + a λ + a (3.8) donde a = , a = , a = 0.050, a = y λ = Aλ / cos Λ LE Determinación de upwash y downwash ε c No se entrará en el estudio del upwash del cannard. Éste se supondrá α despreciable debido a que el cannard se halla alejado de la zona de influencia del ala []. El εt downwash del estabilizador horizontal tomará su valor de la Ec. (3.9) []. α ε t = 4.44 KAK λ KH ( cos Λc 4 ) α.9 (3.9) Siendo, K A K λ =.7 A + A (3.0) 0 3λ = (3.) 7 K H hh = b (3.) l 3 h b donde l h es la distancia, medida paralela a la cuerda en la raíz del ala, entre el centro aerodinámico del ala y el centro aerodinámico del estabilizador horizontal. hh es la altura del

9 centro aerodinámico del estabilizador horizontal medida en el plano de simetría normal a la cuerda en la raíz del ala, positiva cuando el estabilizador se encuentra sobre la cuerda en la raíz del ala. A es el alargamiento, bla envergadura y λ el taper ratio Variación de z con el ángulo de ataque α Derivada que expresa la variación de la fuerza en dirección del eje Z (positivo hacia abajo) con el ángulo de ataque. Tiene la expresión siguiente zα = (3.3) Lα Variación de m con el ángulo de ataque α Derivada que expresa la variación del momento en el eje Y con el ángulo de ataque. El cálculo de esta derivada se realiza acorde a la siguiente expresión ( ) = x x (3.4) mα Lα G NA la cual es muy simple e ignora los efectos producidos por el fuselaje y su interacción con el ala y la forma del morro. Se sugiere un estudio más profundo de esta derivada en trabajos posteriores. xges la posición del centro de gravedad y x NA es la posición del punto neutro, todas ellas adimensionalizadas con la cuerda principal c Derivadas con respecto a la velocidad adimensional u. A continuación se va a proceder a describir las ecuaciones que permiten el cálculo de las derivadas de estabilidad longitudinales que dependen de la velocidad adimensional u Variación de x con la velocidad adimensionalu Derivada que representa la variación de fuerzas en el eje X con la variación de la velocidad u. Su definición, ignorando los efectos de variación de empuje, es la siguiente = (3.5) xu D du El valor de D se calculará por su expresión = + k cuyos elementos deben D DO L ser introducidos por el usuario. El valor de k depende del coeficiente de Oswald que se calcula según (3.7). du se expresa de la siguiente manera [] 3

10 = D M du M (3.6) A bajas velocidades subsónicas ( M 0.5) el coeficiente de resistencia es prácticamente constante M = 0. Para mayores velocidades este término tomará d valores diferentes a cero [3]. Para la elaboración del programa se considerará nulo debido a las bajas velocidades que se tendrán en cuenta y a la falta de una expresión analítica de d Variación de z con la velocidad adimensionalu Derivada que representa la variación de fuerzas en el eje Z con la variación de la velocidad u. Su definición, ignorando los efectos de variación de empuje, es la siguiente = (3.7) zu L Lu Donde L se obtiene de la Ec. (3.7). Lu tiene una expresión similar a du pero en este caso se dispone de una expresión que permite su cálculo en función de M y L [3]. Lu M L = M = M ( M ) L (3.8) Variación de m con la velocidad adimensionalu Derivada que representa la variación de momentos en el eje Y con la variación de la velocidad u. Su expresión es idéntica que a las dos derivadas anteriores, Ec. (3.9), y por las mismas razones que para du se considerará de valor nulo. mu = Mα M mα 0 (3.9) Derivadas con respecto a la velocidad angular q A continuación se va a proceder a describir las ecuaciones que permiten el cálculo de las derivadas de estabilidad longitudinales que dependen de la velocidad angular q. 4

11 Variación de x con la velocidad angular q Derivada que representa la variación de fuerzas en el eje X con la variación de la velocidad angular q. Su expresión es la siguiente xq = (3.30) Dq cuyo valor es pequeño y puede ser ignorado []. 0 (3.3) xq Variación de z con la velocidad angular q Derivada que representa la variación de fuerzas en el eje Z con la variación de la velocidad angular de cabeceo q. Su expresión es la siguiente zq = (3.3) Lq En la variación del coeficiente de sustentación con la velocidad angular de cabeceo intervienen el sustentador horizontal Lq, t, el cannard Lq, c y la combinación ala-fuselaje Lq, WB. = + + Lq Lq, t Lq, c Lq, WB (3.33) Las expresiones para el horizontal y el cannard son simples St lt Lq, t = L α, t ηt S c Sc lc Lq, c = L α, c ηc S c (3.34) (3.35) donde l t y lcson la distancia desde el centro de gravedad hasta el centro aerodinámico del estabilizador horizontal y hasta el centro aerodinámico del cannard respectivamente. Se definen de la siguiente manera l = x x (3.36) c acc cg l = x x (3.37) t act cg La expresión de la combinación ala-fuselaje es más compleja [] 5

12 S c S l S c S c e e B,max f Lq, WB = KW ( B) + K B( W ) Lq, e + Lq, B (3.38) donde c e y c son la cuerda principal del ala expuesta y del ala total, Lq, e y Lq, B son la contribución del ala expuesta y del fuselaje aislado respectivamente. K W ( B) y K B( W ) se calcularon anteriormente con Ec.(3.) y (3.3). El valor dado por (3.38) es por radianes. Para el caso subsónico, que es el que abarca este documento, la contribución del ala expuesta, Lq, e, se halla de la siguiente manera [] Lq, e = + ξ L α, e (3.39) x ξ = (3.40) c x = ( x ) x (3.4) ac e cg, le ( x ) es la distancia del centro aerodinámico del ala expuesta desde el borde de ataque en el ac e encastre, y x, cg le es la distancia entre el centro de gravedad y el borde de ataque del ala en el encastre. Estas distancias están detalladas en la Figura 3.7. Figura 3.7 Detalle del encastre del ala [] La contribución del fuselaje,, expresiones [] Lq B Lq, B Lq, B, en vuelo subsónico viene dada por las siguientes x m = (3.4) l f /3 VB Lq, B = L, B α S B,max (3.43) 6

