Universidad Autónoma de Madrid Probabilidad y Estadística

Transcripción

1 Propuesta de Problemas 7 (Soluciones) 1. a) Y es el promedio al sacar dos boletos con reposición de Y y hacer su promedio. Por eso, puede tomar los valores 1, 1.5 y. Tenemos que, P(Y = 1) = P( 1 1 ) = = %, 584 P(Y = 1.5) = P( 1 ) = = %, 584 P(Y = ) = P( ) = = %, 584 luego su caja queda Y = Para X hacemos lo mismo. Su rango sería 0, 1,, 3, 4, y calculado probabilidades vemos que X = En el caso de queda así porque X = ocurre si sale de X, o si sale 0 4 o 4 0. b) Podemos usar la caja de X para hacerlo. Como vemos, el único boleto con menos unidades que 3 es 4. Por tanto, la probabilidad que nos piden sería % c) De nuevo se haría calculando la función de masa de X Y. Podemos usar las cajas de X y Y. Así, sería como sacar un boleto de X y restarle otro sacado de Y. Su rango es Sólo me falta el número de boletos de cada uno. Por ejemplo, como P(X Y = ) = P(X = 0 y Y = ) = = A B AB con A y B los números totales de boletos en X e Y. De la misa forma, P(X Y = 1) = P(X = 0 y Y = 1)+P(X = 1 y Y = ) = AB que queda /AB. Continuando con esos cálculos, la caja de X Y tendrá los siguientes boletos: de 7

2 Por supuesto, si habéis aproximado la caja os puede quedar con menos boletos. Por tanto, P(X Y 1) = que da aproximadamente d) Tenemos que S X = AB (X 1 X) + (X X) 1 = 0.8 %. (X 1 X 1 + X luego podemos escribirla sencillamente como S X = X X 1, ) + (X X 1 + X ) = ( X X 1 ) es decir, la diferencia entre los dos boletos sacados dividida por. Así, el rango queda 0, / y 4/, que podemos escribir como 0 = =.8... Tenemos que luego P(S X = 0) = P( 0 0 ) + P( ) + P( 4 4 ) = = , P(S X = ) = P( 0 ) + P( 4 ) = , P(S X = 8) = P( 4 0 ) = , S X = Por el cálculo que hemos hecho para S X, tenemos que C Y = Y 1+Y µ Y Y 1 Y / = Y 1 + Y µ Y Y 1 Y = Y 1 + Y Y 1 Y = Y 1 + Y Y 1 Y Por tanto, su rango es Tenemos que P(C Y = ) = P( 1 1 ) = = de 7

3 luego P(C Y = ) = P( 1 ) = = , P(C Y = ) = P( ) = = , C Y = Inf Inf.. a) No, ya que cuando obtenemos que no hay evidencia estamos diciendo que no podemos decir nada concluyente. Para ver si el medicamento no es efectivo deberían hacer un test distinto y ver lo que sale. b) En principio no tiene sentido, ya que no hay un proceso de azar controlado. La información sobre los 50 pacientes la vamos a saber completa, pero no podemos extrapolar esos resultados al conjunto de enfermos (a no ser que supongamos que los 50 enfermos del hospital es como si hubieran sido elegidos al azar de entre la población de enfermos). c) Podemos casi descartar que los resultados se hayan debido a la suerte, pero no podemos asegurar que el experimento esté bien hecho (si lo estuviera, entonces sí podríamos estar casi seguros de que ciertas partículas alcanzan velocidades superiores a la de la luz), ya que eso no depende del azar. d) Primero vamos a calcular la t para la cuál P( T d t) = 95 %. En este caso, usando la fórmula queda d = 81, y como P( T ) 95 %, tenemos que t Por tanto, las µs que van a estar en el intervalo de confianza son µ 4.1 / /50 = x y µ s x /n + s y/m < 1.99 es decir, el intervalo para la media de la Facultad de Ciencias menos la de la de Letras queda 0.6 ± ± 1.68 = ( 1.08,.8). Si lo habéis hecho con la Z queda esencialmente lo mismo. Para comprobar la fiabilidad del intervalo calculado, deberíamos pintar histogramas para ambas muestras (para ver que queden más o menos centrados). 3. a) El modelo que asumen es que las temperaturas de las 10 bobinas que construyan es como si las sacasen al azar de entre la población de temperaturas de las 1000 bobinas que construirían posteriormente (al menos en cuanto a la temperatura que alcanzarían en ese proceso); además, asumen que dicha población de temperaturas de las 1000 bobinas tendrá un histograma aproximadamente centrado. b) Por una parte, tenemos que P(T 9.8)) 1 %. Por otra, el cociente de los datos de la muestra queda x µ s x / = n 10.6/ Como , la respuesta es sí hay evidencia. 3 de 7