13 SB,max L α, B = ( k k ) /3 VB (3.44) Donde xm = xcg y V B es el volumen del fuselaje. El coeficiente de masa aparente, ( k k), ya fue obtenido de Figura Variación de m con la velocidad angular q Derivada que representa la variación del momento de cabeceo debido a una variación en la velocidad angular de cabeceo. Es conocida como the damping-in-pitch derivative (derivada de amortiguamiento en cabeceo). omo en la derivada anterior = + + (3.45) mq mq, t mq, c mq, WB Las expresiones para el horizontal y el cannard son simples [] St lt = L, t t m q, t α η S c (3.46) Sc lc = L, c c m q, c α η S c (3.47) La contribución ala-fuselaje resulta ser más complicada como se puede ver la siguiente expresión [] Se ce SB,max l f mq, WB = KW ( B) + K B( W ) mq, e + mq, B S c S c (3.48) donde todos los términos son idénticos a los de Lq, WB, Ec.(3.38), salvo los de mq, e y mq, B. Que son la contribución del ala expuesta y del cuerpo respectivamente. Para velocidades subsónicas mq, e es c + c c 3 mq, e mq, e, M 0. c = = + 3 c 4 (3.49) donde A(0.5ξ + ξ ) c mq, e, M = 0. = 0.7L α cos Λ c/4 + + c5 4c4 8 (3.50) 7

14 c = A tan Λ (3.5) 3 c/4 c 3 = (3.5) B c c c = AB + 6cos Λ (3.53) 3 c/4 = A+ 6cos Λ (3.54) 4 c/4 = A+ cos Λ (3.55) 5 c/4 B = Λ (3.56) M cos c/4 La contribución del fuselaje viene dada por la siguiente expresión x ( xm ) VB( xc xm ) = (3.57) xm VB mq, B mq, B x m c m = xc = VB l f l f x V = B (3.58) S l B,max f Donde los parámetros se definen como en el apartado anterior salvo x c que se halla a través de una integración en el fuselaje []. l f xc = S ( ) 0 B x xdx V (3.59) B Donde S ( x ) es la superficie transversal del fuselaje en función de la variable B longitudinal x. Para velocidades subsónicas el valor que nos falta para completar la Ec.(3.57) está definido de la siguiente manera [] V B mq, B = m q, B (3.60) SB, maxl f mq, B k k ds x = x x dx (3.6) ( ) x B( ) ( ) 0 m VB dx donde x es el punto donde se el fuselaje alcanza la superficie transversal máxima, es decir cuando S B = S. B,max 8

15 En las expresiones (3.59) y (3.6) aparecen dos integrales. Éstas se realizan sobre la función que proporciona la superficie transversal del avión. Al no disponer de esta expresión, S ( ) B x, el usuario deberá calcular e introducir los valores de ambas integrales Derivadas con respecto a la variación del ángulo de ataque con el tiempo αɺ A continuación se va a proceder a describir las ecuaciones que permiten el cálculo de las derivadas de estabilidad longitudinales que dependen del cambio del ángulo de ataque con el tiempo αɺ Variación de x con la variación del ángulo de ataque con el tiempoαɺ Esta derivada es una medida del cambio de fuerzas en el eje X al variar el ángulo de ataque con el tiempo. Se considerará pequeña y se despreciará []. ɺ α 0 (3.6) x Variación de z con la variación del ángulo de ataque con el tiempoαɺ Por definición z ɺ α = ɺ. Por lo que esta derivada es una medida del efecto que Lα tiene la variación del flujo de aire debido al cambio del ángulo de ataque con el tiempo sobre el coeficiente de sustentación. Los elementos que afectan a esta derivada son el estabilizador horizontal l αɺ, t, el cannard l αɺ, c y el conjunto ala-fuselaje l αɺ, WB. ɺ = ɺ + ɺ + ɺ (3.63) lα lα, t lα, c lα, WB Donde el efecto del sustentador horizontal y del cannard se expresan de la siguiente manera St lt ε t l α, t = L α, tη ɺ t S c α (3.64) Sc lc ε c Lɺ α, c = L α, cη c (3.65) S c α La contribución de la combinación ala-fuselaje viene definida por la siguiente expresión [] Sece SB,maxl f lɺ α, WB = KW ( B) + K B( W ) lɺ α, e + lɺ α, B (3.66) Sc Sc 9

16 Donde l αɺ, e es la contribución del ala expuesta y l αɺ, B es la contribución del fuselaje. De manera idéntica a como pasaba con lq, WB en Ec.(3.38). Para velocidades subsónicas l αɺ, e se define de la siguiente manera [] l α, e x ɺ =.5 l e + 3 L( g) (3.67) ac lα, e α, cr e La pendiente de la curva de sustentación con el ángulo de ataque del ala expuesta,, ya se calculó previamente mediante la Ec.(3.4) introduciendo los valores del ala expuesta. El valor de L ( g ) se obtiene mediante π A β e 4 3 L( g) = (0.003τ 0.0τ τ τ ) (3.68) donde τ = β Ae. Siendo A e el alargamiento del ala expuesta y La contribución del fuselaje l αɺ, B se calcula así [] β = M. V B L α, B = Lα, B SB, maxl f (3.69) /3 V B Lα, B = L α, B S B,max (3.70) SB,max L α, B = ( k k ) /3 VB (3.7) donde SB,max longitud del mismo. es el máxima área transversal del fuselaje, V B es el área del fuselaje y l f la Variación de m con la variación del ángulo de ataque con el tiempoαɺ Esta derivada es una medida del efecto que tiene la variación del flujo de aire debido al cambio del ángulo de ataque con el tiempo sobre el momento de cabeceo. Igual que en la derivada anterior está afectada por el sustentador horizontal m αɺ, t, el cannard m αɺ, c y la combinación ala-fuselaje m αɺ, WB. ɺ = ɺ + ɺ + ɺ (3.7) mα mα, t mα, c mα, WB alculándose los dos primeros elementos de la siguiente manera [] 30

17 mα, t St ε t lt = L α, tηt ɺ (3.73) S α c mα, c Sc ε c lc = L α, cη c ɺ (3.74) S α c El efecto de la combinación ala-fuselaje responde a la siguiente expresión, análoga a la utilizada en el cálculo de l αɺ, WB en Ec.(3.48). S l ɺ ɺ ɺ (3.75) Sc Sc Sec e B,max f mα, WB = KW ( B) + K B( W ) mα, e + m α, B Donde m αɺ, e es la contribución del ala expuesta y m αɺ, B es la del fuselaje. Siendo la primera ɺ = ɺ + x ɺ (3.76) mα, e mα, e cg lα, e Para velocidades subsónicas el primer término de la Ec.(3.76) es [] donde ( g ) se obtiene de la siguiente expresión m 8 xa c 9 mα, e = l α, e + mo ( g) ɺ 3 cr (3.77) π A β e 4 3 m( g) = (0.0008τ τ τ τ ) (3.78) La expresión para la contribución del fuselaje m αɺ, B es la siguiente xc xm VB m, B α = mα, B xm V B SB,maxl f ɺ (3.79) donde x c, x m y V B están definidas en Ec.(3.58). m α, B esta determinado en Ec.(3.60) y (3.6) Derivadas de control longitudinales En este punto se mostrarán los métodos necesarios para calcular las derivadas de control longitudinales. Éstas dependerán de las superficies de control horizontales. 3

18 Variación de la sustentación con el elevador horizontal Ésta indica la variación de sustentación con el movimiento del elevador. Para hallar esta derivada de control existen diversos métodos explicados en []. Aquí se muestra uno de ellos L δ e Lδ e ( ) l Lα α t δ L = ( )( ) K δe l α ( αδ ) t l b (3.80) Donde l δ e es el incremento de sustentación teórico debido al flap del perfil D obtenido de Figura 3.8, α es la pendiente de sustentación del estabilizador horizontal y L t es la pendiente de sustentación del perfil del estabilizador horizontal, en D. El resto de parámetros son factores de corrección que dependen del tamaño del flap y de la cuerda en el caso de ( α ) δ L y del tamaño del flap y de la envergadura en el caso de K b. Su valor se extrae ( α ) δ l de las Figura 3.9 y Figura 3.0. Para hallar ( α ) δ ( α ) δ L l es necesario introducir la relación de la cuerda del flap con la cuerda del estabilizador horizontal c / c en la gráfica superior derecha de la Figura 3.9 que e t proporciona un valor de ( α δ ) l. on ese valor de ( α δ ) l y el alargamiento del sustentador horizontal A t en la gráfica principal se obtiene el valor de ( α ) δ ( α ) Para hallar K b hay que tener en cuenta las dimensiones en planta del flap. Kbse define como la siguiente diferencia K b = K fin K. El valor de K ini ini se obtiene de la Figura 3.0 introduciendo el valor de η i. η i es la variable adimensional de la distancia de inicio del yi flap en el estabilizador horizontal η i =. Lo mismo ocurre con K pero introduciendo fin b / y f η f que es la variable adimensional de la distancia final del flap η f =. Los valores de b / K ini y K fin dependerán también del taper ratio λ como se indica en la Figura 3.0. δ L l. α l t 3

19 Figura 3.8 Incremento de sustentación debido al flap [] Figura 3.9 Parámetro de efectividad [] 33

20 Figura 3.0 Factor de flap-span [] Ejemplo de obtención de ( α ) δ ( α ) δ L l A continuación se muestra un ejemplo de cómo se obtiene el valor de ( α ) δ ( α ) tiene un estabilizador horizontal con una cuerda c = m, una cuerda de flap c = 0.4m y un alargamiento A t = 4. El valor que es necesario introducir en la Figura 3.9 es la relación c f / que es igual a 0.4. Introduciendo este valor en la gráfica se obtiene un valor de ( α Teniendo en cuenta que el alargamiento es 4 extrapolando de la gráfica obtenemos un valor de ( α ) δ L =.. ( α ) δ l f δ L l δ ) l. Se c t de Ejemplo de obtención de K b A continuación se muestra un ejemplo de cómo se obtiene el valor de K b. Se tiene un estabilizador horizontal con una envergadura b = 7, con 0.5, con un flap que en ambos laterales empieza en la coordenada y i = 0.5 y que termina en la coordenada y f =.5. on λ = estos datos las variables adimensionales η i y η f toman los siguientes valores t yi 0.5 η i = = = (3.8) b / 7 / 34

21 y f.5 η f = = = (3.8) b / 7 / Figura 3. Detalle de la obtención de η y η [] i f Estos valores de η i y η f se introducen en la Figura 3.0 y teniendo en cuenta que λ t = 0.5 se obtiene que K ini = 0.08 y K fin = 0.8. El valor final de K b será Kb = K fin Kini = = 0.0 (3.83) Variación de la sustentación con superficier de control de cannard Se calcula utilizando el mismo método que para calcular L δ c L δ en el apartado anterior. e Variación de la momento de cabeceo con el elevador horizontal función de Es la variación del momento de guiñada producido por el movimiento del alerón. Es L δ e y se expresa así. m δe M δe l c t = L (3.84) δe Estando l t definido como l = x x (3.85) t act cg Siendo x ac t el centro aerodinámico del estabilizador horizontal. 35