4 c) Deberían ver si los datos de la muestra son razonables para el modelo que se ha usado. Para ver si es razonable suponer que es como si se hubieran sacado al azar, pintamos un diagram de dispersión (con respecto a la posición en que fueron construídas), y queda muestra Index Aunque haya un dato alejado de los demás, no se ven tendencias, así que en principio no veríamos problemas en esa hipótesis. Para ver si la población de temperaturas de bobinas puede ser centrada, pintamos el histograma de los datos de la Histogram of muestra1 muestra: Density muestra1 En este caso, vemos que hay un dato muy separados de la mayoría. Por tanto, no es razonable 4 de 7

5 asumir que la población es centrada. El cliente no debería fiarse de las conclusiones de GE. Debería pedir a GE que revisara su proceso de construcción (o cambiar de proveedor). Histogram of muestra d) En este caso, el histograma queda razonable Density pero en el diagrama de dispersión muestra muestra Index vemos que hay una clara tendencia ascendente en los datos, por lo que no es razonable pensar que son datos sacados al azar. El cliente no debería fiarse de las conclusiones de GE. En particular, parece que si siguen 5 de 7

6 así las bobinas que construyan después se van a calentar más que las de ahora. 4. a) Por una parte, tenemos que P(χ ) = 5 %. Por otra, 3/40 136/00 ( ) 30/40 136/00 + ( ) 18/40 136/00 + ( ) / / /40 8/40 136/00 +( ) 37/40 136/00 + ( ) / /40 Como , la conclusión es que sí hay evidencia de que hay diferencia educativas entre las provincias. b) Aunque dicho método usa azar, no es como sacar boletos de una caja donde estuviesen todos los niños (en particular, siempre van a salir al final niños de la misma escuela). Por tanto, dicho test no sería válido. Con ese método, habría que diseñar otro test diferente (nosotros sólo hemos visto tests para cuando seleccionamos la muestra como sacando boletos al azar de una caja). c) En ese caso, normalmente usarían el test par ver si hay evidencia de que la diferencia de proporciones p = p 1 p es distinta de cero. Como P( Z 1.96) = 5 %, y 3/40 30/ / / Como 1.68 < 1.96 la conclusión sería que no hay evidencia de que haya diferencias entre esas dos provincias. d) Numeremos a las provincias como X 1, X, X 3, X 4 y X 5. Como hemos visto en el apartado anterior, al hacer el test para comparar X 1 y X al 5 % de significación, miramos si la variable está en la región C 1 = X 1 X X 1 (1 X 1 )/40 + X (1 X )/40 C , que tiene una probabilidad de 5 %. De la misma forma, si queremos comparar X con X 5, debesos ver si C Lo que queremos es saber la probabilidad de que alguno de esos tests de Sí, es decir P(C o C o... o C ). El problema para calcular dicha probabilidad es que por ejemplo C 1 no es independiente de C 13, ya que tienen la variable X 1 en común. Pero, como sólo necesitamos una cota inferior, siempre podemos quedarnos con algunas que sean independientes, por ejemplo P(C o C o... o C ) P(C o C ). 6 de 7

7 Pero P(C o C ) = P(C ) + P(C ) P(C y C ) que por independencia queda 5 % + 5 % 5 % 5 % = 9.75 %. Así, hemos visto que la significación es mayor que 9.75 %, luego mayor que 8 %. En R me da la estimación % para la significación, luego parece que en realidad es mucho mayor de 9.75 %. 7 de 7