22 Variación de la momento de cabeceo con la superficie de control del cannard m δc Es la variación del momento de guiñada producido por el movimiento de la superficies de control del cannard. Es función de L δ c y se expresa así. Mδc l c c = L (3.86) δc Estando l c definido como l = x x (3.87) c acc cg Siendo x ac c el centro aerodinámico del estabilizador horizontal Derivadas propulsivas longitudinales Las variables longitudinales, al ser perturbadas, también pueden generar cambios en las fuerzas propulsivas de la aeronave. No se han tenido en cuenta en el modelo de pequeñas perturbaciones estudiado. La única referencia al motor existía en el estudio longitudinal al variar la palanca de gases. En este punto vamos a introducir la variación de los coeficientes propulsivos con las variables longitudinales. Según [3] las fuerzas y momentos longitudinales propulsivos se pueden expresar como serie de Taylor donde las únicas variables presentes son la velocidad de vuelo y el ángulo de ataque. Esto es que sólo estás variables longitudinales afectan a la propulsión dando las siguientes expresiones F F Tx Tz M T FT u F x Tx = ( ) + α u ( ) U α U FT u F z Tz = ( ) + α u ( ) U α U M T u M T = ( ) + α u ( ) U α U (3.88) (3.89) (3.90) Las fuerzas y momentos propulsivos se adimensionalizan de la siguiente manera 36

23 Tx Tz mt FT x = (3.9) ρu S FT z = (3.9) ρu S M T = (3.93) ρu Sc A continuación se van a desarrollar las Ec.(3.88)-(3.90) para encontrar la expresión final correspondiente Variación de la propulsión en el eje X con la velocidad de vuelo Desarrollando la derivada parcial de la Ec.(3.88) con la velocidad adimensional FT x Tx = + u u ( ) ( ) u ( ) U U U ( ρu ) ρu S T S x u U (3.94) como T xu Evaluando la expresión en el punto de equilibrio y renombrado la primera derivada queda de la siguiente manera FT x = ρu S( T + ) xu Tx u ( ) U (3.95) El coeficiente propulsivo en equilibrio resistencia en equilibrio debido a que T T x será normalmente igual al coeficiente de = D en vuelo en equilibrio. La derivada de las características del sistema de propulsión. Distinguimos tres casos: T xu depende Aviones con propulsión jet Para el caso de jet en el que se el empuje se modela como [] T = A U + B U + (3.96) thrust thrust thrust 37

24 y T xu se expresa como U = ( A U + B ) qs Txu thrust thrust Tx (3.97) Hélices de paso variable Para el caso de hélices de paso variables T xu toma el valor Txu = 3 (3.98) Tx Hélices de paso fijo Para el caso de hélices de paso fijo en el empuje se modela como [] P = A U + B U + (3.99) power power power y T xu se expresa como = ( A U + B ) qs Txu power power Tx (3.00) Variación de la propulsión en el eje Z con la velocidad de vuelo Desarrollando la derivada parcial de la Ec.(3.89) se obtiene el siguiente resultado FT z = ρu S( T + ) zu Tz u ( ) U (3.0) La derivada T zu y el coeficiente configuraciones convencionales. Por lo que se asumirá que: T z son despreciables para la mayoría de F Tz = 0 u ( ) U (3.0) 38

25 Variación del momento producido en el eje Y por la propulsión con la velocidad de vuelo Desarrollando la derivada parcial de la Ec.(3.90) se obtiene el siguiente resultado M T = ρu Sc ( m + ) Tu mt u ( ) U (3.03) Para casos convencionales la derivada m Tu se obtiene a partir de la derivada T xu. Esta se multiplica por la distancia de la línea de empuje al centro de gravedad, d T, adimensionalizada con la cuerda, c. d = (3.04) T m Tu Txu c Donde d T está definida en la Figura 3. y es positiva si la línea de empuje está encima del centro de gravedad. Figura 3. Ejemplo de la distancia d T entre la línea de empuje y el.g. El valor del coeficiente de momentos en estado de equilibrio producido por el motor mt se halla imponiendo que la suma de coeficiente de momentos sea cero produciéndose así el equilibrio. Σ = + = 0 (3.05) m mt m Por lo que =. mt m 39

26 Variación de la propulsión en el eje X con el ángulo de ataque Desarrollando la derivada parcial de la Ec.(3.88) con el ángulo de ataque α FT x = α ρu ST x α (3.06) Para un rango normal de ángulos de ataque y para la mayoría de aviones la derivada T xα es despreciable [3]. α 0 (3.07) T x Variación de la propulsión en el eje Z con el ángulo de ataque Desarrollando la derivada parcial de la Ec.(3.89) con el ángulo de ataque se obtiene el siguiente resultado FT z = α ρu ST z α (3.08) La derivada T zα es despreciable [3]. Por lo que se asumirá que: α 0 (3.09) T z Variación del momento producido en el eje Y por la propulsión con el ángulo de ataque Desarrollando la derivada parcial de la Ec.(3.90) se obtiene el siguiente resultado M T α = ρu Sc α mt (3.0) Aunque el valor de la derivada m Tα varía en función del tipo de propulsión sus aproximaciones son muy complejas y puede aproximarse su valor a cero []. α 0 (3.) m T 40

27 3.4 Estabilidad Lateral-Direccional Los coeficientes de fuerzas y momentos lateral-direccionales, y, l y n, se descomponen en un desarrollo de Taylor. ada miembro de ese desarrollo es una derivada de estabilidad o una derivada de control que dependen de las variables β, p y r Derivadas con respecto del ángulo β A continuación se va a proceder a describir las ecuaciones que permiten el cálculo de las derivadas de estabilidad laterales que dependen del ángulo de barrido β Variación de ycon el ángulo de barrido β Esta derivada representa la variación que se produce en la fuerza lateral debido al β w cambio en el ángulo β. Se descompone en tres efectos, el producido por el ala, y,, por el fuselaje, y β, f, y por el estabilizador vertical, y β, V. = + + (3.) yβ yβ, w yβ, f yβ, V El primero de ellos puede aproximarse por [4] La contribución del fuselaje viene dada por [4] y β = Γ, w w (3.3) So = K (, ) y f i k k (3.4) β S donde S o es el área de la sección en x o, punto en el cual el flujo deja de ser potencial. Se determina en función de x, punto en el cual la derivada ds( x) / dx alcanza su primer mínimo, es decir, no varía. En la Figura 3.3 se ve la relación existente entre x y x o. En la Figura 3.3 l b es la longitud del fuselaje. K i se determina con Figura 3.4 siendo z w la distancia entre la línea central del fuselaje y el punto localizado a un cuarto de la cuerda en la raíz del ala expuesta, positiva con ese punto encima de la línea central, y d la máxima altura del fuselaje en la zona intersección ala-fuselaje. 4

28 Figura 3.3 Localización del punto x o [4] Figura 3.4 Obtención de K i [4] La contribución del estabilizador vertical viene dada por la siguiente expresión σ S = k + η β S v yβ, V Lα, v v (3.5) donde L α, v es la pendiente del coeficiente de sustentación del estabilizador vertical, S v la superficie del estabilizador vertical, σ el sidewash inducido sobre el estabilizador vertical y η v la relación de presión dinámica en el estabilizador vertical. El parámetro k viene dado por 4

29 Figura 3.5 en función de bv / r. b v es la envergadura del vertical medido desde la línea central del fuselaje y rel radio medio de la sección del fuselaje bajo el vertical. Figura 3.5 Obtención de k [] La siguiente expresión sirve para calcular la combinación sidewash y relación de presión dinámica. σ 3.06 Sv / S 0.4zw + η v = A β + cos Λc/4 d f,max (3.6) Donde d f,max es el ancho máximo del fuselaje. La pendiente del coeficiente de sustentación del estabilizador vertical deberá ser calculada e introducida en el programa. La cual se puede obtener por la Ec.(3.4) introduciendo el alargamiento efectivo del vertical. Éste viene dado por la siguiente expresión Av ( B) A v( HB) Av, eff = Av + KH A v A v( B) (3.7) Los términos necesarios para el cálculo de Ec.(3.7) se sacan de Figura 3.6, Figura Av ( B) 3.7 y Figura 3.8. La primera proporciona el valor de A en función de bv / r y del taper ratio, λ V, del estabilizador vertical. La segunda, Figura 3.7, proporciona el valor de en función de los parámetros z b H V y v v A v( HB) A v( B) x c. En este caso b V y cv son la envergadura y la cuerda media del estabilizador vertical respectivamente, z H es la altura del centro aerodinámico del estabilizador vertical y x la distancia entre el centro aerodinámico del estabilizador horizontal 43

30 y el borde de ataque del estabilizador vertical, medido en el mismo plano del estabilizador horizontal. Figura 3.6 Obtención del parámetro Av ( B) A v [] Figura 3.7 Obtención del parámetro Av ( HB) [] A El último parámetro se obtiene de la Figura 3.8 en función del cociente St la superficie del estabilizador horizontal y SV la superficie del estabilizador vertical. v( B) S S t V. Siendo 44

31 Figura 3.8 Obtención del parámetro K [] H Variación de l con el ángulo de barrido β Esta derivada es una medida de la variación del momento en el eje Y debido a un cambio en β. Afectan a esta derivada tanto el ala y el fuselaje, l β, W ( B), la cola, l β, V y l, t, y β c el cannard, l,. Siendo el valor total la suma de todas las contribuciones. β = (3.8) lβ lβ, W ( B) lβ, V lβ, t lβ, c Varios elementos del ala contribuyen al valor de esta derivada de estabilidad: ángulo de diedro, flecha y la combinación ala-fuselaje. Estos efectos se reflejan en la siguiente ecuación [] = K K + + Γ K + + lβ lβ lβ lβ lβ, W ( B) L M Λ f M Γ lβ, zw L Λ Γ Γ L c/ A (3.9) Nótese que el ángulo de diedro Γ está en grados. El parámetro ( / ) lβ L Λ c/ se encuentra en la Figura 3.9. El resto de parámetros necesarios para la resolución de la Ec.(3.9) son K M Λ, K f, KM Γ, ( lβ / L ) A y l β / Γ. Éstos se extraen de la Figura 3.0 a la Figura 3.4 respectivamente. Las dimensiones que proporciona la Ec.(3.9) es en /grados. El resto de elementos necesarios para el cálculo de l β, W ( B) están definidos en las Ec.(3.0) y Ec.(3.) Γ lβ d = A b (3.0) lβ, z w. A zw d = (3.) 57.3 b b 45

32 Donde d es el diámetro del fuselaje en el encastre del ala, b es la envergadura del ala, A el alargamiento y z w es la distancia vertical entre la línea central del fuselaje el punto correspondiente a un cuarto de la cuerda en el encastre. Figura 3.9 Obtención del parámetro ( / ) [] lβ L Λ c/ 46

33 Figura 3.0 Obtención del parámetro KM Λ [] Figura 3. Obtención del parámetro K [] f 47

34 Figura 3. Obtención del parámetro l β / Γ [] 48

35 Figura 3.3 Obtención del parámetro ( l / L ) [] β A Figura 3.4 Obtención de KM Γ [] La contribución del estabilizador vertical implica a la derivada de estabilidad calculada anteriormente y β, V y viene definida por la siguiente ecuación. zv cosα lv sinα = b lβ, V yβ, V (3.) 49

36 Donde zves la distancia entre el centro aerodinámico del estabilizador vertical y la línea central de referencia medida perpendicular a ésta y l v es la distancia entre el centro aerodinámico del estabilizador vertical y el centro de gravedad de la aeronave medido paralelo a la línea central de referencia. Se define como l = x x (3.3) v ac. v cg La contribución del estabilizador horizontal y del cannard a esta derivada viene expresada por t t = (3.4) lβ, t yβ, tf S b Sb c c = (3.5) lβ, c yβ, cf S b Sb siendo y β, tf y y β, cf el resultado de introducir en la expresión (3.9) de l β, W ( B) los datos correspondientes para el estabilizador horizontal y el cannard Variación de n con el ángulo de barrido β Esta derivada es una medida de la variación del momento en el eje Z debido a un cambio en β. Afectan a esta derivada el ala, n β, W, el fuselaje, n, B( W ), y el estabilizador vertical, n β, V. La contribución del ala a su vez se divide en la contribución del diedro, n β, Γ, y la contribución de la flecha, n β, Λ. La contribución del diedro viene dada por la siguiente fórmula empírica [] β = nβ, Γ Γ L (3.6) La contribución de la flecha del ala la proporciona la siguiente relación empírica [] nβ, L Λ tan Λ c/4 A A sin Λ c/4 = cos Λc/4 + 6xa 4 π A π A( A + 4 cos Λc/4 ) 8cos Λc/4 A (3.7) Donde Λ c/4 es la flecha en un cuarto del ala, A el alargamiento teórico del ala y x a es la distancia entre el centro de gravedad y el centro aerodinámico adimensionalizados con la cuerda principal. La flecha en un cuarto del ala, Λ c/4, está dada por la Ec.(3.8), donde c r y c t son la cuerda en la raíz y en la punta del ala respectivamente. tan c c b r t Λ c/4 = tan ΛLE (3.8) 50

37 La contribución del fuselaje viene dada por la siguiente relación empírica [] nβ, B ( W ) S l S b B, S f = K N KRI (3.9) donde K N es un factor de interferencia ala-fuselaje empírico que se obtiene de la Figura 3.5 y KRI es otro factor empírico que es función del número de Reynolds expresado en Figura 3.6. La ecuación (3.9) viene expresada en unidades de /grados. Figura 3.5 Factor empírico K [] N 5

38 Figura 3.6 Variación de K con el número de Reynolds [] RI La contribución del estabilizador vertical es la siguiente σ S l l cosα z η β Sb b V V V V nβ, V = kl α, V + V sinα (3.30) Donde L α, V es la pendiente de sustentación efectiva del estabilizador vertical. 5

39 3.4. Derivadas con respecto del roll rate p. A continuación se va a proceder a describir las ecuaciones que permiten el cálculo de las derivadas de estabilidad lateral-direccionales que dependen de la velocidad adimensional p también conocida como roll rate Variación de ycon el roll rate p Esta derivada es la medida de la fuerza lateral inducida debido al roll rate experimentado por la aeronave. El valor predominante es el debido al estabilizador vertical, yp, V. Se considera también el producido por el ala, yp, W el del vertical. Quedando definida la derivada de estabilidad por yp yp, W yp, V, siendo de menor importancia que = + (3.3) donde La contribución del estabilizador vertical está definida por la siguiente expresión [] ( z z ) = (3.3) b v yp, V yβ, V z = z cosα l senα (3.33) v La contribución del fuselaje está definida por la siguiente expresión v yp yp, W = K + ( yp ) L L = 0, M Γ (3.34) donde K a En la ecuación anterior ( ) ( ) w Lα e = a w = w w aw π Ae L α e a = ea (3.35) se refiere a la pendiente de sustentación para el ala expuesta. Aunque en el caso del programa actual este no considera el ala expuesta. Los elementos restantes de la Ec.(3.34) son yp ( A + B cos Λ c/4 )( AB + cos Λc/4) yp = ( AB + 4cos Λ )( A+ cos Λ ) L 0, /4 /4 L = M c c L L = 0, M = 0 (3.36) Donde B es B = Λ (3.37) M cos c/4 Y el último término es 53

40 4z ( ) = 3sin Γ sin Γ ( ) b yp Γ lp Γ= 0, L = 0 (3.38) Donde ( ) Γ= 0, = 0 viene definido de la siguiente manera lp L ( ) β lp lp Γ= 0, L = 0 = k L = 0 k β (3.39) a o k = (3.40) π La expresión de Ec.(3.40) ya se vio en el cálculo de la estabilidad longitudinal. El valor de a o es la pendiente de sustentación del perfil D y se define con la Ec.(3.5). En la Ec.(3.36) aparece el parámetro el parámetro β k lp yp L = 0 L L = 0, M = 0 que se obtiene de Figura 3.7. En la Ec.(3.39) aparece el cual se obtiene interpolando en Figura 3.8. Figura 3.7 Obtención del parámetro yp L L = 0, M = 0 [] 54

41 Figura 3.8 Obtención del parámetro β k lp L = 0 [] Variación de l con el roll rate p Esta derivada es la medida del momento de balance inducido debido al roll rate experimentado por la aeronave. Se la conoce como damping in roll derivative. Es una de las más importantes derivadas lateral-direccionales. Es combinación de los efectos producidos por el estabilizador vertical, lp, V, y el ala,, lp W. También se tendrán en cuenta los efectos producidos por el estabilizador horizontal, lp, h, el cannard y la cola en V, si los hubiera. = (3.4) lp lp, W lp, V lp, h lp, c La contribución del vertical viene dada por la siguiente expresión [] z z z = b b v lp, V yβ, V (3.4) 55

42 Mientras que la contribución del ala viene dada por [] β k lp lp, Γ = lp, W lp, drag k + β 0 lp, Γ= 0 L = (3.43) siendo lp, Γ lp, Γ= 0 = Γ + Γ ( z sin 3z sin ) (3.44) Donde Γ es el ángulo de diedro del ala medido en radianes y z corresponde a z w z = (3.45) b En esta derivada de estabilidad tiene importancia la contribución de la resistencia debida tanto a la resistencia del ala como a la extensión de los flaps lp, drag, en el caso de haberlos. [] ( lp ) ( ) DL ( ) 0.5 LW Lδ f DO D W Oflap LW = + + (3.46) lp, drag En el presente estudio no se tiene en cuenta la existencia de flaps, por lo que la Ec.(3.46) se simplifica pasando a ser donde ( lp ) DL LW ( lp ) DL = 0.5 lp, drag L W Do (3.47) LW es la resistencia del ala debida parámetro roll damping y se obtiene interpolando de la Figura 3.9 a partir del alargamiento, A, y del ángulo de flecha en un cuarto de la cuerda, Λ 4/c. L W de resistencia sin sustentación. es el coeficiente de sustentación del ala y Does el coeficiente A la hora de calcular el valor de la contribución del estabilizador horizontal y del cannard se procede de la misma manera que al calcular la contribución del ala. Introduciendo en la Ec.(3.43) los valores correspondiente a la superficie sustentadora de estudio se obtiene un valor que en lugar de denominar lp, W se denominará ( ) lp o ( ) lp según la superficie que se estudie. Estos valores deben ser redimensionados con la siguiente expresión h c lp, ls S ( ) ls b ls = lp ls Sw bw (3.48) 56

43 siendo el subíndice ' ls ' el correspondiente a cada superficie sustentadora (horizontal o cannard). El valor obtenido de Ec.(3.48) Ec. es la contribución a la derivada de estabilidad de la superficie sustentadora correspondiente. correspondi Figura Resistencia del ala debida al parámetro 'roll roll damping' [3] Variación de n con el roll rate p Esta derivada es la medida del momento de guiñada inducido debido al roll rate experimentado por la aeronave. La contribución debida al fuselaje y al estabilizador horizontal es pequeña por lo que se ignora. La contribución principal a esta derivada está producida por el ala, np,w, y el estabilizador vertical, vertical np,v. np = np,w + np,v (3.49) La contribución del ala viene dada por la siguiente expresión [] np L np,w = lp tan α ( K ) + K np L Quedando K definida en Ec.(3.35) Ec. y el parámetro L (3.50) L=0,M por la siguiente expresión L=0,M A + 4cos Λc /4 AB + 0.5( AB + cos Λc /4 ) tan Λ c /4 np np = L L=0,M AB + 4cos Λ c /4 A + 0.5( A + cos Λc /4 ) tan Λc /4 L L =0 57 (3.5)

44 Siendo A el alargamiento, Λ c/4 el ángulo de flecha en un cuarto de la cuerda y B quedó definido anteriormente como B = Λ. El término que falta por definir de la M cos c/4 Ec.(3.5) se obtiene de la siguiente expresión [] ξ tan Λc/4 tan Λ c/4 A + 6( Ae + cos Λ c/4) + np Ae = L 6( A 4cos 0 e + Λc/4) L = (3.5) Donde x ξ = (3.53) c x = ( x ) x (3.54) ac e cg, le Siendo ( x ) es la distancia entre el centro aerodinámico del ala expuesta y el borde de ac e ataque en el encastre, y x, cg le es la distancia entre el centro de gravedad y el borde de ataque en el encastre. La contribución del estabilizador vertical viene dada por [] z z ( cos sin ) v = l α + z α b b np, V v v yβ, V (3.55) donde z = z cosα l senα. v v Derivadas con respecto del yaw rate r. A continuación se va a proceder a describir las ecuaciones que permiten el cálculo de las derivadas de estabilidad lateral-direccionales que dependen de la velocidad angular r también conocidad como yaw rate Variación de ycon el yaw rate r Esta derivada es una medida de la fuerza lateral inducida debido al movimiento de guiñada experimentado por la aeronave. La mayor contribución a esta derivada viene dada por la superficie vertical por yr, V = ( lv cos α + zv sin α ) (3.56) yβ, V b 58

45 donde y β, V se cálculo en Ec.(3.5). El resto de elemento tiene una contribución muy pequeña y es posible despreciarlos [] Variación de l con el yaw rate r Esta derivada es una medida del momento de balanceo inducido debido al movimiento de guiñada experimentado por la aeronave. La principal contribución a esta derivada está producida por el ala lr, W y por el estabilizador vertical lr, V. = + (3.57) lr lr, W lr, V La contribución del ala se calcula con la siguiente expresión [] = + Γ + ε + αδ δ lr lr lr lr lr, W L tw f f L ε Γ tw αδ δ L 0, M f f = (3.58) Los dos últimos términos corresponden a la contribución de twist y del flap y se no se van a tener en cuenta. Por lo que se reescribe la ecuación quedando lr, W lr lr = L + Γ L Γ L= 0, M (3.59) El primer parámetro de Ec.(3.58) viene dado por la compleja expresión siguiente [] lr Num lr = Den L L L= 0, M L = 0, M = 0 (3.60) Donde lr L L = 0, M = 0 se obtiene de Figura y el resto de la expresión de hallando los valores de Num y Den de las siguientes expresiones. A( B ) AB + cos Λ c/4 tan Λ c/4 Num = + + B ( AB + cos Λ c/4 ) AB + 4cos Λc/4 8 A + cos Λ c/4 tan Λ c/4 Den = + A + 4cos Λc/4 8 (3.6) (3.6) Donde A es el alargamiento, Λ c/4 el ángulo de flecha a un cuarto de la cuerda principal y B se define como B = Λ. M cos c/4 El segundo parámetro de Ec.(3.58) se calcula mediante la siguiente ecuación 59

46 lr π Asin Λ Γ + Λ c/4 = A 4cos c/4 /rad^ (3.63) Figura 3.30 Obtención del parámetro lr L L = 0, M = 0 La contribución del estabilizador vertical viene dada por la siguiente expresión [] lr, V = ( lv cos α + zv sin α )( zv cos α lv sin α ) (3.64) yβ, V b donde y β, V se cálculo en Ec.(3.5) Variación de n con el yaw rate r Esta derivada es una medida del momento de guiñada inducido debido al movimiento de guiñada experimentado por la aeronave. onocida como damping-in-yaw-derivative. Es una de las derivadas de estabilidad lateral-direccional más importantes. La principal contribución a esta derivada está producida por el ala nr, W y por el estabilizador vertical, nr V = + (3.65) nr nr, W nr, V La contribución del fuselaje viene dada por [] 60

47 nr, W = + nr nr L L D D0 (3.66) nr donde es evaluado en Figura 3.3, y L el margen estático. nr D se obtiene de Figura 3.3. donde x c es La contribución del estabilizador vertical viene dada por nr, V = ( lv cos α + zv sin α ) (3.67) yβ, V b donde y β, V se cálculo en la Ec.(3.5). Figura 3.3 Obtención del parámetro nr [] L 6

48 Figura 3.3 Obtención del parámetro nr [] D 6

49 3.4.4 Derivadas con respecto a la variación del ángulo sideslip con el tiempo β ɺ A continuación se va a proceder a describir las ecuaciones que permiten el cálculo de las derivadas de estabilidad lateal-direccionales que dependen del cambio en el tiempo del ángulo debarrido β Variación de ycon la variación del ángulo sideslip con el tiempo ɺ β Esta derivada es una medida de los efectos no estacionarios debidos al cambio en el ángulo de barrido sobre la fuerza lateral. El elemento que más contribuye a esta derivada es el estabilizador vertical siendo la contribución producida por otros elementos como el ala pequeña e ignorada. Se calcula con la siguiente expresión []. Sv lv cosα + zv sinα yɺ = β, V Lα, vσ β S b (3.68) El valor del sidewash, σ β, es la suma de los efectos producidos por el ángulo de ataque, por el ángulo de diedro y por la combinación ala-fuselaje sobre el sidewash. Γ σ = σ α + σ + σ 57.3 β βα βγ β, WB (3.69) Donde α es el ángulo de ataque en grados y Γes el ángulo de diedro del ala en grados. Los coeficientes de la Ec.(3.69) se obtienen σ βα de la Figura 3.33, σ β Γ de la Figura 3.34 y σ β,wb de la Figura Figura 3.33 Obtención de 63 σ βα en grados []

50 Figura 3.34 Obtención de σ β Γ en grados [] Figura 3.35 Obtención de 64 σ β,wb []

51 Variación de l con la variación del ángulo sideslip con el tiempo ɺ β La mayor contribución a esta derivada viene del estabilizador vertical y se calcula a partir de la derivada y ɺ siendo β, V zv cosα lv sinα lɺ = β, V yɺ β, V b (3.70) Variación de n con la variación del ángulo sideslip con el tiempo ɺ β La mayor contribución a esta derivada viene del estabilizador vertical y se calcula a partir de la derivada y ɺ siendo β, V lv cosα + zv sinα nɺ = β, V yɺ β, V b (3.7) Derivadas de control Lateral-Direccional A continuación se detallan los métodos que se siguen para hallar las derivadas de ontrol lateral-direccional así como algunas simplificaciones Variación de Y con la deflexión de los alerones Esta derivada de control se puede aproximar a cero [] δ 0 (3.7) Y a Variación de l con la deflexión de los alerones Esta derivada de control expresa el momento en el eje x producido por la deflexión de los alerones. La expresión que proporciona esta derivada de control es la siguiente l δa L ΣK f Yi Si cos Λ H. L. δ f = (3.73) Sb En ella es necesario realizar un sumatorio que concierne a la posición del alerón. El número dos en el inicio de la expresión indica que se tienen en cuenta los dos alerones. Aquí se divide el alerón en franjas y se realiza el sumatorio correspondiente. Y i es la distancia de una 65

52 franja del alerón hasta el plano de simetría y S i es el área de la franja del ala completa relacionada con Y i como se indica en la Figura Figura 3.36 Detalle del alerón [] l ΛH. L. es el ángulo en flecha del alerón, δ f es el incremento de sustentación teórico debido al flap del perfil D dado por la Figura En el apartado de derivadas de control longitudinales ya se utilizó para el caso del elevador. Y K se obtiene de la Figura f Figura 3.37 Obtención de L δ f [] 66

53 Figura 3.38 Obtención de K [] f Variación de n con la deflexión de los alerones La expresión para calcular esta derivada de control es la siguiente [] n δ = K a LL δ (3.74) Donde el valor de K se extrae de Figura 3.39 estando η definida como el cociente de la distancia del punto medio de la superficie de control con la mitad de la envergadura, Y η =. b / a 67